DisMathTPU_new

Рассмотрим два множества функций: N1 = f^; g и заданное множество N, и применим к ним теорему о двух ФПС. N1 является ФПС, как было показано в одном из предыдущих примеров; N будет ФПС, если каждая из функций N1 представима суперпозицией функций из N. Покажем, что конъюнкцию и инверсию можно выразить через

функции f0, f1, fL, fS, fM , используя леммы о функции, не сохраняющей константу 0, о нелинейной, несамодвойственной и немонотонной функциях.

Следующая схема наглядно демонстрирует доказательство. В ней следом за знаком функции в квадратных скобках показаны допустимые по условиям леммы подстановки, а после знака равенства полу-

Начнем с функции f0: по лемме о функции, не сохраняющей константу 0, подстановкой вместо аргументов функции переменной x по-

лучим либо константу 1, либо x.

Проанализируем первый случай (верхняя ветвь схемы). Имея константу 1 и подставляя ее вместо каждого аргумента функции f1, ïî- лучим константу 0. Затем по лемме о немонотонной функции, под- ставляя в функцию fM вместо аргументов полученные константы и переменную x, получим x. Таким образом, инверсия выражена супер-

позицией функций f0, f1 è fM .

Перейдем ко второму случаю (нижняя ветвь схемы). Инверсия уже получена из функции f0. По лемме о несамодвойственной функции, подставляя в fS вместо аргументов переменную x и ее инверсию x, получим либо константу 0, либо константу 1. Если имеем константу 0, то, подставляя ее вместо каждого аргумента функции f0, получим константу 1 (средняя ветвь). Если имеем константу 1, то, подставляя ее вместо каждого аргумента функции f1, получим константу 0 (ниж- няя ветвь).

161

Таким образом, следуя по любой из трех ветвей схемы, мы получа- ем константы 0 и 1 и инверсию. Далее по лемме о нелинейной функции, подставляя в функцию fL константы 0 и 1, переменные x, y и их инверсии x, y и, возможно, инвертируя саму функцию, получим конъ-

юнкцию xy. Итак, мы показали, что конъюнкция и инверсия представимы суперпозицией функций из N, значит, N ФПС.

Пример 1. Ранее мы получили, что N1 = f#g ФПС, значит, по теореме Поста-Яблонского стрелка Пирса не должна принадлежать ни одному из замкнутых классов, и это действительно так.

Пример 2. Как показано в таблице непринадлежности элементарных функций замкнутым классам, штрих Шеффера, не принадлежит ни одному замкнутому классу, значит, N2 = f=g ÔÏÑ.

Пример 3. Рассмотрим множество N3 = f0; !g. Импликация при- надлежит только классу T 1, поэтому вместе с константой 0, не при-

надлежащей этому классу, образует ФПС N3.

Пример 4. Рассмотрим систему функций N4 = ff; gg.

Непринадлежность функций f и g пяти замкнутым классам представлена таблицей (мажоритарная функция f рассмотрена в примерах к замкнутым классам, исследование функции g оставляем читателям).

T 0 T 1 L S M

Так как обе функции самодвойственны, N4 не является ФПС. Но если к ней добавить несамодвойственную функцию, например, константу 1, то получим ФПС N5 = ff; g; 1g.

162

16.2. Упражнения

Упр. 1. Используя теорему о двух ФПС, показать, что системы функций являются функционально полными:

N1 = fx yz; 0g,

N2 = fx ,! y; x y zg,

N3 = fx ! (y ! z)g, N4 = fx ! y; 0g.

Упр. 2. Построить таблицы непринадлежности функций каждого из заданных множеств замкнутым классам и проверить, являются ли множества функционально полными.

N1 = fFf = x ! y; Pg = x y zg,

N2 = f'f = 00011000; Gg = x=y=zg, N3 = fFf = x - y; 'g = 10000001g,

n o

N4 = Mf1 = f000; 111g; Gg = x ! y; 'h = 01111111 ,

Упр. 3. Какие элементарные булевы функции необходимо добавить в системы, чтобы они стали функционально полными? Не использовать штрих Шеффера и стрелку Пирса.

Упр. 4. Проверить функциональную полноту систем булевых функций. Удалить из каждой системы максимальное количество функции таким образом, чтобы она оставалась функционально полной.

163

17. Контрольная работа 5

Темы контрольной работы: полиномы Жегалкина, замкнутые

классы, функциональная полнота.

# #

8 подстановка кратчайших ДНФ элементарных функций

9 разложение Шеннона

10 подстановка полиномов Жегалкина элементарных функций

11 разложение Дэвио

Схема контрольной работы (решение каждой из 20 предложенных здесь задач начинать с постановки задачи и делать вывод из сравнения полиномов Жегалкина, полученных разными способами; F

означает формулу без лишних скобок, (F ) формулу с недостающими скобками).

164

Задание на контрольную работу (формула F )

Пример. Задана формула F = x # z x y:

0) Расставим скобки в формуле F .

(F ) = (x # z) (x y):

1) Построим таблицу истинности функции f(x; y; z) по (F ).

2) Построим матрицу Грея по таблице истинности.

y z

x

3) Получим кратчайшую ДНФ функции по ее матрице Грея.

x@ @

R@IR@3 I1

165

4) Получим полином Жегалкина функции по кратчайшей ДНФ.

КратДНФ = x _ y z _ y z =

[ дизъюнкцию пары ортогональных конъюнкций y z _ y z заменим на их дизъюнкцию с исключением ]

= x _ (y z y z) =

[ применим равносильность A1 _ A2 = A1 A2 A1A2 ïðè A1 = x,

A2 = y z y z ]

= x y z y z x (y z y z) = x y z y z x y z x y z =

[ заменим каждую переменную с инверсией a равносильной формулой a 1, раскроем скобки и удалим пары одинаковых конъюнкций ]

Конъюнкции здесь и во всех последующих задачах пронумерованы согласно представлению полинома Жегалкина в форме с коэффициентами.

5) Получим совершенную ДНФ по таблице истинности.

СовДНФ = x y z _ x y z _ x y z _ x y z _ x y z _ x y z:

6) Получим полином Жегалкина по совершенной ДНФ.

СовДНФ = x y z _ x y z _ x y z _ x y z _ x y z _ x y z =

[ заменим знаки дизъюнкции на знаки дизъюнкции с исключением ]

= x y z x y z x y z x y z x y z x y z =

[ заменим каждую переменную с инверсией a равносильной формулой a 1, раскроем скобки и удалим пары одинаковых конъюнкций ]

=(x 1) (y 1) z (x 1) y (z 1) x (y 1) (z 1)

x (y 1) z x y (z 1) x y z =

166

7) Получим полином Жегалкина по таблице истинности . Используем метод неопределенных коэффициентов, последовательно вычисляя коэффициенты полинома и подставляя их в остальные уравнения. Вектор коэффициентов полинома выпишем под таблицей.

P = z y x x z x y:

K1+ K2+ K4+ K5+ K6+

8) Получим ДНФ0 по формуле (F ) подстановкой кратчайших ДНФ элементарных булевых функций.

(F ) = (x # z) (x y) = (x # z)(x y) _ (x # z) (x y) =

= x z x y _ (x _ z)(x _ y) = x y z _ x _ x y _ x z _ y z = = x y z _ x _ y z = ÄÍÔ0:

40) Получим полином Жегалкина функции по ДНФ 0 (аналогично задаче 4).

9) Получим ДНФ00 по формуле (F ) разложением Шеннона.

(F ) = (x # z) (x y) = x[(1 # z) (0 y)] _ x [(0 # z) (1 y)] =

= x [0 0] _ x [z y] = x _ x [z(1 y) _ z(0 y)] = = x _ x y z _ x y z = ÄÍÔ0:

167

400) Получим полином Жегалкина функции по ДНФ 00 (аналогично задаче 4 и учитывая, что все конъюнкции попарно ортогональны).

ÄÍÔ00 = x _ x y z _ x y z = x x y z x y z = = x (x 1) (y 1) z (x 1) y (z 1) =

10) Получим полином Жегалкина по формуле (F ) подстановкой полиномов Жегалкина элементарных булевых функций.

(F ) = (x # z) (x y) =

[ найдем полином Жегалкина стрелки Пирса

a # b = a _ b = 1 a b ab

èподставим его в формулу при a = x, b = z ]

=(1 x z x z) (x y) =

[ найдем полином Жегалкина эквивалентности

a b = a b = 1 a b

èподставим его в формулу при a = 1 x z x z, b = x y ]

=1 (1 x z x z) (x y) =

[ избавимся от скобок, инверсий и пар одинаковых конъюнкций ]

11) Получим полином Жегалкина по формуле (F ) разложением Дэвио.

(F ) = (x # z) (x y) = x[(1 # z) (0 y)] (x 1) [(0 # z) (1 y)] =

=x [0 0] (x 1) [z y] =

=x (x 1) [z(1 y) (z 1)(0 y)] =

=x (x 1) [zy (z 1)y] = x (x 1) [z(y 1) (z 1)y] =

=x (x 1) [ z y z z y y ] =

=x x z x y z y = P:

K4+ K5+ K6+ K1+ K2+

168

Вывод. Полиномы Жегалкина, полученные семью различными способами, совпадают, следовательно, задачи 1) 11) с большой вероятностью решены верно.

12 15) Определим, принадлежит ли функция замкнутым классам T 0, T 1, S и M, по таблице истинности.

x y z f(x; y; z)

Так как f(0; 0; 0) = 0, то функция сохраняет константу 0, то есть f(x; y; z) 2 T 0.

Так как f(1; 1; 1) = 1, то функция сохраняет константу 1, то есть f(x; y; z) 2 T 1.

Число единиц в столбце значений функции не равно числу нулей, значит, выполняется достаточное условие несамодвойственности, зна- чит, f(x; y; z) 2= S.

Верхняя половина столбца значений функции предшествует ниж-

16)Определим, принадлежит ли функция классу L по полиному Жегалкина. P = z y x xz xy, степень полинома равна двум, значит, функция нелинейна, f(x; y; z) 2= L.

17)Определим, образует ли функция f(x; y; z) функционально пол-

ную систему. Из задач 12) 16) следует, что вектор непринадлежности

функции замкнутым классам имеет вид:

T 0 T 1 L S M

Функция не образует функционально полную систему по теореме ПостаЯблонского, так как принадлежит классам T 0 è T 1.

169

Литература

1.С. В. Яблонский. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1979, 272 с.

2.А. Д. Закревский. Алгоритмы синтеза дискретных автоматов. М.: Наука, Физматлит 1971. 511 с.

3.Г. П. Гаврилов, А. А. Сапоженко. Сборник задач по дискретной математике. М.:, Наука, 1992, 407 с.

170