1.4. Вращательное движение

Вращательное движение является частным случаем криволинейного движения. Кроме того, будем рассматривать движение материальной точки по окружности с постоянной по модулю скоростью, .Это упрощает строгость аналитического рассмотрения и позволяет удовлетвориться геометрической иллюстрацией.

Пусть точечное тело (материальная точка) движется по окружности радиуса R (рис. 1.3). За некоторый промежуток времени t оно пройдёт путь S, равный дуге АВ. В точке А тело имело скорость ,в точке В – скорость ,а радиус-вектор движущееся точки R повернулся на некоторый угол  (рис. 1.3). Изменилось и направление вектора скорости. Если у вектора скорости изменяется хотя бы один параметр – или модуль, или направление, можно говорить о быстроте её изменения, ускорении. Естественно, встаёт задача поиска аналитического выражения ускорения, выяснения физического смысла и его направления. Из алгебры известно, что изменение функции, в нашем случае вектора скорости, символически может быть записано: .Геометрическая иллюстрация вращательного движения (рис. 1.3) позволяет эту запись представить следующим образом: .Прочитать её можно так: вектор ,характеризующий изменение скорости по направлению, представляет собой сумму векторов () и (–)и соединяет начало первого вектора ()с концом второго вектора (–),рис. 1.3. Это позволяет выразить модуль, численное значение вектора через кинематические характеристики: скорость и радиус окружности. Действительно, АОВ = ВСD как углы с взаимно перпендикулярными сторонами (построением убедились?; можно рассуждениями); по числовому значению скорость постоянна и .Следовательно, АОВ и ВСD подобны по двум сторонам и углу между ними (почему?), отсюда из ВСD следует ,а из АОВ этот же угол (см. рис. 1.3.). Поскольку левые части уравнений равны (углы с взаимно перпендикулярными сторонами), то из правых частей немедленно следует, модуль, численное значение вектора (самостоятельно проделали?). По определению, ускорение, в нашем случае характеризующее изменение скорости по направлению, равно .Если промежуток времени t взять малым, то хорда АВ стремится к длине дуги АВ, или пройденному пути S за время t. Перепишите на листке аналитическое выражение ускорения (а) и самостоятельно замените в нём на пройденный путь S. Поскольку S/t  ,для символической записи ускорения, характеризующего быстроту изменения скорости по направлению, получим выражение (преобразования проделайте самостоятельно). Направление центростремительного ускорения можно определить по рис. 1.3. Из треугольника скоростей ВСD следует, чем меньше промежуток времени t, тем меньше угол . При этом векторы иимеют одинаковое направление и направлены по радиусу R окружности к её центру O.

При рассмотрении равномерного движения по окружности привлекались как линейные кинематические характеристики – перемещение, путь, скорость, ускорение, радиус окружности, так и угловая характеристика – угол поворота , опирающийся на отрезок АВ. Появление угла поворота связано с линейными величинами, естественно желание прописать равномерное движение материальной точки по окружности и через угловые характеристики. При вращательном движении угол поворота является основной кинематической характеристикой и с точки зрения количественной математики в общем виде может быть записан следующим образом:₂–.₁₂ 2N; если₁0. Прочитаем эту запись: изменение угла поворотаравно разности конечного (₂) и начального (₁) значений; если же начальный угол₁0, обозначать конечное значение значком₂не имеет смысла и цифру два опускают.

Итак, угол поворота   2N, естественно, это произошло за время t; здесь 2  360^о и представляет собой один полный оборот, N – число оборотов за время движения; не обязательно полных, например, 0,37. Отношение угла поворота к времени, в течение которого это изменение произошло, будет характеризовать изменение угла поворота в единицу времени, то есть это быстрота изменения угла поворота или угловая скорость . Аналитически это может быть представлено следующим образом: . Поскольку появление угловых характеристик обусловлено наличием линейных, естественно ожидать взаимосвязь между угловой и линейной скоростями. Ранее нам удалось показать, что (рис. 1.3).Если воспользоваться малыми углами, то и тогда немедленно следует: .Подставляя в аналитическое выражение угловой скорости, получим ,то есть угловая скорость связана с линейной скоростью выражением (преобразования проделали самостоятельно?).

Ещё две характеристики, полезные для технических целей, могут быть введены из уравнения:   2N  t. Действительно, если N  1, уравнение примет вид: 21  t . Здесь t время одного полного оборота. Его принято обозначать буквой Т – время одного оборота. Тогда 2  Т, отсюда следует ,а .Если известно время одного полного оборота, а единицу времени одну секунду разделить на время одного оборота, получим вторую характеристику движения материальной точки по окружности; или для вращательного движения. Её принято называть частотой вращения .Единицей измерения периода является секунда (с); единицей частоты вращения герц (Гц). 1 Гц – частота периодического процесса, при которой за время, равное одной секунде, происходит один цикл периодического процесса.

Для снятия сомнений в понятии «малые углы», проделайте следующие действия: воспользуйтесь тригонометрической таблицей или калькулятором и найдите sin10^о. Нашли? Запишите это значение. Проделайте следующие действия: 2 радиан равны 360^о; найдите операцией «деление» сколько в одном градусе радиан; нужно 2 разделить на 360^о, разделили?; не забыли, что   3,14 радиан?; умножьте на 10^о. Если уже умножили, сопоставьте с табличным результатом или найденным по калькулятору. В каком знаке ошибка? Вы с такой точностью умеете считать? Можно ли согласиться с понятием «малые углы»? Наверное, всё-таки можно!

В заключение две дежурные задачи. Запишите центростремительное ускорение через угловую скорость; период обращения и частоту вращения. Введение угловых характеристик позволяет записать уравнение движения тела по окружности через угловые характеристики. Как будет выглядеть уравнение движения для угла поворота   f(t) через угловую скорость; период вращения; частоту вращения?; это и есть вторая задача.

Завершая экскурс в раздел кинематики «вращательное движение», перечислим его ключевые слова: угол поворота, малый промежуток времени, угловая скорость, центростремительное ускорение, период вращения, частота вращения.