Математика РГР
.pdfx |
y |
x2 |
y2 |
xy |
|
|
|
|
|
1 |
23 |
1 |
529 |
23.0 |
|
|
|
|
|
1.1 |
25 |
1.21 |
625 |
27.5 |
|
|
|
|
|
2.9 |
30 |
8.41 |
900 |
87.0 |
|
|
|
|
|
3.9 |
36 |
15.21 |
1296 |
140.4 |
|
|
|
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
|
|
|
|
|
Суммы |
|
|
|
|
|
|
|
∑x=35.5 |
∑y=216.6 |
∑x2=137.49 |
∑y2=5011.1 |
∑xy=827.31 |
|
|
|
|
|
Коэффициенты регрессии можно получить, составив и решив уравнения связь. Простейшим из них является уравнение прямой типа
̃
Для определения параметров уравнения а0 и а1 надо составить и решить систему нормальных уравнений с двумя неизвестными:
∑y=na0+a1∑x; ∑xy=a0∑x +a1∑x2.
Подставляя данные табл. VII в систему, получим:
{
Освобождаемся от коэффициентов при а0, для чего первое уравнение делим на 10, второе — на 35.5:
Из второго уравнения вычитаем и получим: 23,30—21.66=а0—а0+(3.87-
3.55)а1, отсюда а1=5.125. Подставляя значение а1 в любое уравнение, получа-
ем значение а0=3.47. Уравнение примет вид
̃
Коэффициент регрессии, равный 5.125 показывает, что с увеличением дозы внесения удобрений на единицу урожайности возрастает на 5.125 ц с 1
га в данных условиях.
Для расчета коэффициента корреляции целесообразно использовать формулу:
,
121
Где
∑
∑
∑
√∑ √
√∑ √
Тогда
Ответ. rxy=0.965
Вывод: вязь между урожайностью и дозой внесения удобрений тесная,
так как коэффициент корреляции близок к единице.
Для построения графика (прямой корреляционной зависимости) надо использовать полученное уравнение связи, поочередно подставляя в него значения «х», например:
Ух=3.47+5.125×1=8.595≈8.6;
Ух=3.47+5.125×1.1=9.107≈9.1;
Ух=3.47+5.125×2.9=18.332≈18.3 и т.д.
Затем на оси абсцисс откладываем значения «х» - факторного признака,
на оси ординат – результативного признака ̃ и соответствующие точки,
находящиеся на пересечении этих признаков, соединяются прямой линией.
122
28. Заданные осциллограммы представить приближенно в виде супер-
позиции гармоник. В разложении сохранить постоянное слагаемое и первые четыре гармоники. Найти коэффициенты разложения и начальные фазы гар-
моник. Для определения коэффициентов и фаз измерить и использовать ор-
динаты точек на осциллограммах для 13 равноотстоящих значений абсциссы
0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300, 330 и 360 градусов. Измерения выполнить с точностью до двух значащих цифр, а вычисления – с точностью до трех значащих цифр. Построить график осциллограммы и найденного разложения.
Рисунок 21 – График осциллограммы
123
Решение. Определим по графику ординаты для заданных значений абсциссы и запишем их в таблицу. В технике обычно углы измеряются в градусах, но в математике удобнее использовать радианы – для упрощения формул. Кроме того, большинство компьютерных программ общего назначения в тригонометрических функциях по умолчанию используют радианы в качестве меры угла. Поэтому значения x в таблице имеет смысл записать в радианах по формуле
|
x |
|
|
|
|
x[в градусах ] |
. |
|
|
|
|
(4 ) |
|
|
|||||
|
радианах] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
[в |
|
|
180 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таблица 5 – Заданные значения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
0 |
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
4 |
|
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
11 |
12 |
x |
0 |
|
0,524 |
|
1,05 |
1,57 |
2,09 |
|
2,62 |
3,14 |
3,67 |
4,19 |
4,71 |
5,24 |
|
5,76 |
6,28 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
0,11 |
|
0 |
|
–1 |
–2 |
–3 |
|
–3 |
–3 |
–2 |
–1 |
0 |
1,2 |
|
1,2 |
1,2 |
||
Поскольку x |
измеряется в радианах, причем 0 x 2 , формула для разло- |
жения функции в ряд Фурье имеет вид
f x a20 a1 cos x b1 sin x a2 cos2x b2 sin 2x a3 cos3xb3 sin 3x a4 cos4x b4 sin 4x
Коэффициенты разложения определяются по формулам
1 2
a0
0
1 2
ak
0
1 2
bk
0
f x dx ,
f x coskxdx,
f x sin kxdx.
(5)
(6)
(7)
(8)
124
В нашей задаче аналитический вид функции f x неизвестен, но мы нашли
значения функции в нескольких точках, поэтому можем вычислить интегра-
лы приближенно, например, по формуле трапеций:
|
|
|
1 |
y |
0 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
12 |
y |
y |
|
y |
, |
(9) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
6 |
|
|
2 |
1 |
|
2 |
11 |
|
|
|
|
1 |
y |
cos kx |
y |
cos kx |
|
|
|
|
ak |
|
|
|
0 |
0 |
12 |
12 |
y1 cos kx1 y2 cos kx2 |
y11 cos kx11 |
, (10) |
6 |
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
y |
sin kx |
y |
sin kx |
|
|
|
|
bk |
|
|
|
0 |
0 |
12 |
12 |
y1 sin kx1 y2 sin kx2 |
y11 sin kx11 |
, (11) |
6 |
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где k 1, 2,3, 4,
Все параметры в формулах (9–11) заданы в таблице 5, поэтому вычислим значения a0 , a1, a2 , a3, a4 , b1, b2 , b3, b4 и заполним первые 3 столбца таблицы 6. Например, для a3 получим
|
|
1 |
0,11cos 3 0 1,2cos 3 6,28 |
0cos 3 |
0,524 cos 3 |
1,05 |
|
|
||||||||
a3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2cos 3 5,76 0,09 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и т.д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таблица 6 – Парметры ряда Фурье |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
k |
|
|
|
ak |
|
bk |
|
A |
|
|
|
k |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
–1,99 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1,85 |
|
–1,12 |
|
2,2 |
|
|
2,12 |
|||
|
|
2 |
|
|
|
–0,05 |
|
–0,06 |
|
0,081 |
|
–2,46 |
||||
|
|
3 |
|
|
|
–0,09 |
|
–0,03 |
|
0,096 |
|
–1,88 |
||||
|
|
4 |
|
|
|
–0,1 |
|
|
0 |
|
0,1 |
|
–1,52 |
|||
Во |
|
|
многих |
технических |
приложениях |
вместо |
суммы |
функций |
||||||||
ak cos kx bk |
sin kx записывают одну функцию Ak sin |
kx k , |
которая |
представляет собой синусоиду с таким же периодом, но сдвинутую влево от-
125
носительно |
|
sin kx |
на |
|
k |
. Функцию |
A sin kx |
|
|
принято называть |
||||||||||||
|
|
k |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
k |
|
||||||||||
гармоникой. Ее параметры выражаются через ak |
и bk по формулам |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ak |
ak |
2 |
bk |
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
k |
, если bk 0, |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bk |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
arctg |
ak |
|
, если b 0, |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bk |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|||||
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
, если bk |
0, ak |
0, |
|
|
|
|
(13) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
, если bk |
0, ak |
0. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если значение k , вычисленное по формуле (13), превышает 2 , то из него можно вычесть 2 , так как синус – периодическая функция. С учетом фор-
мул (12, 13), формула (5) приобретает следующий вид
f (x) a20 A1 sin( x 1 ) A2 sin(2x 2 ) A3 sin(3x 3 ) A4 sin(4x 4 ) (11)
По формулам (12,13) заполним два последних столбца таблицы 6. Подставим найденные коэффициенты в формулу (14) и получим приближенное разло-
жение в ряд Фурье для нашей осциллограммы
f (x) 1,99 2,2sin( x 2,12) 0,081sin(2x 2,46) 0,096sin(3x 1,88) 2
0,1sin(4x 1,52).
(15)
Для построения графика функции f (x) вычислим значения функции по формуле (15) для всех значений x из таблицы 5.
126
Таблица 7 – Значения функции по данным значениям аргумента
n |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
0,524 |
1,05 |
1,57 |
2,09 |
2,62 |
3,14 |
3,67 |
4,19 |
4,71 |
5,24 |
5,76 |
6,28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
0,64 |
0,0001 |
–0,95 |
–2,2 |
–2,9 |
–3,1 |
–2,9 |
–2 |
–1 |
0,069 |
1,2 |
1,3 |
0,64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Построим в одной системе координат график исходной осциллограммы и график ее разложения по гармоникам. Для этого построим точки с координа-
тами из таблицы 5 и соединим их плавной линией черного цвета, затем по-
строим точки с координатами из таблицы 7 и соединим их плавной линией синего цвета. При построении точек следует перевести абсциссы обратно в градусы по формуле
x[в градусах ] |
180 x[в радианах] |
|
|
||
|
Полученный график показан на рисунке 22.
f(x)
y(x)
Рисунок 22 – Исходная осциллограмма и ее разложение в ряд Фурье
127
На этом графике y x – исходная осциллограмма, f x – ее разложение в
ряд Фурье. Графики близки друг к другу при всех значениях x за исключени-
ем крайних точек x 0 и x 360 . Дело в том, что f x – функция непре-
рывная и периодическая, для нее f x f x 360 . В то же время, для нашей осциллограммы y 0 y 360 . Если ее график периодически про-
должить на всю ось Оx, то точки x 0 и x 360 станут точками разрыва. В
точках разрыва f x равно полусумме левостороннего и правостороннего пределов функции y x .
29. Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводно-
сти ut 0.04uxx на отрезке 0 x 6 . Определить значение температуры в се-
редине отрезка при t 10c . На концах отрезка поддерживается температура,
равная 0: u 0,t u 6,t 0. |
В начальный момент времени ( t 0 ) температура |
|||
|
|
0, 0 x 1 |
|
|
|
|
|
x 2 |
(1) |
на отрезке распределена следующим образом u(x, 0) 4,1 |
||||
|
|
|
x 6 |
|
|
|
0, 2 |
|
|
Решение. |
|
|
|
|
В общем случае решение первой краевой задачи на отрезке 0 x l : |
|
|||
u a2u |
xx |
(2), |
|
|
t |
|
|
|
|
u 0,t u l,t 0 |
(3), |
|
|
|
u(x, 0) x |
(4) |
|
|
определяется по формулам
|
|
|
Ґ |
|
na 2 |
|
nx |
||
|
|
|
|
|
t |
|
|||
|
|
|
|
l |
sin |
||||
|
u(x,t) еbne |
|
|
|
l |
||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
2 l |
x sin |
nx dx |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
l |
|
|
|
||||||
n |
|
l |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
(5)
(6)
128
0, 0 x 1
Для нашей задачи a2 0.04 , откуда a 0.2 , l 6 , x u(x, 0) 4,1 x 2 . Сна-
0, 2 x 6
чала необходимо вычислить интеграл (6). Функция x при разных значе-
ниях x задана разными формулами, поэтому интеграл придется разбить на сумму трех интегралов для отрезков: 0 x 1, 1 x 2 , 2 x 6 . В подынте-
гральное выражение для каждого из отрезков должна подставляться соответ-
ствующая формула для x . Выполнив эти действия и подставив l 6 , полу-
чим для интеграла (6):
|
|
2 |
1 |
nx |
2 |
nx |
6 |
nx |
|
|
bn |
|
|
0 sin |
|
dx 4 sin |
|
dx 0 sin |
|
dx |
|
6 |
6 |
6 |
6 |
|||||||
|
|
0 |
1 |
2 |
|
Поскольку первый и третий интегралы равны 0, получим
|
2 |
2 |
|
|
|
nx |
|
|
4 |
2 |
|
||
b |
6 |
|
4 |
sin |
|
6 |
dx |
3 |
|
sin |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Итак, bn |
|
8 |
|
|
n |
cos |
|||||||
|
|
cos |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
6 |
|
|
|
|
nx dx |
4 6 |
|||
|
|
|
||
3 n |
||||
6 |
||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
Подставив найденное выражение для
дачи в виде бесконечного ряда
cos
bn
nx |
|
2 |
|
8 |
n |
cos |
n |
||
|
|||||||||
|
|
|
|
cos |
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
||||
6 |
|
1 |
|
n |
3 |
|
6 |
|
в формулу (5), получим решение за-
Ґ |
8 |
n |
|
n |
n0.2 2 |
|
nx |
|||||
|
|
6 |
|
t |
|
|||||||
u(x,t) е |
|
cos |
|
cos |
|
e |
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n 1 |
n |
6 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
6 |
После преобразования
Ґ |
8 |
n |
|
u(x,t) е |
|
cos |
|
|
|
||
n 1 |
n |
6 |
cos n e
3
|
n 2 |
|
|
|
t |
|
30 |
sin |
nx
6
Середина отрезка соответствует x 3 . Через 10 секунд температуру в этой
точке можно найти по формуле
Ґ |
8 |
n |
|
n |
|
n 2 |
n |
||
|
|
||||||||
u(3,10) е |
|
cos |
|
cos |
|
e |
|
90 sin |
|
|
|
|
|
|
|||||
n 1 |
n |
6 |
|
3 |
|
|
|
2 |
Это – точное решение, но найти сумму бесконечного числа слагаемых не-
возможно, поэтому при вычислениях обычно оставляют первые несколько
129
слагаемых суммы, а остальные отбрасывают. Вычислим первые семь слагае-
мых суммы:
u(3,10) 0.835 0 0.316 0 0.045 0 0.002
Поскольку требуемая точность составляет 0.01 градус, все слагаемые, начи-
ная с шестого можно отбросить. Тогда u(3,10) 0.835 0 0.316 0 0.045 0.47
30. |
|
1) точное значение интеграла ∫ √ |
по формуле Ньютона-Лейбница; |
2)приближенное значение этого интеграла по формуле трапеций, разбивая отрезок интегрирования на 8 равных частей и производя вычисления с округлением до четвертого десятичного знак;
3)относительную погрешность в процентах.
Решение:
1) Решаем данный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
∫ ∫
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
1 |
2 |
1 |
|
1 (9x 27)3 |
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3 |
9x 27 |
(9x 27) |
3 |
dx |
(9x 27) |
3 |
d(9x 27) |
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
9 |
9 |
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
6 |
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
(45 3 45 81) 6.5883 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
3 |
9x 27dx 6,5883. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2)Вычислим данный интеграл по приближенной формуле трапеций: Формула трапеции:
∫ |
|
( |
|
) |
|
|
Подынтегральная функция
√
Составим расчетную таблицу
130