5. Характеристические функции

В статистической радиофизике аппарат характеристических функций играет ту же роль, что и спектральная плотность в теории сигналов. По определению характеристической функциейназывается среднее от комплексной экспоненты <exp(ju)>:

.

(1.23)

Таким образом, характеристическая функция является Фурье-образом функции плотности вероятности ₁(x). Соответственно, обратное преобразование имеет вид

.

(1.24)

Легко показать, что характеристическая функция ограничена по модулю:

.

Получим еще одно интересное свойство характеристической функции. Рассмотрим среднее произвольной функции случайной величины f():

,

где – Фурье-образ исходной функцииf().

Поскольку характеристическая функция, так же, как и функция плотности вероятности, однозначно описывает распределение вероятностей, с ее помощью можно найти моменты случайной величины. Рассмотрим n-производную характеристической функции

.

Отсюда

.

Разлагая в определении характеристической функции (1.23) экспоненту в ряд по степеням x, получим:

.

(1.25)

Часто в ряд разлагают не саму характеристическую функцию, а ее логарифм

.

(1.26)

Коэффициенты ряда (1.26) _n() называютсясемиинвариантамии являются рациональными функциями моментов случайной величины. Так, например₀() = 0,₁() =m₁,₂() =M₂=²,₃() =M₃,₄() =M₄– 3M₂²и т. д.

Характеристическая функция одномерного нормального распределения (1.12) равна

,

а все семиинварианты, начиная с номера n= 3, равны нулю.

Нетрудно показать, что характеристическая функция суммы независимых случайных величин =+равна произведению характеристических функций_(u) =_(u)_(u), а семиинварианты равны сумме соответствующих семиинвариантов_m() =_m() +_m(). Эти соотношения позволяют записать выражения для функции плотности вероятности суммы независимых случайных величин. Поскольку Фурье-образ произведения равен свертке Фурье-образов, получаем

.

(1.27)

Это выражение называется формулой композиции.

Для n-мерной случайной величиныможно ввестиn-мерную характеристическую функцию:

.

6. Центральная предельная теорема

Тот факт, что характеристическая функция суммы независимых случайных величин =+равна произведению характеристических функций_(u) =_(u)_(u), лежит в основе доказательствацентральной предельной теоремы(ЦПТ), которая была доказана?.?.Ляпуновым и формулируется следующим образом:

Пусть ₁,…,_N– независимые случайные величины, средние значения которых равны соответственно <_i> =a_i, дисперсии ограничены и равныM₂(_i) =_i²<C<. Если для любого> 0 выполняется равенство

,

то случайная величина имеет распределение, равномерно сходящееся к нормальному приNнезависимо от распределения слагаемых.

Приведем доказательство ЦПТ для случая, когда все случайные величины ₁,…,_nраспределены одинаково с равными средними <_i> =aи дисперсиямиM₂(_i) =². Примером такого случая может служит выборка одной случайной переменной(t). Введем новые величины_i=_i–a, для которых <_i> = 0,D(_i) =²,D(_i/N) =²/N²=_N²/N. Теперь построим случайную величину

и запишем выражение для ее характеристической функции с учетом формулы (1.25):

.

При Nэто выражение эквивалентно следующему:

.

Используя соотношение (1.24), запишем

,

что при Nэквивалентно выражению

.

Для случайной величины с ненулевым средним _N=_N+aпри этом имеем

.

Таким образом, распределение выборочного среднего случайной величины равномерно сходится к нормальному с тем же средним и дисперсией, в Nраз меньшей.

Следует помнить, что необходимым условием ЦПТ является ограниченность дисперсий исходных процессов ₁,…,_n. В качестве примера, иллюстрирующего альтернативный случай, можно привести распределение Коши

,

у которого не существует моментов всех четных порядков (в том числе – второго). Соответствующая этому распределению характеристическая функция равна

,

что для суммы Nслучайных величин дает

.

Таким образом, функция плотности вероятности суммы равна

,

то есть опять получается распределение Коши.

В заключение отметим, что для выполнения ЦПТ часто достаточно не независимости случайных величин, а их некоррелированности или даже убывания коэффициента корреляции с достаточно высокой скоростью, то есть

.