Понятие о центральной предельной теореме Ляпунова Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Необходимость изучения нормально распределенных с.в. вытекает из следующей центральной предельной теоремы Ляпунова.

Если случайная величина Хпредставляет собой сумму достаточно большого числа независимых, одинаково распределенных случайных величин, причем влияние каждого из слагаемых на всю сумму мало, то закон распределения такой случайной величины близок к нормальному.

Пусть имеется некоторое случайное событие А, вероятность появления которого в каждом из независимых испытаний одинаково и равнар. Производитсяnнезависимых испытаний. Случайная величинаХ– число появлений событияАвnнезависимых испытаниях. Данная с.в. распределена по биноминальному закону и

M(X) = n  р; D(X) = n р q,

где q = 1 –p = p(). Если число испытаний велико, а вероятность наступления событияА – р >0, то на основании центральной предельной теоремы Ляпунова можно считать, что с.в.Х распределена по нормальному закону с параметрамиа = n р, = n р q. Тогда, как следует из формулы (30), вероятность того, что вnнезависимых испытаниях событиеАнаступит не менееk₁и не болееk₂раз может быть вычислено по формуле

(33)

Последняя формула носит название интегральной теоремы Муавра-Лапласа.(Заметим, что в случае редких событий, т.е. для малых вероятностей, нужно пользоваться формулой Пуассона и распределением Пуассона, а при небольшом числе испытаний биноминальным распределением (14)).

Пример 28.В магазин приходит в день 1200 покупателей, каждый из которых с вероятностьюp=0.6 покупает электрическую лампочку. Определить вероятность того, что будет куплено от 680 до 760 электрических лампочек.

Решение. Здесьр = 0.6,q= 0.4,n р = 12000.6 = 720,n р q= 7200.4 = 288. ПустьX –число купленных лампочек. По интегральной теореме Муавра – Лапласа получаем

Элементы математической статистики

Математическая статистика разрабатывает способы сбора, группировки и анализа статистических данных, т.е. сведений, получаемых в результате наблюдения некоторой изучаемой случайной величины. При изучении случайной величины обычно имеют дело с совокупностью предметов, подлежащих обследованию относительно некоторого количественного признака Х. Совокупность предметов, подлежащих обследованию называетсягенеральной совокупностью, число предметов в генеральной совокупности называют объемом генеральной совокупности. Если обследование всей генеральной совокупности невозможно (объем ее слишком велик или даже равен бесконечности, или обследование предмета связано с его уничтожением), то обследуется только часть генеральной совокупности, которая называетсявыборочной совокупностью или выборкой.Число предметов в выборке называютобъемом выборки. Виды и способы отбора могут быть весьма различными, важно только, чтобы выборка хорошо представляла генеральную совокупность, т.е. быларепрезентативной(представительной).

Значение признака Хв выборочной совокупности называютсявариантами. Пусть значение признакаХравноеx₁встретилось в выборкеn₁раз,x₂встретилось в выборкеn₂раз, … ,x_kвстретилось в выборкеn_kраз. Числа

называются частотами,объем выборкиравен

(34)

числа

(35)

относительными частотами. Соответствие между вариантами и частотами или между вариантами и относительными частотами называетсявариационным рядом. Вариационный ряд записывают обычно в виде таблицы:

Таблица 6

xi	x1	x2	…	xj	…	xk
ni	n1	n2	…	nj	…	nk

Задачей математической статистики является оценка неизвестных параметров распределения с.в. (приближенное определение неизвестной функции распределения, оценка неизвестного математического ожидания и дисперсии, определение зависимости между двумя с.в., проверка статистических гипотез и т.д.).

Определение. Эмпирической функцией распределения (или функцией распределения выборки) называют функциюF(x), определяющую для каждого значения относительную частоту событияX<x:

(36)

где число вариант, для которых объем выборки.

Пример 28. Данные по продаже 100 пар мужской обуви в некотором магазине представлены следующим вариационным рядом

Размер ()	37	38	39	40	41	42	43
Число проданных пар ()	2	8	12	25	28	17	8
Относительная частота ()	0.02	0.08	0.12	0.25	0.28	0.17	0.08

Построить эмпирическую функцию распределения.

Решение.

1. тогдазначитF(x)=0;	2. F(x)=0.02;
3. F(x)=0.1;	4. F(x)=0.22;
5. F(x)=0.47;	6. F(x)=0.75;
7. F(x)=0.92;	8. F(x)=1.