Таким образом, получим следующую функцию распределения

Генеральное и выборочное среднее Генеральная и выборочная дисперсии

Генеральным средним называется среднее арифметическое значений признакаХв генеральной совокупности (обозначение).Выборочным средним называется среднее арифметическое значение признакаХв выборочной совокупности:

(37)

Выборочное среднее является оценкой для генерального среднего или является оценкой неизвестного математического ожидания с.в., если выборка получена в результате наблюдения над некоторой случайной величиной.

Генеральной дисперсиейназывается дисперсия признакаХв генеральной совокупности.Выборочной дисперсиейназывается дисперсия признакаХв выборочной совокупности:

(38)

Для вычисления дисперсии используют формулу:

(39)

Дисперсия равняется среднему квадратов без квадрата среднего. Выборочная дисперсия является оценкой неизвестной генеральной дисперсии, или, ели наблюдается некоторая с.в., то выборочная дисперсия служит оценкой для неизвестной дисперсии. Пример на вычисление выборочного среднего и выборочной дисперсии см. ниже в разделе ”Выборочное уравнение регрессии”.

Интервальные оценки параметров распределения Оценка неизвестного математического ожидания нормально распределенной с.В. При известном 

Пусть требуется оценить неизвестное математическое ожидание анормально распределенной с.в., причем предполагается что среднее квадратичное отклонениеизвестно. Предположим, что в результате наблюдений получен вариационный ряд (см. таблицу 4). Известно, что выборочное среднеетакже распределено по нормальному закону с параметрами, дисперсией,где- объем выборки. Зададим некоторую доверительную вероятность(обычно= 0.95 или= 0.99). По формуле (31) для некоторого> 0 (- точность оценки) получаем:

(40)

Обозначим . Решая уравнение(для решения последнего пользуются таблицами) находимt. Далее очевидно, что точность оценкиОткуда получаемИнтервал

называется доверительным интервалом.

Элементы теории корреляции Выборочное уравнение регрессии

Для выявления связи между двумя случайными величинами по наблюдаемым данным строят выборочное уравнение регрессии. Результаты наблюдения над двумя случайными величинами X Yприведены в таблице 7, которая носит название корреляционной таблицей. В таблице 7 в верхней строке приведены наблюдаемые значения с.в.X, в левом столбце – наблюдаемые значения с.в.Y. В правом последнем столбце таблицы приведены частотыn_yдля с.в. для с.в.Y; например:Y=30 наблюдалось 60 раз. В нижней строке таблицы приведены частотыn_xдля с.в.X; на пересеченииi-ой строки иj-го столбца стоят частотыn_yx; например, параY =30, аX =24 наблюдалось 7 раз,n =110 – объем выборки.Линейное выборочное уравнение регрессииимеет вид:

(41)

Данное уравнение показывает приближенную линейную зависимость между двумя с.в. (оно дает зависимость среднего значения с.в. Yот возможных значений с.в.Х). В этом уравнении

(42)

выборочный коэффициент корреляции.

Таблица 7

Y	X
	4	9	14	19	24	29	ny
10	4	6	-	-	-	-	10
20	-	7	3	-	-	-	10
30	-	-	3	50	7	-	60
40	-	-	1	10	6	-	17
50	-	-	-	4	7	2	13
nx	4	13	7	64	20	2	n= 110

В таблице 8 приведен вариационный ряд для с.в. Х; в таблице 9 - дляY.

Таблица 8

xi	4	9	14	19	24	29
ni	4	13	7	64	20	2

Таблица 9

yi	10	20	30	40	50
ni	10	10	60	17	13

Найдем выборочный коэффициент корреляции и составим выборочное уравнение регрессии YнаХ.

Наконец,

Выборочное уравнение регрессии имеет вид: