mu

1. Найдите пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:

1.1. lim

6x

2 −7x −16

;

1.5. lim

7x2 +6x −16

;

5x2 + 2x −

2

5x2 + x −6

x→1

x→∞

sin2 4x

5

1.2. lim

;

1.6. lim

4 +3x x

;

x

2

x→−π/ 2

x→∞

2 −3x

1.3. lim

6x −16

;

1.7. lim

x3 −125

;

x2

+ x −6

x2 + x −30

x→2

x→5

8x7 −16x6 +5

x3

x2

1.4. lim

8

2

;

1.8. lim

−

.

6x

+3x

−5

2x

2

−1

2x +1

x→∞

x→∞

2. Исследуйте функцию на непрерывность, постройте её график:

x,

если x ≤ 0,

−1

2

2.1. f (x) =

x

,

если

0 < x ≤ 2,

2.2. y =

.

3x + x2

если x > 2.

4 − x,

3. Найдите производную функции:

3.1. y =

x5

−

3

+

x

2

+ e

2sin 3

;

3.4. y = tg x 6

−x

;

10

3

x

2

3.2. y =

e−3x

;

3.5. y = arctg4

x

;

1 +ex 2

4

3.3. y = 3x −6

−ln 4x ;

3.6. y = log5

2 (x2 + 7x) .

2

4. Найдите пределы, пользуясь правилом Лопиталя:

4.1. lim

x3

+5x2 +8x + 4

;

4.3. lim

1

−

x

;

x

3

+3x

2

− 4

+1

x

2

x→−2

x→−1

x

− 2x −3

4.2. lim

sin 7x

;

4.4. lim

4x2 +13

.

x2

+ πx

7

x→0

x→∞ x3 −8x2 +

5.1. y = x5 − 5 x3

+ 2 , [−2;0] ;

5.2. y =

x −5

, [−3; 7].

3

x2 +11

6. Найдите интервалы монотонности и экстремумы функции:

6.1. y = 2x2 − x4 ;

6.2. y = (x −5) ex .

1. Найдите пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:

1.1. lim

x2 +5x + 6

;

1.5. lim

x10 − x7 +1

;

x→−1 x2 −8x −12

x→∞

4x5 − x10

1.2. lim

sin2 3x

;

1.6. lim

5 −6x

2 x

7x

2

− x

;

x→−π/ 2

x→0

2

1.3. lim

2 + x

;

1.7. lim

x2 +5x −6

;

x2

+ x −6

x2 −8x

+12

x→2

x→6

1.4. lim

x3 −7x2 +3

;

1.8. lim

1

−

1

.

10x

4

−6x

−

12

2

− 4

x

2

−3x + 2

x→∞

x→2

x

2. Исследуйте функцию на непрерывность, постройте её график:

0,

если

x ≤1,

−x

2.1. f (x) =

x,

если

1 < x ≤ 4,

2.2. y =

.

4 − x2

если

x > 4.

x,

3. Найдите производную функции:

3.1. y =

3

− 2

x −

4 x

−log

e ;

3.4.

y =sin x e−0,5 tg2 x ;

x3

2

3

3.2. y =

cos 4x

;

3.5. y = 5 arcsin(x + 6) ;

2 −cos 2x

3.3. y =

3x

− tg

x

;

3.6. y = ln4 (x2 − 2x) .

2

4

4. Найдите пределы, пользуясь правилом Лопиталя:

4.1. lim

x3

−3x − 2

;

4.3. lim

1

−

x

;

x + x

2

x

x→−1

x→2

ln(3 − x)

− 2

4.2. lim

1 −cos10x

;

4.4. lim

x3 − 2x

.

ex

2

−1

7

x→0

x→∞ x2 −8x3 +

1. Найдите пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:

1.1. lim

9x2 −5x

;

1.5. lim

3 − 2x + 4x2

;

3x −1

5x3 + 2x2 +1

x→1

x→∞

cos2 4x

x +3

2

1.2. lim

;

1.6. lim

x

;

8x

2

x→π/ 2

x→∞

2x +1

1.3. lim

8x2 −5x

;

1.7. lim

x3 +8

;

2x2 + 2x −

4

x2

+ x −

2

x→−2

x→−2

1.4. lim

2x2 −5x + 6

1

1

2

;

1.8. lim

−

.

3x

+3x −

4

2

−9

x

2

−2x

−

x→∞

x→3 x

3

2. Исследуйте функцию на непрерывность, постройте её график:

2

x,

если

x ≤ 4,

3

2.1. f (x) =

x,

если 4

< x ≤ 6,

2.2. y =

.

3x + x

2

если

x > 6.

7 − x,

3. Найдите производную функции:

3.1. y = 4 4

x5

+

3

− 4x3 −e3 ;

3.4. y = x2

1 − 4x2

;

x2

ln 3x

3.2. y =

;

3.5. y = 4arcsin 2 x ;

x2 −1

3.3. y =3x2

− 4sin 5x ;

3.6. y = ln2 (1 +3sin 2x) .

4. Найдите пределы, пользуясь правилом Лопиталя:

4.1. lim

x3

+3x2 − 4x −12

;

4.3. lim

x

−

1

;

x

3

3x

2

+ 4

2

ln(x −1)

x→2

−

x→2

x

−

;

e−5 x −1 +5x

x2 − 4

4.2. lim

;

4.4. lim

.

3x2

2x3 +3x +10

x→0

x→∞

5.1.

y =

4x −1

, [−1;3];

5.2. y = x3 −12x + 7 , [0;3].

x2 +3

6. Найдите интервалы монотонности и экстремумы функции:

6.1.

y = x2 − 1

;

6.2. y = (x + 4) e2 x .

x

Вариант № 12

1. Найдите пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:

1.1. lim

7x2 −2x +3

;

1.5. lim

4 −6x +3x3

;

x2

−3x −

9

6x2 + 4x −3

x→−2

x→∞

1.2. lim

cos2 4x

;

1.6. lim

2 + x 2 x

;

4x

2

x→π/ 2

x→0

4 +9x

1.3. lim

4x −20

;

1.7. lim

x2 − x −12

;

2x2 −4x −16

x3 + 27

x→4

x→−3

1.4. lim

2x −5x2

1.8. lim

1

2

;

−

.

2

−8x + 7

3

−64

x

2

−16

x→∞ x

x→4