DisMathTPU_new

x y z f(x; y; z) g(x; y; z) h(x; y; z)

Утверждение о числе самодвойственных булевых функ-

ций. Число различных самодвойственных булевых функций, зависящих от n переменных, равно 22n 1:

Доказательство. Рассмотрим самодвойственную функцию n ар-

гументов. Если на первом наборе таблицы истинности она принимает значение a, то, согласно свойству самодвойственной функции, на по-

следнем наборе она принимает значение a. То же можно сказать о вто-

ром и предпоследнем наборах, и так далее. Значит, самодвойственная

функция определяется верхней половиной своего столбца значений, то есть булевым вектором длины 2n=2 = 2n 1. Следовательно, число

различных самодвойственных функций n переменных равно 22n 1.

Пример. Из 16 функций двух аргументов x1, x2 4 функции (222 1) принадлежат S: тождественные функции x1 è x2 и инверсии x1 è x2.

Теорема о замкнутости класса S. Множество всех самодвойственных булевых функций является замкнутым классом.

Доказательство. Рассмотрим суперпозицию функций из S

f(x1; : : : ; xn) = f0(f1(x1; : : : ; xn); : : : ; fm(x1; : : : ; xn));

и покажем, что она самодвойственна. Пользуясь принципом двойственности, получим функцию, двойственную f(x1; : : : ; xn).

f (x1; : : : ; xn) = f0 (f1 (x1; : : : ; xn); : : : ; fm(x1; : : : ; xn)) =

[учтем, что все функции суперпозиции самодвойственны ]

=f0(f1(x1; : : : ; xn); : : : ; fm(x1; : : : ; xn)) = f(x1; : : : ; xn):

Итак, мы показали, что f (x1; : : : ; xn) = f(x1; : : : ; xn), значит, функция f(x1; : : : ; xn) самодвойственна, и класс S замкнут.

151

Лемма о несамодвойственной булевой функции. Если булева функция несамодвойственна, то из нее подстановкой вместо аргументов переменной x и ее инверсии x можно получить либо константу 0,

либо константу 1.

Доказательство. Рассмотрим несамодвойственную булеву функцию f(x1; : : : ; xn). Для нее существует такой набор a1 : : : an, ÷òî

f(a1; : : : ; an) = f(a1; : : : ; an):

Заменим каждый аргумент xi функции f(x1; : : : ; xn) íà xai, (подста- новка переменной x и ее инверсии x допустима по условию теоремы). В результате получим функцию одного аргумента

g(x) = f(xa1; : : : ; xan):

Покажем, что она является константой. Заметим, что 0a = a, 1a = a (проверка предоставляется читателю).

g(0) = f(0a1; : : : ; 0an) = f(a1; : : : ; an); g(1) = f(1a1; : : : ; 1an) = f(a1; : : : ; an):

Но набор a1 : : : an выбран так, что правые части равны, следовательно, g(0) = g(1), и константа получена.

Примеры. Рассмотрим функцию f(y; z) = y # z. Она несамодвой-

ственна, так как на противоположных наборах 01 и 10 принимает одно и то же значение 0. В качестве набора a1a2 возьмем набор 01. Положим y = x0 = x è z = x1 = x, получим

g(x) = f(x; x) = x # x = 0:

Аналогично, рассмотрев функцию h(y; z) = y=z, которая на тех же противоположных наборах принимает значение 1, получим:

g(x) = h(x; x) = x=x = 1:

15.5. Класс монотонных булевых функций

Определение. Булева функция f(x1; : : : ; xn) называется монотоннной (принадлежит классу M), если для любой пары наборов итаких, что , выполняется условие f( ) f( ) (назовем его

условием монотонности ).

152

Примеры. Исследуем мажоритарную булеву функцию.

Перебор пар начнем с наборов = 000 и = 001: для них и выполнено условие монотонности f(000) = f(001). Отметим, что набор таков, что любой другой набор является последователем ,

и, казалось бы, следует анализировать каждую из этих пар. Однако f( ) = 0, поэтому условие f( ) f( ) будет выполнено для любого

набора . Значит, в качестве достаточно рассмотреть лишь те наборы, на которых функция принимает значение единица: 011, 101, 110 и 111. Набор = 011 имеет единственного последователя = 111 и f(011) = f(111), то есть условие монотонности не нарушено. Рассмотрим остальные пары наборов: = 101, = 111 и = 110, = 111 (набор = 111 последователей не имеет). Для них условие монотонно-

сти также не нарушено. Значит, мажоритарная функция монотонна. Из элементарных булевых функций монотонными являются, например, конъюнкция и дизъюнкция. Не являются монотонными, на-

пример, штрих Шеффера и стрелка Пирса.

Утверждение о условии немонотонности. Для любой пары наборов и таких, что и f( ) > f( ), найдется пара сосед-

них наборов 0, 0 с теми же свойствами: 0 0 è f( 0) > f( 0).

Доказательство. Если и соседи, то утверждение верно ( 0 =, 0 = ). Иначе вычислим расстояние d (по Хэммингу) между на-

борами = a1 : : : an è = b1 : : : bn и начнем строить цепочку наборов0; : : : ; d такую, что

= 0 1 : : : d 1 d = ;

èлюбые два расположенных рядом набора i 1; i (i = 1; : : : ; d) являются соседями. Очередной набор i получим из предыдущего набора

153

i 1 заменой значения одной из ортогональных компонент наборовi 1 и (это будет замена 0 на 1, так как ), затем проверим

условие немонотонности f( i 1) > f( i). Если оно выполнено, утверждение доказано ( 0 = i 1, 0 = i). Иначе получим и исследуем оче-

редной набор. В худшем случае, когда постоянно выполняется условие монотонности, имеем

f( ) = f( 1) = : : : = f( d 1);

но тогда f( d 1) = 1 и f( ) = 0, значит, условие немонотонности выполнится для последней пары: 0 = d 1 è 0 = d = .

Если f( ) > f( ), то смена значения функции с 1 на 0 произойдет по крайней мере на одной из четырех пар соседей.

Алгоритм распознавания монотонной булевой функции (основан на утверждении о условии немонотонности).

Начало. Задана таблица истинности булевой функции.

Шаг 1. Сравниваем значения функции на наборах, соседних по первой переменной, то есть верхнюю половину столбца значений функции (вектор '1) с нижней половиной (вектор 1). Если условие '1 1 нарушено, то функция не монотонна, идем на конец.

Шаг 2. Сравниваем значения функции на наборах, соседних по второй переменной, то есть верхние четвертины столбца значений функ-

нарушено, то функция не монотонна, идем на конец.

Шаги 3 n. Аналогично сравниваем восьмые, шестнадцатые части,

и так далее. Если ни одно из проверяемых условий не нарушено, то функция монотонна.

Конец.

154

Примеры. Рассмотрим две булевых функции (первая из них мажоритарная).

x y z f(x; y; z) g(x; y; z)

Проверим на монотонность мажоритарную функцию. Сравниваем половины столбца значений: '1 = 0001 0111 = 1. Сравниваем четвертины: '02 = 00 01 = 20 , '002 = 01 11 = 200. Сравниваем осьмушки: 0 0, 0 1, 0 1, 1 1. Следовательно, мажоритарная

функция монотонна.

Проверим на монотонность функцию g(x; y; z). Сравниваем поло-

вины столбца значений: '1 = 0110 0111 = 1. Сравниваем четвер- òèíû: òàê êàê '02 = 01 не предшествует 20 = 10, функция g(x; y; z) не монотонна.

Теорема о замкнутости класса M. Множество всех монотонных булевых функций является замкнутым классом.

Доказательство. Рассмотрим суперпозицию любых булевых функций из M, то есть функцию

f(x1; : : : ; xn) = f0(f1(x1; : : : ; xn); : : : ; fm(x1; : : : ; xn));

и покажем, что она монотонна. Подставим в суперпозицию любую пару наборов и таких, что , получим:

f( ) = f0(f1( ); : : : ; fm( )) = f0( ); f( ) = f0(f1( ); : : : ; fm( )) = f0( );

где и булевы векторы. Так как , и булевы функции f1(x1; : : : ; xn), : : :,fm(x1; : : : ; xn) монотонны, то . Поскольку функция f0(y1; : : : ; ym) также монотонна, то f0( ) f0( ), следовательно, f( ) f( ), то есть f(x1; : : : ; xn) монотонна, и класс M замкнут.

155

Лемма о немонотонной булевой функции. Если булева функция немонотонна, то из нее подстановкой вместо аргументов констант 0 и 1 и переменной x можно получить инверсию переменной x.

Доказательство. Рассмотрим немонотонную функцию f(x1; : : : ; xn). Согласно утверждению о условии немонотонности, существует пара

Подставим в функцию f(x1; : : : ; xn) вместо каждого аргумента xi ëèáî константу ai, если i 6= k, либо переменную x, если i = k (подстановка константы и переменной допустима по условию теоремы). В результате получим функцию одного аргумента

g(x) = f(a1; : : : ; ak 1; x; ak+1; : : : ; an):

Покажем, что g(x) = x:

g(0)= f(a1; : : : ; ak 1; 0; ak+1; : : : ; an) = [ учтем, что ak = 0 ] = =f(a1; : : : ; ak 1; ak; ak+1; : : : ; an)= f( ) = 1;

g(1)= f(a1; : : : ; ak 1; 1; ak+1; : : : ; an) = [ учтем, что bk = 1 ] = = f(b1; : : : ; bk 1; bk; bk+1; : : : ; bn) = f( ) = 0:

Итак, инверсия x получена.

Пример. Рассмотрим функцию f(y; z) = y # z.

Она немонотонна, так как существует пара наборов = 00 и = 10 таких, что и f( ) > f( ). Так как и соседи по первой компоненте, то, согласно доказательству леммы, положим y = x и подставим вместо z константу 0, получим:

g(x) = f(x; 0) = x # 0 = x:

156

15.6. Таблица непринадлежности элементарных булевых функций замкнутым классам

Построим таблицу, строкам которой поставим в соответствие элементарные булевы функции, а столбцам замкнутые классы. Знаком минус отметим непринадлежность функции классу.

Заметим, что тождественная функция принадлежит всем классам, а штрих Шеффера и стрелка Пирса не принадлежат ни одному.

15.7. Упражнения

Упр. 1. Проверить таблицу непринадлежности элементарных функ-

ций замкнутым классам.

Упр. 2. Выяснить, принадлежат ли классам T 0 è T 1 функции:

Упр. 3. Являются ли самодвойственными функции из упр. 2? Упр. 4. Являются ли монотонными функции из упр. 2?

Упр. 5. Получить полиномы Жегалкина элементарных булевых функций двумя различными способами.

157

Упр. 6. Найти полиномы Жегалкина функций, заданных таблицами истинности из упр. 2, используя метод неопределенных коэффициентов. Определить, какие из них являются линейными.

Упр. 7. Найти совершенные ДНФ функций, заданных матрицами Грея из упр. 2, и получить из них полиномы Жегалкина. Определить, какие из функций принадлежат классу L.

Упр. 8. Найти кратчайшие ДНФ функций, заданных матрицами Грея из упр. 2, и получить из них полиномы Жегалкина. Сравнить их с полиномами, полученными в упр. 7.

Упр. 9. Получить полиномы Жегалкина функций, заданных формулами из упр. 2, используя разложение Дэвио. Определить, какие из функций являются линейными.

Упр. 10. Получить полиномы Жегалкина функций, заданных формулами из упр. 2, подстановкой полиномов элементарных булевых функций. Сравнить их с результатами из упр. 9.

Упр. 11. Найти ДНФ функций, заданных формулами в упр. 2, из них получить полиномы Жегалкина, сравнить с результатами упр. 9.

Упр. 12. Может ли функция, не сохраняющая константу 0 и не сохраняющая константу 1, быть монотонной?

Упр. 13. Может ли быть самодвойственной функция, сохраняющая константу 0 и не сохраняющая константу 1?

16. Функциональная полнота системы булевых функций

Определение. Множество функций N называется функционально

полной системой (ФПС), если любая булева функция представима суперпозицией функций из N.

Договоримся опускать аргументы при перечислении функций множества N и рассматривать термин система как синоним множества.

Пример 1. Множество N1 = f_; ^; g является функционально полной системой, так как любую булеву функцию, кроме константы 0, можно представить совершенной ДНФ, то есть суперпозицией функций из N1, а константу 0 формулой xx.

Пример 2. Множество N2 = f^; ; 1g ФПС, так как любую булеву функцию можно представить полиномом Жегалкина, то есть суперпозицией функций из N2, а полином 0 формулой 1 1.

158

Следующая теорема позволяет сводить вопрос о функциональной полноте одних систем к вопросу о полноте других систем.

Теорема о двух функционально полных системах. Если даны два множества N1 è N2 булевых функций и известно, что N1 функционально полная система, а каждая функция из N1 предста- вима суперпозицией функций из N2, òî N2 тоже является функцио- нально полной системой.

Доказательство. Рассмотрим любую булеву функцию f(x1; : : : ; xn). Она может быть представлена суперпозицией функций из множества N1 = ff0; f1; : : : ; fmg, òàê êàê N1 ÔÏÑ:

f(x1; : : : ; xn) = f0(f1(x1; : : : ; xn); : : : ; fm(x1; : : : ; xn)):

По условию теоремы каждая из функций f0, f1, : : :, fm может быть представлена суперпозицией функций из N2, значит, любая булева функция f(x1; : : : ; xn) представима суперпозицией функций из N2, òî åñòü N2 ÔÏÑ.

Пример 1. N1 = f^; ; _g, N2 = f^; g. Как было показано, N1ФПС. Конъюнкция и инверсия есть в N2, дизъюнкция представима

суперпозицией функций из N2: x _ y = x y, значит, N2 ФПС. Пример 2. N1 = f^; g, N2 = f#g. Как показано в предыдущем

примере, N1 ФПС. Инверсию и конъюнкцию можно представить суперпозицией стрелки Пирса: x = x # x, xy = x _ y = (x # x) # (y # y), следовательно N2 ÔÏÑ.

16.1. Необходимые и достаточные условия функциональной полноты

Перейдем к рассмотрению одного из основных вопросов теории булевых функций вопроса о необходимых и достаточных условиях полноты систем булевых функций. Этот вопрос важен как с теоретической точки зрения, ибо математика всегда интересует вопрос о возможности выражения одних функций через другие, так и с практической точки зрения, при выборе так называемой элементной базы для построения логических схем. База должна быть функционально полной, чтобы из ее элементов можно было построить схемы, реализующие любые булевы функции.

159

Пример. Любую булеву функцию можно реализовать логической схемой из стрелок Пирса, так как множество N = f#g, как показано

в предыдущем примере, функционально полно.

Теорема Поста Яблонского. Для того, чтобы система булевых функций N была функционально полной, необходимо и достаточно,

чтобы она не содержалась целиком ни в одном из пяти замкнутых классов T 0, T 1, L, S и M, то есть чтобы система булевых функций

N содержала хотя бы одну функцию, не сохраняющую константу

0, хотя бы одну функцию, не сохраняющую константу 1, хотя бы одну нелинейную, хотя бы одну несамодвойственную и хотя бы одну немонотонную функции.

Доказательство необходимости. Дано: функционально полная система N. Доказать, что множество N не содержится целиком ни в

одном из пяти замкнутых классов.

Докажем сначала, что N содержит хотя бы одну несамодвойственную функцию. Предположим противное, пусть в N все функции са-

модвойственны. Так как класс самодвойственных функций замкнут, то любая суперпозиция самодвойственных функций является самодвойственной, и никакая несамодвойственная функция не может быть представлена такой суперпозицией. Следовательно, N не является

ФПС, что противоречит условию теоремы. Это означает, что N со-

держит хотя бы одну несамодвойственную функцию.

Аналогично можно показать, что N содержит: хотя бы одну функ-

цию, не сохраняющую константу 0, хотя бы одну функцию, не сохраняющую константу 1, хотя бы одну нелинейную и хотя бы одну немонотонную функции.

Доказательство достаточности. Дано: множество N, которое не

содержится ни в одном из пяти замкнутых классов. Доказать, что множество N ФПС.

Введем следующие обозначения для функций множества N: f0 функция, не сохраняющая константу 0;

f1 функция, не сохраняющая константу 1; fL нелинейная функция;

fS несамодвойственная функция; fM немонотонная функция.

160