mu

′

x2 −4

(−1)2 − 4

−3

y (−1) =

=

2

=

< 0

;

2x

2

2(−1)

2

x=−1

′

x2 −4

12 −4

−3

y (1)

=

=

2

=

< 0 ;

2x

2

2

x=1

2 1

′

x2 −4

32 −4

5

y (3)

=

=

2

=

>

0.

2x

2

18

x=3

2 3

функция убывает на интервалах (−2; 0) и (0; 2)

;

x1 = −2 – точка максимума;

x3 = 2 – точка минимума.

Находим экстремумы:

2

+ 4

2

+ 4

8

Максимум ymax = y(−2) =

x

= (−2)

=

= −2 ;

2x

−4

x=−2

2(−2)

Минимум ymin = y(2) =

x2 + 4

= 22 + 4 =

8 =

2 .

2x

x=2

2 2

4

водная y′= e−x2 (1 − 2x2 ) не существует, нет.

y′= 0 e−x2 (1

−2x2 )

= 0 e−x2 ≠ 0 , 1−2x2 = 0 x1 = −

1

,

x2 =

1

.

2

2

Данная функция имеет две критические точки

x = −

1

и x

=

1

.

1

2

2

2

-

+

-

−

1

1

2

2

y′(−1) =(e−x2 (1 − 2x2 ))

= e−(−1)2 (1−

2 (−1))(1+

2 (−1)) < 0 ;

y′(0) =(e−x2 (1− 2x2 ))

x=−1

x=0

= e−(0)2 (1−

2 0)(1+

2 0) > 0 ;

y′(1) =(e−x2 (1− 2x2 ))

= e−(1)2 (1−

2 1)(1+

2 1) < 0 .

Таким образом,

x=1

1

1

функция возрастает на интервале

;

−

;

2

2

−∞;

1

1

;

(0; 2) ;

функция убывает на интервалах

−

и

+∞

2

1

2

x =

– точка максимума;

2

2

x = −

1

– точка минимума.

1

2

Находим экстремумы:

−1

1

−x2

1

1

Максимум ymax = y

=(xe

)

1

=

e

2

=

;

2

2

2e

x

=

2

1

−x2

1

−

1

1

Минимум ymin = y

−

=(xe

)

1 = −

e

2 = −

.

2e

2

x=−

2

2

1

xdx

9

2

2.2. ∫

;

2.6. ∫ 81− x

dx , замена x =9sin t ;

2

2

0 (x

+1)

0

e

0

3,

если

x ≤ −4,

2.3. ∫xln xdx ;

2.7. ∫ f (x)dx , f (x) =

x −1, если

−4 < x ≤ −2,

1

−5

x

2

,

если

x > −2.

3.

Вычислите несобственные интегралы (или установите их расходи-

мость):

3.1. −∫2

dx

;

3.2. ∞∫

x +1

dx ;

3

1 + x

3

−∞

1

x

4.

Вычислите площади фигур, ограниченных графиками функций:

4.1. y = x2 ,

2

,

4.2. y = ex , y = 0,

y = 2x − x

x = 0, x =1.

5.

Найдите среднее значение функций на отрезке:

4x

5.1. y = x4 + 4x,

[

−1;1 ;

5.2.

y =

,

0;1 .

x2 +1

]

[ ]

6.

Решите уравнение ∫x (4t +1)dt = 0 .

0

7.

Найдите модуль и аргумент комплексного числа z =

2 +i 2 . По-

Вариант № 2

1. Найдите неопределённые интегралы:

∫

1

4

5

∫

1.1.

3x +

2

−

x

−

dx ;

1.5.

(4 −3x)sin 9xdx ;

x

dx

1.2. ∫x4 3 8 −5x3 dx ;

1.6. ∫

;

x2 −3x + 2

1.3. ∫

arctg4 7xdx

1.7. ∫sin

7x

2x

1 + 49x2

;

4

cos

5 dx ;

1.4. ∫23x+7 dx ;

1.8. ∫cos3 3xdx .

2. Вычислите определённые интегралы:

π

3

dx

3

2.1. ∫

;

2.5. ∫

1 + xdx ;

x

2

+

9

π

6

0

e

ln xdx

9

x

2

2.2. ∫

x

2

;

2.6. ∫

dx , замена x

=t

;

x

1

4

−1

π

2

2 − x

2

,

если x ≤ −4,

2

2.3. ∫cos3 xsin xdx ;

2.7. ∫ f (x)dx ,

f (x) = 3, если

−4 < x ≤ 0,

π4

−6

x3 ,

если

x > 0.

3.

Вычислите несобственные интегралы (или установите их расходи-

мость):

3.1. ∞∫

xdx

;

3.2.

∫0

xe−x2 dx ;

4

0

1 + x

−∞

4.

Вычислите площади фигур, ограниченных графиками функций:

y = ex ,

2

4.1. y =9 − x

,

;

4.2.

y = e2 x , ;

3x − y =1,

x =1.

5.

Найдите среднее значение функций на отрезке:

x

5.1. y = x +1,

[0; 4];

5.2. y =

,

3;

8 .

2

x

+1

6.

Решите уравнение ∫x (3t −2)dt = 0 .

0

7.

Найдите модуль и аргумент комплексного числа

z =

2 −i

2 . По-

Вариант № 3

1. Найдите неопределённые интегралы:

∫

4

+ x3 − 2 6

∫

(4 +5x)sin 5xdx ;

1.1.

x

2 −2

1.5.

x dx ;

1.2. ∫cos(7 −3x)dx ;

1.6. ∫

dx

;

x2 −5x + 4

1.3. ∫

sin(ln x)dx

;

1.7. ∫sin2 7xdx ;

x

x

1.4. ∫

arcsin

4

x

5x

3

dx ;

1.8. ∫cos

dx .

cos

2

9 − x2

3

2. Вычислите определённые интегралы:

−1

4

xdx

2.1. −∫2

dx

;

2.5. ∫0

;

(11 +5x)3

x +2

2

1

1 sin t ;

2.2. e∫ln2 xdx

;

2.6. ∫2

1 −4x2 dx , замена x =

1

x

0

2

1

9

0,

если

x ≤1,

2.3. ∫xe−xdx ;

2.7. ∫ f (x)dx ,

, если

4 < x ≤1,

f (x) = x

2

0

2

если

x > 4.

x,

3.

Вычислите несобственные интегралы (или установите их расходи-

мость):

3.1. ∞∫e−4 xdx ;

3.2. ∞∫

2x

dx ;

2

0

1

x +1