Формула полной вероятности

Пусть событие Аможет произойти, когда происходит одно и только одно из событийH₁, H_2,…,H _n (гипотезы). Тогда вероятность событияАможет быть вычислена по формуле:

p(А) = р(Н1)р(А\Н1) + р(Н2)р(А\Н2) +…+ р(Нn)р(А\Нn),

(11)

т.е. вероятность события А равна сумме произведений вероятностей событийН_i на условную вероятностьР(А\Н_i) (или) событиеАпри условии, что событиеН_iпроизошло.

Пример 8.Имеются два ящика с деталями. В первом ящике содержится 7 деталей и среди них 3 бракованных; во втором – 5 деталей, среди которых 2 бракованных. Из первого ящика во второй наудачу перекладывается деталь. После этого из второго наудачу извлекается деталь. Найти вероятность того, что эта деталь окажется бракованной.

Решение.Пусть событиеН₁– из первого ящика во второй переложили бракованную деталь; событиеН₂ - переложили качественную деталь. ТогдаА = Н₁  А + Н₂  А (бракованную деталь из второго ящика можно достать в случае, если туда переложили бракованную деталь, или в случае, если переложена качественная деталь; т.е. событиеАможет произойти только вместе с событием Н₁, или вместе с событиемН₂). Применяя формулу (11) полной вероятности, получим

Р(А) = р(Н₁)  р(А\Н₁) + р(Н₂)  р(А\Н₂) =  + =.

Пример 9. Торговая точка получает некоторый товар от двух поставщиков, причем 70% общего объема продукции поступает от первого поставщика, а 30% - от второго. Брак продукции первого поставщика составляет 2%, второго – 3%.

1. Какова вероятность того, что взятый наудачу товар окажется бракованным?

2. Товар оказался бракованным. Какова вероятность, что он поступил от первого поставщика?

Решение. 1. Пусть событиеA – взятый наудачу товар оказался бракованным. Введем гипотезы:- товар поступил от первого поставщика,- от второго, тогда

Следовательно,

3. Пусть событие A – произошло, т.е. взятый наудачу товар оказался бракованным. Найдем вероятность того, что он поступил от первого поставщика. По формуле Байеса имеем

Вероятность появления хотя бы одного из n независимых событий

Пусть вероятность появления события Событиянезависимы в совокупности. Тогда вероятность появления хотя бы одного из них равна:

(12)

где

Пример 10. Студент выполнил контрольные работы по трем предметам. Вероятность получения зачета по первой контрольной работе 0.7, по второй – 0.6, по третьей – 0.8. Какова вероятность сдачи хотя бы одной контрольной?

Решение. Пусть событиесдал первую контрольную работу,сдал вторую контрольную работу,сдал третью контрольную работу. Надо вычислить, следовательно,

Пример 11.Игральная кость брошена 6 раз. Найти вероятность того, что ”6” выпадет хотя бы один раз.

Решение.Здесьр = 1 –⁶ = 0.665.

Общая теорема сложения

Пусть события - произвольные (могут быть совместными, зависимыми). Тогда вероятность появления хотя бы одного из них выражается формулой

(13)

Пример 12. В магазине «Книга-почтой» отослали по заданным адресам три различные книги, случайным образом надписав бандероли. Найти вероятность того, что хотя бы одна книга попала по назначению.

Решение. Пусть событиесостоит в том, что наi-й бандероли указан правильный адресСобытиясовместны и зависимы. Тогда

причем

Аналогично,

Таким образом,