2.1. Краткие теоретические сведения

Как известно, любое комплексное число, может быть представлено в алгебраической, тригонометрической и показательной формах:

(6)

где – модуль комплексного числа;

– аргумент комплексного числа.

В выражении (6) модуль и аргумент комплексного числа – произвольные числа.

Если допустить, что , , то синусоидальную функцию тока можно изобразить в виде:

где – мгновенное значение тока;

– комплексная амплитуда, вещественный модуль которой равен амплитуде, а аргумент – начальной фазе тока .

Таким образом, представляется возможным для произвольной синусоидальной функции записать соответствующее комплексное число. При этом используют следующую форму записи:

или

(7)

где – знак соответствия;

– комплекс действующего значения тока; в дальнейшей комплексный ток.

В выражении (7) опущен множитель , т.к. он является общим для всех синусоидальных функций, входящих в уравнения электрической цепи, и, очевидно, может быть сокращен.

Запись мгновенного значения функции по заданной комплексной амплитуде производится просто. Например, если , то

(8)

Данную процедуру можно считать обратным преобразованием из частотной области во временную.

При переходе к комплексным амплитудам операции дифференцирования и интегрирования относительно мгновенных значений u(t) или заменяется операциями умножения и деления на jω соответствующих комплексных амплитуд.

Например

(9)

(10)

где – комплексное индуктивное сопротивление;

– комплексное емкостное сопротивление.

Из соотношений (9) и (10) следует, что анализ в частотной области позволяет ввести понятие комплексного сопротивления для индуктивности и емкости и получить уравнения для этих элементов, аналогичные уравнению резистивного элемента. Следовательно, представляется возможным формально подойти к расчету цепей синусоидального тока с элементами R, L и C так же, как к расчету резистивных цепей.

Например, для электрической цепи, в которой все элементы представлены в виде комплексных сопротивлений Z ветвей с неизвестными токами , система уравнений узловых напряжений имеет вид:

……………………………

(11)

где y_nn – собственная комплексная проводимость узда n;

y_nk – взаимная комплексная проводимость ветви между уздами n и k.

Приведенная система уравнений формально совпадает с системой (1).

Сохраняется при этом и порядок расчета правой части и комплексных коэффициентов левой части каждого из уравнений.

После расчета узловых напряжений по аналогии с (8) находится ток:

(12)

Формальная аналогия с уравнениями резистивных цепей может быть использована при анализе установившегося синусоидального режима методами контурных токов, эквивалентного генератора, наложения и т.д.

Как известно, в электрических цепях синусоидального тока различают активную, реактивную и полную мощности. Наиболее просто их можно рассчитать используя выражение для полной мощности в комплексной форме:

(13)

где – активная мощность (Вт);

– реактивная мощность (ВАР);

– сопряженный комплекс тока;

φ – угол сдвига фаз между и .

Из выражения (13) следует, что модуль полной мощности равен:

(ВА)

Положительный знак при мнимой части соответствует активно-индуктивной нагрузке, отрицательный – активно-емкостной.

Если сопротивление Z нагрузки известно, то расчет полной мощности нагрузки можно выполнить по формуле:

(14)

где Z – комплексное сопротивление;

– модуль комплексного сопротивления;

I – модуль действующего значения тока.

Расчет полной мощности источников в комплексной форме можно выполнить по формулам:

= (15) - для источника э.д.с. (источника напряжения), где

- сопряженный комплекс тока источника э.д.с.;

= (16) - для источника тока, где - комплекс напряжения источника;

- сопряженный комплекс тока источника тока.

Проверка баланса мощности производится обычным порядком (см. раздел 1.1.4.), раздельно для каждой из мощностей.

2.2. Содержание задания.

Для заданного варианта исходных данных

1. Составить систему уравнений по законам Кирхгофа в дифференциальной и комплексной формах.

2. Найти комплексы действующих значений токов всех ветвей электрической цепи. Записать выражения для мгновенных значений этих величин.

3. Определить показания приборов.

4. Проверить баланс активной, реактивной и полной мощностей..

5. Написать выражения мгновенных значений напряжения и тока на входе приемника; построить графики этих величин.

6. Составить по законам Кирхгофа уравнения в дифференциальной и комплексной формах с учетом взаимной индукции между индуктивными элементами L2 и L3 и встречного включения их.

2.3. Указания к расчету.

1. Выбор варианта.

Вариант задания определяется двумя цифрами:

1-я цифра – соответствует номеру рисунка (рис.1 – рис.4) со схемой электрической цепи;

2-я цифра – соответствует номеру строки из таблицы 3 [3].

Таблица 3

№					R1	L1	R2	L2	C2	R3	L3	C3	f
	В	град	А	град	Ом	мГн	Ом	мГн	мкФ	Ом	мГн	мкФ	Гц
1	125	Задается преподавателем	64	Задается преподавателем	2	3	12	30	120	18	45	600	50
2	25		15		2	0,6	12	4,5	60	18	3	12	500
3	80		45		2	0,1	12	0,75	3	18	0,15	2	5000
4	150		70		8	12	10	36	120	22	180	72	50
5	60		28		8	2,4	10	18	7,2	22	3,6	12	500
6	125		60		8	0,4	10	0,75	2,4	22	1,2	0,5	5000
7	300		155		12	42	42	180	25	30	360	40	50
8	200		110		12	3,6	42	36	3,6	30	18	2,5	500
9	160		85		12	0,6	42	3,6	0,5	30	2,4	0,25	5000
10	75		40		6	9	65	270	15	45	240	200	50
11	160		85		6	1,6	65	24	20	45	27	2	500
12	60		32		6	0,3	65	5,4	0,3	45	0,45	0,3	5000
13	100		60		16	25	48	200	20	56	54	40	50
14	20		12		16	5	48	5,4	5	56	20	2,4	500
15	10		6		16	0,8	48	3,8	0,45	56	2,2	1,6	5000
16	22		14		4	6	16	120	55	15	72	200	50
17	40		22		4	1,2	16	7,2	20	15	12	5,5	500
18	26		15		4	0,2	16	1,6	0,65	15	0,45	1,25	5000
19	500		240		3	4,5	12	54	80	20	300	60	50

2. Для записи уравнений в комплексной форме необходимо представить комплексную расчетную схему, в которой элементы R, L и С заменяются комплексными сопротивлениями Z (проводимостями Y) ветвей ( 9,10) с неизвестными токами и напряжениями (или _m и _m ) .

3. Система алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами решается любым известным методом относительно узловых напряжений. Расчет тока производится в соответствии с выражением (12).

Запись мгновенных значений выполняется на основании обратного преобразования из частотной области во временную ( 8 ).

4. Расчет по пункту 4 производится в соответствии и на основании расчетных формул (13), (14), (15) и (16).

5. Графики напряжения и тока на входе приемника должны быть построены в масштабе по результатам расчета, представленного в форме таблицы 4.

Рис.1

Рис2

Рис.3

Рис4

Таблица 4

ωt
u, В
i, А

На графиках следует показать начальные фазы, угол сдвига фаз φ и амплитуды представленных величин.