Математика РГР
.pdf
|
а) r |
|
cos 4 , r |
|
sin 4 , 4 3 4 |
|||||
9.14 |
2 |
2 |
||||||||
|
б) |
x 3,5 2cos t cos 2t , y 3,5 2sin t sin 2t , 0 t 2 |
||||||||
9.15 |
а) r cos , r 2cos |
|
|
|||||||
|
б) |
x 6 cos t t sin t , y 6 sin t t cos t , 0 t |
||||||||
9.16 |
а) r sin , r 2sin |
|
|
|||||||
|
б) |
x t2 2 sin t 2t cos t, y 2 t2 cos t 2t sin t, 0 t 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9.17 |
а) r 1 |
|
2 cos |
|
|
|||||
|
б) |
x 8cos3 t, y 8sin3 t, 0 t 6 |
||||||||
9.18 |
а) r 1 2 cos |
|
|
|||||||
|
б) |
x et |
cost sin t , y et cost sin t , 0 t 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
9.19 |
а) r 1 |
|
2 sin |
|
|
|||||
|
б) |
x 4 t sin t , y 4 1 cos t , 2 t 2 3 |
||||||||
9.20 |
а) r 5 2 sin , r 3 2 sin |
|||||||||
|
б) |
х 2(2cost cos2t), y 2(2sin t sin 2t), 0 t / 3 |
10. Даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие
понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным
начальным условиям.
|
|
|
у |
|
х |
2 |
0, |
у(1) |
4 |
|
|
3. |
|
|
|
|
|
||||||||
10.1 |
ху |
|
|
|
3 |
, |
у (1) |
21
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.2 |
у |
y |
|
1, |
|
|
. |
||
|
у ctgx sin x, |
|
y |
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0) 1, |
|
|
2. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
10.3 y |
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 3 |
|
|
|
, |
|
|
y (0) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
y(1) |
|
1 |
|
|
|
|
4. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
10.4 xy |
|
|
|
2 y |
|
|
|
2x |
|
|
|
|
, |
|
|
y (1) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
10.5 xy |
|
ln x 1, |
|
|
|
|
|
y(1) |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
0. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (1) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10.6 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x, |
|
y(0) 1, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y tgx |
|
y (0) 0. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
10.7 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 4x2 3 |
|
|
|
, |
|
y(0) 0, |
y (0) 0. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
4x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(1) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
10.8 xy |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (1) 2. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
10.9 xy |
y |
x |
cos x, |
|
y |
|
|
|
1, |
|
y |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
||||||||
10.10 |
x |
3 |
y |
|
|
4ln x, |
|
|
|
|
|
|
|
y(1) 4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (1) 0. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10.11 |
|
y |
|
е |
у |
|
y |
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
y(0) 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) 1. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10.12 |
|
|
|
|
|
|
2y, |
|
|
|
|
y(0) 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
y y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) 0. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10.13 |
|
yy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
y(0) |
1, |
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
10.14 |
|
y |
3 |
y |
|
3, |
|
|
|
y(1) |
1, |
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y (1) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
12 y |
2 |
|
0, |
|
|
|
|
y(0) |
|
1 |
|
|
|
|
|
1. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10.15 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
4 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
10.16 |
2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
y(0) |
|
|
|
|
|
y (0) 2 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
10.17 |
( y 2) y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
, |
y(0) 3, |
|
|
|
|
1. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 y |
|
|
y (0) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10.18 |
2 уу |
|
|
3 |
|
|
|
у |
|
|
|
|
2 |
, |
|
у(1) 1, |
|
|
|
1. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у (1) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.19 |
|
у |
3 |
|
|
|
у 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
у(2) 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у (2) 2. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10.20 |
( у 1) |
2 |
|
у |
|
|
|
у |
|
3 |
|
у(0) 0, |
|
|
1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
у (0) |
22
11. Найти частное решение линейного неоднородного дифференциаль-
ного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовле-
творяющее заданным начальным условиям.
11.1y'' y 2cos x , y(0) = 2, y'(0) 0
11.2y'' 4y sin x , y(0) = 1, y'(0) 1
11.3y'' y sin 2x , y( ) = 1, y '( ) 1
11.4y'' 4y' 4sin 2x 8cos 2x , y(0) = 0, y'(0) 0
11.5y y 5cos x 5sin x ; y(0) = – 4 ; y'(0) = 5
11.6y'' 2y' y 12cos 2x 9sin 2x; y(0) = –2, y'(0) 0
11.7y'' 6y' 25y 9sin 4x 24cos 4x; y(0) = 2, y (0) 2
11.8y 6y cos4x 8sin 4x , y(0) = 0, y'(0) 5
11.9y'' 12y' 36y 32cos 2x 24sin 2x; y(0) = 2, y '(0) 4
11.10y'' 3y' 2y sin x 7 cos x; y(0) = 2, y '(0) 7
11.11y'' 5y' 6y 52sin 2x; y(0) = – 2 ; y'(0) = – 2
11.12y'' 4y 3cos x; y(0) 1; y'(0) 2
11.13y '' 4y 4sin 2x; y(0) 2; y '(0) 7
11.14y '' y ' 2sin x ; y(0) = 5 ; y'(0) = 1
11.15y'' y' 2y cos x 3sin x; y(0) 1; y'(0) 2
11.16y '' y 6sin 2x; y( ) 1; y '( ) 4
11.17y'' 16y 7 cos 3x; y(0) = 1 ; y'(0) = 4
11.18y'' 2y' y 2sin x ; y(0) = 1 ; y'(0) = 2
11.19y'' 4y sin x ; y(0) = 1 ; y'(0) = 1
11.20у 4у 4 cos2x; y(0) 0; y (0) 3
23
12. Классическим методом и методом операционного исчисления найти
частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее
начальным условиям.
|
х 4х 6 у, |
|
х 5х 4 у, |
|
|
|
|
|
|
12.1 |
у 4х 2 у, |
12.2 |
у 2х 3у, |
|
|
х(0) 2, у(0) |
3. |
|
х(0) 1, у(0) 1. |
|
х 3х у, |
|
|
х 6х 3у, |
|
|
|
|
|
12.3 |
у 8х у, |
|
12.4 |
у 8х 5у, |
|
х(0) 1, у(0) |
2. |
|
х(0) 0, у(0) 2. |
|
х х 5 у, |
|
х 3х 2 у, |
|
|
|
|
|
|
12.5 |
у х 3у, |
|
12.6 |
у 2х 8 у, |
|
х(0) 1, у(0) |
0. |
|
х(0) 1, у(0) 0. |
|
х 4х 6 у, |
|
х 5х 8 у, |
|
12.7 у 4х 2 у, |
12.8 у 3х 3у, |
|||
|
х(0) 0, у(0) |
1. |
|
х(0) 1, у(0) 1. |
|
х х 5 у, |
|
х 7х 5 у, |
|
12.9 у 7х 3у, |
12.10 у 4х 8у, |
|||
|
х(0) 1, у(0) |
1. |
|
х(0) 0, у(0) 1. |
|
х х у, |
|
|
х у 0, |
12.11 у х у, |
|
12.12 у 2х у 0, |
||
|
х(0) 1, у(0) 0. |
|
х(0) 2, у(0) 3. |
|
|
х 7х у 0, |
|
х х 2 у 3, |
|
12.13 у 2х 5 у 0, |
12.14 3х у 4х 2 у 0, |
|||
|
х(0) 1, у(0) 1. |
|
х(0) 0, у(0) 1. |
|
|
х у 0, |
|
|
х у 0, |
12.15 х 2 у х 0, |
12.16 у 2х 2 у 0, |
|||
|
х(0) 1, у(0) 1. |
|
х(0) 1, у(0) 1. |
24
|
х у 0, |
|
х 7х 3у, |
|
||
12.17 |
х у 3х у, |
12.18 |
|
у 6х 4 у, |
||
|
х(0) 1, у(0) 1. |
|
х(0) 1, у(0) |
2. |
||
|
х 5х 4 у, |
|
х 3х у, |
|
||
|
|
5у, |
|
|
у 2х у, |
|
12.19 |
у 4х |
12.20 |
|
|||
|
х(0) 2, |
у(0) 0. |
|
х(0) 1, у(0) |
1. |
13. Найти интервал сходимости степенного ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала.
Ґ
13.1 е
n 1
Ґ
13.3 е
n 1
Ґ
13.5 е
n 1
Ґ
13.7 е
n 1
Ґ
13.9 е
n 1
Ґ
13.11 е
n 1
Ґ
13.13 е
n 1
Ґ
13.15 е
n 1
(x 4)2n 1
2n 1
.
(x 2)n 3n .
(x 2)n 2n .
(x 1)n n2 .
(x 8)n n2 .
(2+x)n.
(x 1)n
2n (n 3) .
(х 5)п .
3п 1
Ґ
13.2 е
n 1
Ґ
13.4 е
n 1
Ґ
13.6 е
n 1
Ґ
13.8 е
n 1
Ґ
13.10 е
n 1
Ґ
13.12 е
n 1
Ґ
13.14 е
n 1
Ґ
13.16 е
n 1
(x 2)n 3n . n 1
(x 5)n |
|
|
|
||||||
|
|
. |
|
|
|
||||
(n 1) |
|
|
|
||||||
(x 1)n |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
3 |
n 1 |
n |
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
(х 1)п |
|
|
. |
||||||
2п |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3п |
2 |
|||||||
|
|
|
(3 2x)n .
3 4n2 3
(х 3)п (п 1)2 2п1 .
(x 2)n n2 .
(x 2)n (2n 1) 2n .
25
|
Ґ |
2–n(x+2)n. |
|||||
13.17 |
е |
||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Ґ |
|
(x 1) |
n |
2 |
n |
|
13.19 |
е |
|
|
|
. |
||
|
3n 1 |
|
|||||
|
n 1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Ґ
13.18 е
n 1
Ґ
13.20 е
n 1
n 2 |
n |
(x 2) |
n |
. |
|
|
|
|
|
||
|
|
||||
|
n |
|
|
|
|
(x 5)2n 1 |
. |
|
2n 4n |
||
|
14. а) Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения диф-
ференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения).
14.1 а) |
y'' xy' y xe x , y(0) 1; y'(0) 3 |
||||
14.2 а) |
4 y '' 2xy ' y 3 x cos |
x |
; y(0) = 3; y'(0) = 0,5 |
||
|
|
||||
|
2 |
|
|||
14.3 а) |
4y″ – xy = –3(x + 1)sin |
x |
|
; y(0) = 0; y'(0) = 1,5 |
|
2 |
14.4а) y″ + xy′ – y = –xe–x – 1 ; y(0) = 2 ; y'(0) = 0
14.5а) y″ + y′(x+2) = –2(x+2) ; y(0) = 0; y'(0) = 1,5
14.6а) y'' xy' y x(cos x 2); y(0) = 0 ; y'(0) = –2
14.7а) y '' 2xy ' 4xe x2 ; y(0)=0 ; y'(0) =1
14.8а) y '' xy ' 4xe x2 ; y(0) 0 y'(0) =1
14.9а) y'' y' y sin 3x 19 cos 3x 12 sin 23 x; ; y(0) = 23 ; y'(0) = 0
14.10а) y '' xy ' y ex 2 4x x3 ; y(0) = 0; y'(0) = 0
14.11а) y'' 4xy' 4y 8xe 2 x ; y(0) = 1 ; y'(0) =1,5
1
14.12а) y'' (x 1) y' x 1; ; y(0) = 0; y'(0) = 1,5
14.13а) y '' x2 y ' 4 y 23 x2ex 4 ; y(0) = 43 ; y'(0) = 23
14.14а) y '' xy ' y 0,5x cos x ; y(0) = 0 ; y'(0) = –0,5
26
14.15а) y'' xy' xy 2e x ; y(0) 0; y'(0) 1
14.16а) y'' xy' (x2 2) sin x; y(0) 0; y'(0) 1
14.17а) 9 y'' 3xy' y 2xe x 3 0.2, y(0) 115 ; y'(0) 23
14.18а) y'' 3xy' y e2x (2 3x2 ); y(0) 0; y'(0) 0,5
14.19 |
а) y'' xy' y 2xe x ; y(0) = 2; y'(0) = –1 |
||
14.20 |
а) (x+1) y″ + y′ = –1; y(0) = 0; y'(0) = – |
2 |
|
3 |
14. б) Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001.
0,25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n(1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
14.1 б) |
|
|
|
|
x )dx |
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
14.3 б) |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
arctg |
2 |
|
|
dx |
|||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
14.5 б) |
|
|
хе х dx |
||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
arctgx |
|
|
|
|
|
|
|||||||
14.7 б) |
|
|
dx |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14.9 б) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x cos xdx |
|||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14.11 б) |
|
|
n(1 x3 )dx |
||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14.13 б) |
|
|
x2 sin xdx |
||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
14.15 б) |
|
|
e x3 dx |
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
14.2 б) |
4 |
dx |
||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0,5 |
|
sin x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
14.4 б) |
|
|
dx |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1 |
|
e x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
14.6 б) |
|
|
dx |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14.8 б) |
|
x2cos3xdx |
|
|||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14.10 б) |
|
|
|
n(1 x2 )dx |
||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 dx |
||||||||
14.12 б) |
|
|
|
|
|
xe |
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
1 cos x |
|
||||||||||
14.14 б) |
|
|
|
|
dx |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
arctgx 2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
14.16 б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,8 |
|
1 cos x |
|
14.17 б) |
|
|
|
1 x2 dx |
14.18 б) |
|
|
dx |
|||||
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0,5 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
14.19 б) |
|
|
|
|
|
|
|
14.20 б) |
|
sin x2dx |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
x |
5 |
|
|
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15.Дана функция двух переменных z(x; y) . Найти:
1)экстремум функции z(x; y) ;
2)gradz в точке А(1; –2);
3)наибольшую скорость возрастания z(x; y) в точке А(1; –2).
15.1z x2 xy y 2 3x 6 y 2 .
15.2z 2x2 xy y2 3x y 1.
15.3z 3x2 2xy y2 2x 2 y 3.
15.4z 2x2 xy y2 7x 5y 2 .
15.5z x2 3xy y2 2x 6 y 1.
15.6z 3x2 xy 6 y2 6x y 9 .
15.7z x2 3xy 2 y2 4x 6 y 2 .
15.8z 4x2 2xy y2 2x 4 y 1.
15.9z 0,5x2 xy y 2 x 2 y 8 .
15.10z 8x2 xy 2 y 2 16x y 1.
15.11z 2x2 3y2 2xy 2x 16 y 3.
15.12z 6xy 2x2 y2 14x 5.
15.13z 2x2 y2 3xy 2x 7 y 6 .
15.14z 10xy 3x2 2 y2 26x 18y 1.
15.15z 3x2 2 y2 2xy 18x 8y 1.
28
15.16z 3 3x2 5y2 8xy 4x 26 y .
15.17z 2x2 3y 2 2xy 8x 10 y 6 .
15.18z 5x2 3y 2 2xy 18x 10 y 4 .
15.19z 5x2 5y2 2xy 8x 12y 4 .
15.20z 2x2 3y2 2xy 10x 16 y 7 .
16. а) Найти объем тела, ограниченного параболоидом, цилиндром
(z 0) , через тройной интеграл, применяя цилиндрическую систему коорди-
нат.
16.1 |
x2 y 2 |
(z 8), |
x2 y 2 4. |
|||
16.2 |
x2 y 2 |
3(z 2), |
|
x2 y 2 |
1. |
|
16.3 |
x2 y 2 |
2(z 3), |
|
x2 y 2 |
4. |
|
16.4 |
x2 y 2 |
(z 6), |
x2 y 2 1. |
|||
16.5 |
x2 y 2 |
2(z 6), |
|
x2 y 2 |
9. |
|
16.6 |
x2 |
y 2 |
(z 5), |
x2 y 2 1. |
||
16.7 |
x2 y 2 |
3(z 3), |
|
x2 y 2 |
4. |
|
16.8 |
x2 |
y 2 |
2(z 4), |
|
x2 y 2 |
1. |
16.9 |
x2 |
y 2 |
(z 9), |
x2 y 2 4. |
||
16.10 x2 y 2 3(z 5), |
x2 y 2 9. |
16. б) Найти объем тела, ограниченного сферой и конусом, через трой-
ной интеграл, применяя сферическую систему координат.
16.11 |
x2 |
y 2 |
z 2 |
4, |
x2 y 2 z 2 0. |
|||
16.12 |
x2 |
y 2 |
z 2 |
16, |
x2 y 2 3z 2 |
0. |
||
16.13 |
x2 y 2 |
z 2 |
1, |
x2 y 2 |
1 |
z 2 |
0. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
29
16.14 |
x2 y 2 z 2 |
25, |
x2 y 2 z 2 |
|
0. |
|||||
16.15 |
x2 y 2 z 2 |
1, |
x2 y 2 |
3z 2 |
0. |
|||||
16.16 |
x2 y 2 |
z 2 |
9, |
x2 y 2 |
|
1 |
z 2 |
0. |
||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||
16.17 |
x2 y 2 z 2 |
4, |
x2 y 2 3z 2 |
|
0. |
|||||
16.18 |
x2 |
y 2 |
z 2 |
16, |
x2 y 2 z 2 |
|
0. |
|||
16.19 |
x2 |
y 2 |
z 2 |
25, |
x2 y 2 3z 2 0. |
|||||
16.20 |
x2 y 2 |
z 2 |
9, |
x2 y 2 |
|
1 |
z 2 |
0. |
||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
17. С помощью двойного интеграла вычислить координаты центра тя-
жести фигуры (в задачах 17.1–17.10 взять меньшую по площади), ограничен-
ной заданными линиями (поверхностную плотность считать равной едини-
це).
17.1 |
|
х2 4 у2 1, |
|
х 2 у 1. |
||||||||||||||
17.2 |
|
х2 |
|
|
|
у 2 |
|
1, |
|
х |
|
|
|
у |
|
1. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
16 |
9 |
|
|
4 |
3 |
|
|
|
|||||||||
17.3 |
9х2 16 у2 1, |
|
3х 4 у 1. |
|||||||||||||||
17.4 |
|
х2 у2 |
1, |
х у 3 0. |
||||||||||||||
17.5 |
|
х2 |
|
|
у 2 |
|
1, |
|
х |
|
|
у |
1. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
49 |
4 |
|
|
7 |
2 |
|
|
|
|||||||||
17.6 |
|
х2 25у2 1, |
|
|
|
х 5у 1. |
||||||||||||
17.7 |
|
х2 |
|
4 у2 1, |
|
х 6 у 3 0. |
||||||||||||
9 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
17.8 |
4х2 25у2 1, |
|
2х 5у 1 0. |
|||||||||||||||
17.9 |
|
х2 |
|
|
у 2 |
|
1, |
|
х |
|
|
у |
1. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
25 |
9 |
|
|
5 |
3 |
|
|
|
30