mu
.pdfВариант № 19
1. Найдите неопределённые интегралы:
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∫ |
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4 |
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e |
|
4 |
|
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7 |
|
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1.1. |
|
5x |
|
− |
|
+ |
|
|
−3 |
x |
|
dx ; |
|
|
7 |
x |
4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2. ∫92−5 x dx ; |
|
|
|
||
1.3. ∫ |
|
dx |
|
; |
|
x 3 |
(2ln x −3) |
4 |
|
||
|
|
|
|
||
1.4. ∫ |
|
dx |
|
|
; |
arctg4 2x (1+ 4x2 ) |
2. Вычислите определённые интегралы:
1.5. ∫(9x −1) cos3xdx ;
1.6. ∫ |
|
dx |
|
; |
1 |
−2x − x |
2 |
||
|
|
|
1.7.∫sin2 (x 2) 9cos3 (x 2)dx ;
1.8.∫sin 3x 4 sin x 2 dx .
2.1. ∫4 e−2 x+7dx ;
0 |
|
|
|
1 |
xdx |
|
|
2.2. ∫0 |
; |
||
(3x2 +1)2 |
2.3. ∫π x cos(x 2)dx ;
0
2.5. ∫4 |
|
|
dx |
, заменаx = |
t −1 |
; |
|
|
||||||||
|
|
2x +1 |
2 |
|||||||||||||
|
0 1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
π3 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
1 −t2 |
||||
2.6. ∫0 |
|
|
, замена x = tg |
|
, |
cos x = |
|
; |
||||||||
|
2 +cos x |
2 |
1 +t2 |
|||||||||||||
|
6 |
|
|
|
3 |
x, |
|
если |
x ≤ −3, |
|||||||
2.7. ∫ f (x)dx , |
|
|
|
|
|
|
|
−3 < x ≤1, |
||||||||
f (x) = 2, если |
||||||||||||||||
−5 |
|
|
|
x |
, |
если |
x >1. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
e |
|
3. Вычислите несобственные интегралы (или установите их расходимость):
3.1. ∞∫ln xdx |
; |
3.2. ∫0 |
x e−4 x2 dx ; |
|
1 |
x |
|
−∞ |
|
4. Вычислите площади фигур, ограниченных графиками функций:
4.1.y = 2x2 − x +2,
y = 0, x = 3, x = 0.
5.Найдите среднее значение функций:
5.1.y =sin x, π4;π2 ;
6
4.2.y = x ,
y = 0, x =1, x = 2.
5.2.y = 2 +3x,[0;3].
6. Решите уравнение ∫x (1 −2t)dt =1.
1
7. Найдите модуль и аргумент комплексного числа z = − 3 +3i . Постройте это число на комплексной плоскости.
61
|
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Вариант № 20 |
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|||||
1. Найдите неопределённые интегралы: |
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|||||||||||||||||
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|
3x |
|
|
5 |
|
|
2 |
5 |
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.1. ∫ |
|
− |
x |
+e |
|
− |
|
|
|
dx ; |
|
1.5. ∫arctg 2xdx ; |
|||||||||||||||||
2 |
|
|
5 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||
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|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
||||
1.2. ∫cos x (4 −3sin x)4 dx ; |
|
1.6. ∫ |
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||
|
|
4x |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
exdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+4x −3 |
|||||||||
1.3. ∫ |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.7. ∫cos |
4 |
x sin |
3 |
xdx ; |
|||||||||||
cos2 ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1.4. ∫x2 5 (4 −3x3 )2 dx ; |
|
|
|
1.8. ∫sin( x 5) cos 2xdx . |
|||||||||||||||||||||||||
2. Вычислите определённые интегралы: |
|
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|||||||||||||||||
π |
2 ctg3 xdx |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
2.1. ∫ |
|
|
2 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
2.5. ∫ |
|
|
, замена |
x |
=t |
|
; |
|
|
|
||||||
sin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
+ x |
|
|
|
|
||||||||||||||||
π |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.2. ∫3 |
|
dx |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
2.6. ∫3 |
3 − x2 dx , замена x = |
|
3 sin t ; |
||||||||||||||
|
2x +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
π4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
ex , |
|
если |
|
x ≤ −7, |
|||||||||
2.3. ∫(3 −2x) cos 4xdx ; |
|
|
|
|
|
если−7 < x ≤ −1, |
|||||||||||||||||||||||
2.7. ∫ f (x)dx , f (x) = x3 , |
|||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−9 |
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
, если |
x > −1. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Вычислите несобственные интегралы (или установите их расходимость):
∞ |
xdx |
|
|
|
0 |
−x |
|
|
3.1. ∫ |
|
|
|
|
; |
3.2. ∫ |
3 |
dx ; |
(1− x |
2 |
) |
3 |
|||||
2 |
|
|
|
−∞ |
|
|
4. Вычислите площади фигур, ограниченных графиками функций:
4.1.y =5 − 2x2 ,
y =3x2.
5.Найдите среднее значение функций:
5.1.y = x x,[1;9];
6. Решите уравнение ∫x (2t +1)dt = 0 .
2
4.2.y = x3 ,
y =8, x = 0.
5.2. |
y = |
ln2 x |
,[1;e]. |
|
x |
||||
|
|
|
7. Найдите модуль и аргумент комплексного числа z =3 − 3i . Постройте это число на комплексной плоскости.
62
4.2.4. Решение типового варианта и образец оформления индивидуального задания № 2
Вариант № 0 1. Найдите неопределённые интегралы:
|
∫ |
x3 |
|
|
4 |
|
|
4 |
x |
|
|
∫ |
x |
3 |
ln xdx ; |
||||||
1.1. |
|
|
|
− |
|
−7 |
− |
|
|
dx ; |
1.5. |
|
|
||||||||
2 |
|
x2 |
|
3 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
||||||
1.2. ∫5 6 − 2xdx ; |
|
|
|
|
1.6. ∫ |
|
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
x2 −6x + 25 |
|||||||||||||||||
1.3. ∫ |
|
dx |
|
|
; |
|
|
|
|
|
1.7. ∫cos |
3 |
3xdx ; |
||||||||
xln2 x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1.4. ∫sin 2x 3 2 −3cos 2xdx ; |
1.8. ∫sin |
x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
cos3xdx ; |
||||||||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
x3 |
|
|
4 |
|
|
4 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.1. |
|
|
|
− |
|
−7 |
− |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
x2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интеграл вычисляется непосредственным интегрированием. При этом используются свойства линейности неопределённого интеграла.
|
x3 |
4 |
4 |
x |
|
x3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
− |
|
−7 − |
|
|
|
dx |
= ∫ |
|
|
dx − |
∫ |
|
dx − ∫7dx − ∫ |
|
|
dx = |
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
x2 |
|
3 |
2 |
|
x2 |
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
= |
|
1 |
∫x3dx −4∫x−2dx −7∫dx − |
1 |
|
∫x 14 dx = |
1 |
|
x4 |
−4 |
|
x−1 |
−7x − |
1 |
|
|
x54 |
+C = |
|||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
−1 |
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
4 |
|
||||||||||||||
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
+4x−1 −7x − |
x5 4 |
+C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегралы 1.2, 1.3 и 1.4 вычисляются подведением под знак дифференциала.
1.2. ∫5 6 − 2xdx
∫5 6 −2xdx = ∫(6 − 2x) 15 dx = ∫(6 −2x) 15 d(6 −2x) = −2
= − |
1 |
∫(6 −2x)15 d (6 −2x) =− |
1 |
|
(6 −2x)65 |
+C = − |
|
5 |
(6 −2x)65 +C. |
||
2 |
2 |
6 |
5 |
12 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
63
1.3. ∫ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
xln2 x |
|
(ln x)−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ln x)−1 |
|||||||||||
∫ |
|
|
dx |
|
= ∫ |
|
|
d (ln x) |
= ∫(ln x) |
−2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d (ln x) = |
|
|
+C . |
||||||||||||
x ln2 x |
x |
1 |
x |
|
|
−1 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.4. ∫sin 2x 3 2 −3cos 2xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
∫sin 2x 3 2 −3cos 2xdx = ∫sin 2x (2 −3cos 2x) 13 dx = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
d (2 −3cos 2x) |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
||||||||
= ∫sin 2x (2 −3cos 2x) |
|
|
= |
∫(2 |
−3cos 2x) |
|
d(2 −3cos 2x) = |
|||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(2 −3cos 2x)4 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6sin 2x |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
1 |
|
|
+C = |
1 |
|
(2 −3cos 2x)4 3 +C. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
4 |
3 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.5. ∫ |
x3 ln xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интеграл вычисляется с помощью формулы интегрирования по частям ∫udv = uv − ∫vdu .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = ln x du = 1 dx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
∫ |
x3 ln xdx = ∫x |
3 |
2 ln xdx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
= |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
dv = x3 2 dx v = ∫x |
3 2 dx = |
x5 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x5 2 |
|
|
|
x52 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
− ∫ |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
5 |
|
2 |
|
∫x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
x |
|
2 |
ln x − |
|
|
|
2 dx |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5 |
2 |
|
5 |
2 |
|
|
x |
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
|
2 |
x52 ln x − |
|
2 |
|
+C = |
|
2 |
x |
5 2 ln x − |
|
4 |
|
x52 +C. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
5 |
5 |
|
5 |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
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|
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|
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|
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||
1.6. ∫ |
dx |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
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|||||||||||||||||
x2 −6x + 25 |
|
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
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|||||||||||||||||||
|
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|
Интеграл содержит квадратный трехчлен. Преобразуем выражение, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
стоящее в знаменателе подынтегральной дроби |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
x2 −6x +25 = x2 −2 3 x +32 −32 +25 = (x −3)2 +16 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
dx |
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
= |
∫ |
d (x −3) |
|
|
= |
1 |
arctg |
x −3 |
+C. |
|||||||||||||||||||||
x2 −6x +25 |
|
|
|
|
(x −3)2 +16 |
(x −3)2 +42 |
|
4 |
4 |
|
|
64
Интегралы 1.7 и 1.8 содержат тригонометрические функции
1.7. ∫cos3 3xdx
∫cos3 3xdx = ∫cos2 3x cos3xdx = ∫(1−sin2 3x)cos3xdx =
=∫(cos3x −sin2 3x cos3x)dx = ∫cos3xdx − ∫sin2 3x cos3xdx =
=∫cos3x d (33x) − ∫sin2 3x cos3x d3cos3(sin 3xx) =13 ∫cos3xd (3x) −
−1 ∫sin2 3xd (sin 3x) =1 sin 3x − 1 sin3 3x +C. 3 3 3 3
1.8. ∫sin 2x cos 3xdx
Для преобразования подынтегрального выражения воспользуемся формулой тригонометрии sin α cosβ = 12 (sin(α+β) +sin(α−β)) .
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|
|
|
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|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
7x |
|
|
||||||||||||||
|
sin |
|
|
|
|
cos 3xdx = |
|
|
|
|
sin |
3x + |
|
|
|
|
|
+sin |
3x − |
|
|
|
|
|
dx |
= |
|
|
|
|
sin |
|
|
dx + |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
2 |
|
2 ∫ |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
∫ |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
∫sin |
|
5x |
|
dx |
1 |
∫sin |
7x |
|
|
d (3,5x) |
|
|
|
1 |
|
∫sin |
5x |
|
|
|
d (2,5x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
3,5 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
2 |
∫ |
|
|
|
|
7x |
|
|
7x |
|
|
1 |
|
|
2 |
∫ |
|
|
|
|
5x |
|
|
5x |
|
|
|
1 |
|
|
|
7x |
|
1 |
|
|
5x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
− |
|
cos |
|
|
+C . |
||||||||||||||||
2 |
7 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
5 |
2 |
|
|
|
|
7 |
2 |
|
|
|
5 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Вычислите определённые интегралы: |
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
π |
4 tg2 xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2.1. ∫0 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. ∫0 |
|
, замена x =t |
|
−1; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2.2. ∫ |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.5. ∫ |
|
|
25 − x |
dx , замена x =5sin t ; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 2x |
|
|
+5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ≤ 0, |
||||
|
|
|
|
|
π3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3, |
|
|
|
|
|
|
если |
|
|||||||||||||
2.3. ∫(4 −3x)sin 3xdx ; |
|
|
|
|
2.6. ∫ f (x)dx , |
f (x) = |
|
|
x, |
|
|
|
|
|
если |
|
0 < x ≤1, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x −4, |
|
если |
|
x >1. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
65
Решение
|
|
|
|
π/ 4 tg2 xdx |
|
|
|
|
||||||||||
2.1. |
∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
cos2 x |
|
|
|
|
|||||||||||||
π4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
π4 |
2 |
|
|
|||||
∫ |
tg xdx |
= ∫ |
tg |
x |
|
|
||||||||||||
cos2 x |
cos |
2 x |
||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
1 |
tg3 π − tg3 0 = |
1 |
||||||||||||||
3 |
3 |
|||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.2. ∫1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2x2 +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3 |
|
|
|
xdx |
|
|
|
3 |
|
|
|
x |
|
|
|
|||
∫ |
|
|
|
|
= |
∫ |
|
|
|
|
|
|||||||
2x2 +5 |
2x2 |
+5 |
||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
d (tg x) |
|
|
π |
4 |
|
|
tg3 x |
|
π4 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
= |
∫tg |
2 |
x d (tg x) = |
|
= |
||||||||
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||
cos2 x |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
3 |
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
(1 |
−0 |
|
) = |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
d (2x2 +5) |
|
1 |
3 |
d (2x2 +5) 1 |
|
|
|
|
3 |
|||
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
∫ |
2x |
|
|
|
|||||||
|
= |
|
|
= |
|
ln |
|
+5 |
|
= |
||
4x |
4 |
2x2 +5 |
4 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
= 14 (ln(2 32 +5) −ln(2 12 +5))= 14 (ln 23 −ln 7).
π3
2.3.∫(4 −3x)sin 3xdx
0
Интеграл вычисляется методом интегрирования по частям
|
b |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫udv = uv |
|
ba − ∫vdu . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
π |
3 |
|
|
u = 4 −3x du = −3dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∫(4 −3x)sin 3xdx = |
dv =sin 3xdx v = ∫sin 3x |
d (3x) |
= − |
1 |
|
cos3x |
= |
|||
0 |
|
|
3 |
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
π |
|
π3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||
= |
(4 −3x) |
− |
|
|
cos3x |
|
|
− |
|
− |
|
|
cos3x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
0 |
|
∫0 |
π |
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= − |
1 |
((4 −π) cos π−4cos0)− ∫3 cos3x |
||||||||||||||||||||
3 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||
= |
|
8 |
− |
π |
− |
1 |
(sin π−sin 0) = |
8 −π |
. |
|
||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
(−3dx) =
d (3x) |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
π |
|
= − |
|
(−4 |
+ π−4) |
− |
sin 3x |
|
3 |
= |
|||
|
|
|
|
||||||||
3 |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
66
2.4. ∫7 |
xdx |
, замена x =t3 −1 |
3 |
||
0 |
1 + x |
|
Выполним замену в интеграле по формуле x = t3 −1. Тогда dx = 3t2dt ;
t3 = x +1 t = 3 x +1 .
Находим новые пределы интегрирования
tнижн = 3 0 +1 =1, tверхн = 3 7 +1 = 2.
Тогда
7 |
xdx |
|
|
|
|
|
2 |
|
(t |
3 |
|
− |
|
|
|
2 |
dt |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
5 |
|
t |
2 |
|
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
= |
∫ |
|
|
|
1) 3t |
= 3 |
(t3 |
|
−1)tdt = 3 |
|
|
(t4 −t)dt = 3 |
|
|
− |
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||
3 1+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 2 |
|
|
1 |
|||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
25 |
|
|
|
22 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
32 −1 |
|
1−4 |
|
|
|
|
47 |
|
|
141 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= |
3 |
|
− |
|
|
|
|
− |
|
|
+ |
|
|
|
= 3 |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
= 3 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5 |
2 |
|
5 |
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
10 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2.5. ∫5 |
25 − x2 dx , замена x =5sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
Выполняем замену |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x =5sin t dx = 5cos tdt; t = arcsin |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Находим новые пределы интегрирования |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
tнижн |
= arcsin |
|
0 |
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
tверхн |
= arcsin |
5 |
= arcsin1 = π. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
Тогда |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
25 − x2 dx = ∫2 |
|
25 −25sin2 t 5costdt =∫2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
25(1−sin2 t) 5costdt = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= 25 ∫2 |
|
cos2 t costdt = 25 ∫2 cos2 tdt =25 ∫2 |
1+cos 2t |
dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
25 |
π |
2 |
|
|
|
|
|
|
π2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
d (2t) |
25 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= |
|
|
|
dt + |
|
|
∫ |
|
cos 2t |
|
|
|
|
|
= |
|
|
t + |
|
|
sin 2t |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
67
|
25 |
π |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= |
|
|
|
|
+ |
|
|
sin π−0 − |
|
|
|
|
sin 0 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
|
x ≤ 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2.6. ∫ f (x)dx , |
f (x) = |
|
|
|
|
|
x, |
|
|
если |
|
0 < x ≤1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x −4, |
|
|
если |
x >1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Воспользуемся свойством аддитивности определённого интеграла |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
|
|
|
Тогда |
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
||||||||||
|
|
f (x)dx = |
|
|
(−3)dx + |
|
|
|
|
|
|
|
xdx + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 dx = −3 |
|
|
dx + |
|
x 2dx + |
||||||||||||||||||||||
−3 |
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||||
|
2 |
4 |
|
|
|
4 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
x32 |
|
1 |
|
2 x2 |
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
∫ |
xdx −4 |
∫ |
dx =−3x |
|
|
|
|
|
|
−4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
+ |
3 |
−3 |
+ |
|
3 |
|
|
|
|
+ |
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
15 |
|
|
|
40 |
|
||||||||
= −3(0 +3) + |
(1 −0) + |
(16 −1) −4(4 −1) = −9 + |
+ |
−12 = − |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
3 |
|
3 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Вычислите несобственные интегралы (или установите их расходимость):
3.1. ∫∞ |
|
dx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2. |
∫1 |
e−2 xdx . |
|||||
(x +5)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
−4 |
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
−∞ |
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|
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|
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|
|
Решение |
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||||
3.1. ∫∞ |
|
dx |
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|
|
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|
|
||
(x +5)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||||||
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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∞ |
dx |
|
|
|
|
b |
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|
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−4 |
|
|
|
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|
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(x |
+5)−3 |
|
b |
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|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
= lim |
|
∫ |
(x +5) |
|
|
|
d(x +5) |
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
||||||||
(x +5)4 |
|
|
|
|
|
−3 |
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||||||||||||||||||||
b→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b→∞ |
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|
|
|
|
|
|||||||||||
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
(x +5)−3 |
|
b |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
lim |
|
|
|
−1 = |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
−3 |
|
−4 |
3 |
(b + |
5) |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
b→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
b→∞ |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как предел существует и конечен, то несобственный интеграл сходится.
68
3.2. ∫1 |
e−2 xdx |
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|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
1 alim→−∞(e−2 x |
|
1a )= |
∫1 |
e−2 xdx = alim→−∞ ∫1 e−2 xdx =alim→−∞ ∫1 e−2 x d (−2x) |
=− |
|
|||||
|
||||||||
|
|
|||||||
−∞ |
|
a |
a |
−2 |
|
2 |
|
|
=− 1 lim (e−2 −e−2a )= ∞.
2 a→−∞
Так как предел равен бесконечности, то несобственный интеграл расходится.
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
|
y = 1 |
x |
2 , |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4.1. |
|
|
4.2. |
|
|
y = 0 |
|
y = 2x − x , |
|||
|
x =1, |
|
|
y = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
y = 1 |
x |
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
4.1. |
|
|
|
|
|
y = 0 |
|
|
|
|
|
|
x =1, |
|
|
|
|
x = 2.
Построим график функции y = x12 и прямые x =1, x = 2. y
0 |
1 |
2 |
x |
Так как фигура, площадь которой надо найти, снизу ограничена осью Ox , то формула для вычисления площади имеет вид
S = ∫b |
f (x)dx , где |
f (x) = |
1 |
, a =1,b = 2. |
2 |
||||
a |
|
|
x |
Окончательно получаем
69
S = |
2 |
dx |
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
= − |
|
|
|
|
= − |
|
−1 |
= |
|
(кв. ед.). |
|
∫x |
2 |
x |
|
|
|
2 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.2.y = 2x − x2 ,y = 0.
Построим фигуру, ограниченную линиями y = 2x − x2 и y = 0. Графиком функции y = 2x − x2 является парабола, ветви которой направле-
ны вниз. Найдём вершину параболы
xв = −2ab = −−22 =1, yв = y(xв) = 2 1−12 =1.
Находим абсциссы точек пересечения параболы y = 2x − x2 с осью Ox , для этого решим уравнение
2x − x2 = 0 x(2 − x) = 0 x = 0, x = 2.
Графиком функции y = 0 является ось Ox .
y
0 2
x
Найдём площадь фигуры по формуле |
|
|
||||||||||||||
S = ∫b |
f (x)dx , где |
f (x) = 2x − x2 ,a = 0,b = 2. |
|
|
||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
2 |
|
8 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
S = ∫(2x − x |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
)dx = x |
|
− |
|
|
|
|
= 4 − |
|
|
−(0 −0) = |
|
(кв.ед.). |
|||
|
|
3 |
|
|
3 |
3 |
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) на отрезке [a;b]: |
||||||
5. Найдите среднее значение функции |
||||||||||||||||
5.1. f (x) = 3x , |
[−1; 2]; |
|
|
|
|
|
|
|
5.2. f (x) = x2 −2x, [0; 4]. |
70