DisMathTPU_new

Эта формула не является полиномом Жегалкина, если содержит переменные с инверсиями. От инверсий избавимся, используя равносильность x = x 1. Раскрыв в полученной формуле скобки на основе за-

кона дистрибутивности, получим сумму положительных конъюнкций. Она не является полиномом Жегалкина, если конъюнкции повторяются. Используя равносильности x x = 0 и x 0 = x, удалим пары

одинаковых конъюнкций. Получим полином Жегалкина.

Лемма о числе положительных конъюнкций. Число

различных положительных конъюнкций переменных из множества

X = fx1; : : : ; xng равно 2n.

Доказательство. Положительная конъюнкция представляется подмножеством переменных из X, то есть булевым вектором длины n, и

наоборот, каждый вектор длины n задает подмножество переменных из X. Значит, число положительных конъюнкций равно числу векторов длины n, то есть (по теореме о числе булевых векторов) 2n.

Определение. Форму представления полинома Жегалкина

P = c0K0+ c1K1+ : : : c2n 1K2+n 1

булевой функции f(x1; : : : ; xn), ãäå ci

формой с коэффициентами.

Число 2n положительных конъюнкций Ki+ определяется леммой. Договоримся однозначно связывать с номером конъюнкции Ki+ åå

вид по следующему правилу: число i представлять булевым вектором

a1 : : : an, который, в свою очередь, задаст подмножество переменных,

составляющих конъюнкцию Ki+.

Пример. При n = 3 конъюнкция K5+ = x1x3, так как число 5 представляется булевым вектором 101, который задает подмножество переменных fx1; x3g множества fx1; x2; x3g.

Значит, полином Жегалкина булевой функции n аргументов од-

нозначно определяется вектором коэффициентов = c0c1 : : : c2n 1, è наоборот, любой булев вектор длины 2n однозначно определяет поли-

ном Жегалкина функции n аргументов. Пример. Полином Жегалкина

P= 1 x xz yz xyz = K0+ K4+ K5+ K3+ K7+ =

=1K0+ 0K1+ 0K2+ 1K3+ 1K4+ 1K5+ 0K6+ 1K7+

представляется вектором коэффициентов = 10011101.

141

Теорема о единственности полинома Жегалкина. Каждая булева функция имеет единственный полином Жегалкина.

Доказательство. Как следует из последних рассуждений, число различных полиномов Жегалкина булевых функций n аргументов

равно числу булевых векторов длины 2n, то есть равно 22n. Но число различных булевых функций n аргументов тоже равно 22n (по теоре-

ме о числе булевых функций), и каждая булева функция представима полиномом Жегалкина (по теореме о существовании полинома), следовательно, на каждую булеву функцию приходится ровно по одному полиному Жегалкина.

Таким образом, наряду с совершенной ДНФ, совершенной КНФ и сокращенной ДНФ, полином Жегалкина является еще одной канони- ческой формой представления булевых функций.

15.3.2. Алгоритмы построения полинома Жегалкина

Рассмотрим алгоритмы построения полинома Жегалкина булевой функции, заданной различными способами, а именно: совершенной ДНФ, произвольной ДНФ, формулой и таблицей истинности.

Алгоритм построения полинома Жегалкина по СовДНФ

(основан на доказательстве теоремы о существовании полинома Жегалкина).

Начало. Задана совершенная ДНФ функции f(x1; : : : ; xn).

Шаг 1. Заменяем символы дизъюнкции на символы дизюнкции с исключением.

Шаг 2. Заменяем все переменные с инверсией x формулами x 1:

Шаг 3. Раскрываем скобки.

Шаг 4. Вычеркиваем из формулы пары одинаковых слагаемых. Конец. Получен полином Жегалкина функции f(x1; : : : ; xn). Пример. Найдем полином Жегалкина мажоритарной булевой функ-

ции по ее совершенной ДНФ.

СовДНФ = x y z _ x y z _ x y z _ x y z = = x y z x y z x y z x y z =

= (1 x) y z x (1 y) z x y (1 z) x y z =

= y z x z x y = P:

142

Алгоритм построения полинома Жегалкина по ДНФ (основан на равносильности K1 _ K2 = K1 K2 K1K2).

Начало. Задана произвольная ДНФ функции f(x1; : : : ; xn).

Шаг 1. Разбиваем ДНФ на пары конъюнкций, лучше ортогональных (если число конъюнкций нечетно, одна из них остается без пары).

Шаг 2. Заменяем каждую дизъюнкцию конъюнкций K1 _ K2 ôîð- мулой K1 K2 K1K2 (èëè K1 K2, åñëè K1 è K2 ортогональны).

Шаг 3. В полученной формуле находим очередную дизъюнкцию A1 _ A2 и заменяем ее формулой A1 A2 A1A2. Повторяем шаг 3 до тех пор, пока это возможно.

Шаг 4. Заменяем все переменные с инверсией x формулами x 1:

Шаг 5. Раскрываем скобки.

Шаг 6. Вычеркиваем из формулы пары одинаковых слагаемых. Конец. Получен полином Жегалкина функции f(x1; : : : ; xn).

Пример. Найдем полином Жегалкина мажоритарной функции по ее ДНФ.

ÄÍÔ = x y z _ x z _ y z = (x y z _ x z) _ y z =

= (x y z x z) _ y z = (x y z x z) y z (x y z x z) y z =

Отметим, что полиномы мажоритарной функции из двух последних примеров совпадают с точностью до порядка конъюнкций, и это естественно (по теореме о единственности полинома Жегалкина).

Алгоритмы построения полинома Жегалкина по формуле. Способ 1 основан на предварительном преобразовании формулы

âДНФ (любым известным нам способом). Затем ДНФ преобразуется

âполином Жегалкина по только что изученному алгоритму.

Примеры. Получим полиномы Жегалкина двух элементарных булевых функций: импликации и эквивалентности, представив их предварительно кратчайшими ДНФ.

a ! b = a _ b = a b a b = (1 a) b (1 a)b =

143

Аналогично можно получить полиномы Жегалкина всех элементарных булевых функций (оставим читателю их вывод).

Константы 0 и 1, тождественная функция, а также конъюнкция a b и дизъюнкция с исключением a b уже являются полиномами Жегалкина. Полином Жегалкина инверсии a = 1 a.

Заметим, что некоторые из приведенных полиномов могут быть получены гораздо проще, в частности,

a b = a b = 1 a b:

Способ 2. Если булева функций задана произвольной формулой, то ее полином Жегалкина можно получить подстановкой в формулу вместо элементарных булевых функций их полиномов.

Пример. Найдем полином Жегалкина мажоритарной функции, заданной формулой:

F = x y z = (x ! y) = ((x y) z) = (x ! y) =

[ подставим в формулу полином Жегалкина штриха Шеффера 1 ab

ïðè a = (x y) z, b = x ! y ]

= 1 ((x y) z) (x ! y) =

[ подставим полиномы Жегалкина обратной импликации 1 b ab при a = x y, b = z и импликации 1 a ab при a = x, b = y ]

= 1 (1 z (x y) z) (1 x x y) =

[ подставим полином Жегалкина эквивалентности 1 x y, раскроем скобки и вычеркнем появившиеся пары одинаковых слагаемых ]

144

[ заменим инверсию ее полиномом Жегалкина, раскроем скобки и вы- черкнем пары одинаковых слагаемых ]

= y z x y x z = P:

Полином, естественно, совпадает с полученными ранее по совершенной и произвольной ДНФ.

Способ 3. Полином Жегалкина можно получить, используя специальное разложение функции.

Определение. Разложением Дэвио называется следующее разложение булевой функции f(x1; : : : ; xn) по переменной xi:

f(x1; : : : ; xn) = xi f(x1; : : : ; xi 1; 1; xi+1; : : : ; xn)

(1 xi) f(x1; : : : ; xi 1; 0; xi+1; : : : ; xn):

Разложение Дэвио следует из разложения Шеннона, если учесть, что слагаемые в последнем ортогональны, и что xi = xi 1.

Пример. Найдем разложение Дэвио по переменной x мажоритарной булевой функции, заданной формулой.

F = ((x y) z) = (x ! y) =

= x [((1 y) z) = (1 ! y)] (1 x) [((0 y) z) = (0 ! y)] = = x [(y z) = y] (1 x) [y - z]:

Для получения полинома Жегалкина следует продолжить разложение подформул, пока не получится формула над f; ^; g. Если

затем заменить инверсии x на x 1, раскрыть скобки и вычеркнуть

пары одинаковых слагаемых, то получится полином Жегалкина. Пример. Продолжив предыдущий пример, получим полином Же-

галкина мажоритарной функции. Для этого разложим подформулы (y z) = y и y - z по переменной y:

=x [y (1 y) z] (1 x) [y z] =

=x y x z x y z y z x y z = x y x z y z = P:

Полином Жегалкина, естественно, совпадает с полученными ранее.

145

Алгоритм построения полинома Жегалкина по таблице истинности (основан на методе неопределенных коэффициентов).

Продемонстрируем идею метода на примере произвольной булевой функции двух аргументов f(x; y). Представим ее полиномом Жегал-

кина в форме с коэффициентами

Pf = c0 c1y c2x c3xy:

Подставив в данное равенство наборы значений аргументов, получим систему из четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными коэффициентами: c0, c1, c2, c3.

Заметим, что наборы подставлены в равенство в естественном порядке, и система имеет треугольный вид: в первом уравнении обратились в ноль все слагаемые, следующие за c0, во втором следующие за

c1, и так далее. Значит, коэффициент c0 можно получить из первого уравнения и подставить его в остальные. Тогда c1 можно получить из второго уравнения, и так далее.

В общем случае для функции n аргументов получается система треугольного вида из 2n линейных уравнений с 2n неизвестными

коэффициентами полинома Жегалкина.

Пример. Найдем полином Жегалкина мажоритарной функции, заданной таблицей истинности, последовательно вычисляя коэффициенты полинома и подставляя их в остальные уравнения.

x y z f = c0 c1z c2y c3yz c4x c5xz c6xy c7xyz

146

Из первого уравнения следует, что c0 = 0. Из второго и третьего уравнений следует, что c1 = 0 è c2 = 0, значит, c1z è c2y тождественно равны нулю. Из четвертого уравнения получаем c3 = 1, значит, надо вы- числять значения конъюнкции c3yz в остальных уравнениях. Аналогично получаем c4 = 0, c5 = 1, c6 = 1 è c7 = 0. Найден вектор коэффициентов полинома Жегалкина мажоритарной функции = 00010110, и сам полином P = yz xz xy, который, естественно, совпадает с полученными ранее.

15.3.3. Линейные булевы функции

Определение. Булева функция называется линейной (принадлежит классу L), если ее полином Жегалкина линеен.

Примеры. Мажоритарная функция не является линейной: степень ее полинома Жегалкина (xy xz yz) равна 2. Из элементарных

булевых функций линейными являются, например, инверсия и эквивалентность. Не являются линейными, например, штрих Шеффера и стрелка Пирса.

Утверждение о числе булевых функций класса L. Число

различных линейных булевых функций, зависящих от n переменных, равно 2n+1:

Доказательство. Полином Жегалкина линейной булевой функции f(x1; : : : ; xn) имеет вид:

P = a0 a1x1 a2x2 : : : anxn;

ãäå a0; : : : ; an булевы константы. Таким образом, каждый линейный полином определяется булевым вектором a0 : : : an длины n + 1, и наоборот, каждый булев вектор длины n + 1 задает линейный полином Жегалкина некоторой функции n аргументов. Следовательно, число

линейных полиномов (а значит, и число различных линейных функций n аргументов) равно числу булевых векторов длины n+1, то есть равно 2n+1.

Пример. Из всех 16 булевых функций двух аргументов x1, x2 8 функций (22+1) принадлежат классу L: 0, 1, , , тождественные

функции x1 è x2 и их инверсии x1 è x2.

147

Теорема о замкнутости класса L. Множество всех линейных булевых функций является замкнутым классом.

Доказательство. Рассмотрим суперпозицию любых булевых функций из L, то есть функцию

f(x1; : : : ; xn) = f0(f1(x1; : : : ; xn); : : : ; fm(x1; : : : ; xn));

и покажем, что она является линейной. Представим каждую из функций, образующих суперпозицию, полиномом Жегалкина:

f0(y1; : : : ; ym)= 0 1y1 : : : mym; f1(x1; : : : ; xn)= 01 11x1 : : : n1xn;

;

fm(x1; : : : ; xn)= 0m 1mx1 : : : nmxn:

Подставив эти полиномы в суперпозицию, получим:

f(x1; : : : ; xn) = 0 1f1(x1; : : : ; xn) : : : mfm(x1; : : : ; xn) =

=0 1( 01 11x1 : : : n1xn) : : :

:: : m( 0m 1mx1 : : : nmxn) =

=( 0 1 01 : : : m 0m)

( 1 11 : : : m 1m)x1 : : : ( 1 n1 : : : m nm)xn:

Так как в последней формуле каждая скобка есть булева константа, получен линейный полином Жегалкина. Значит, функция f(x1; : : : ; xn) линейная, и класс L замкнут.

Лемма о нелинейной булевой функции. Если булева функция нелинейная, то из нее подстановкой вместо аргументов констант, переменных x, y, их инверсий x, y и, возможно, инверсией самой

функции можно получить конъюнкцию x y.

Доказательство. Рассмотрим полином Жегалкина нелинейной булевой функции f(x1; : : : ; xn). Выберем в нем конъюнкцию K ранга больше единицы (такая конъюнкция найдется, так как функция нелинейна). Не умаляя общности, можно считать, что K содержит пере-

менные x1, x2. Разобьем конъюнкции полинома на четыре группы:

первую образуем из конъюнкций, содержащих x1 è x2,

вторую из конъюнкций, содержащих x1 и не содержащих x2,

третью из конъюнкций, содержащих x2 и не содержащих x1,

остальные конъюнкции отнесем к четвертой группе.

148

В первой группе вынесем за скобки x1x2, во второй x1, в третьей x2:

f(x1; : : : ; xn) = x1x2p(x3; : : : ; xn) x1q(x3; : : : ; xn)x2r(x3; : : : ; xn) s(x3; : : : ; xn):

Первая группа не пуста, так как есть по крайней мере одна конъюнкция K, содержащая x1 è x2. Значит, найдется набор a3 : : : an такой, что p(a3; : : : ; an) = 1. Подставим его в функцию f(x1; : : : ; xn) (подстановка констант допустима по условию теоремы):

f(x1; x2; a3; : : : ; an) = x1x2 x1q(a3; : : : ; an) x2r(a3; : : : ; an)s(a3; : : : ; an) = x1x2 x1a x2b c:

Здесь a, b, c булевы константы. Если a = b = c = 0, конъюнкция получена. Иначе положим x1 = x b, è x2 = y a (подстановка переменных x и их инверсий x 1 допустима по условию теоремы), раскроем скобки и удалим пары одинаковых конъюнкций:

(x b)(y a) (x b)a (y a)b c =

= xy ax by ab ax ab by ab c =

= xy ab c = xy d = g(x; y):

Если булева константа d = 0, конъюнкция xy получена. Иначе функция g(x; y) = xy. Тогда, инвертировав исходную функцию (что допустимо по условию теоремы), получим конъюнкцию xy.

Пример. Рассмотрим полином Жегалкина нелинейной функции

P = x1x2x3x4 x1x4 x1x2x3 x2x4 x1x3 x3x4 1 =

[ выберем первую конъюнкцию x1x2x3x4, в ней выберем переменные x1, x2 и сгруппируем конъюнкции ]

=x1x2(x3x4 x3) x1(x4 x3) x2x4 (x3x4 1)= p q r s

[ p(x3; x4) = 1 ïðè x3 = 1, x4 = 0, подставим эти значения ]

= x1x2 x1(0 1) x20 (10 1)= x1x2 x1 1 = a b c

[положим x1 = x b = x, x2 = y a = y 1 ]

=x(y 1) x 1 = xy x x 1 = xy 1:

d

Инвертировав исходную функцию, получим конъюнкцию xy.

149

15.4. Класс самодвойственных булевых функций

Определение. Булева функция f(x1; : : : ; xn) самодвойственна

(принадлежит классу S), если она равна двойственной себе функции

f(x1; : : : ; xn) = f (x1; : : : ; xn) = f(x1; : : : ; xn):

Примеры. Мажоритарная функция самодвойственна:

Из элементарных функций самодвойственными являются лишь тождественная функция и инверсия. Остальные функции, в частности, штрих Шеффера и стрелка Пирса, несамодвойственны.

Алгоритм распознавания самодвойственной функции, заданной таблицей истинности. Очевидно, что для проверки самодвойственности булевой функции можно не получать двойственную ей функцию в явном виде, а лишь сравнивать значения исходной функции на противоположных наборах. Функция самодвойственна, если и только если на противоположных наборах принимает противоположые значения.

Достаточное условие несамодвойственности булевой функции. Если число единиц в столбце значений функции не совпадает с числом нулей, то функция не является самодвойственной.

Доказательство очевидно.

Примеры. Рассмотрим три булевы функции (на следующей странице). Для функции f(x; y; z) выполняется достаточное условие неса-

модвойственности. Для остальных оно не выполняется, при этом функция g(x; y; z) несамодвойственна, так как на первом и последнем набо-

рах принимает одинаковые значения, а функция h(x; y; z) самодвойственна.

150