Случайные события

Теория вероятностей – это наука о закономерностях массовых случайных событий. Событие, которое при воспроизведении некоторого комплекса условий может произойти, а может и не произойти, называется случайным. Случайные события обозначаются большими буквами латинского алфавита (А, В, Си т.д.). Далее вместо слов «воспроизведен комплекс условий» будем писать «произведено испытание». Событие, которое всегда происходит при проведении испытания, называетсядостоверными обозначаетсяU; событие, которое никогда не происходит, называетсяневозможными обозначаетсяV.

Пусть имеется пара случайных событий А, В. Событие, заключающееся в появлении хотя бы одного из событийАилиВ, называетсясуммойи обозначаетсяА+В(иногдаА В), событие, заключающееся в совместном появлении событийАиВназывается ихпроизведениеми обозначаетсяА ·В(иногдаА В).

Событие заключающееся в том, что событие Ане произошло называетсяпротивоположным событием событиюАи обозначается.

Говорят, что событие Авлечет за собой событиеВ, если при появлении событияА, обязательно происходит и событиеВ(обозначаетсяА В).

Если А ВиВ А, то такие события называютсяравносильными:А=В.

Пример 1.Два стрелка выстрелили в цель по одному разу. Пусть событиеА– попал первый стрелок; событиеВ– попал второй. Тогда

А+В – цель поражена (попал хотя бы один);А ·В– попали оба;

- первый промахнулся;·- никто не попал; (очевидно ,) .

При умножении и сложении случайных событий можно поступать точно также, как и при сложении и умножении обычных чисел, только следует иметь в виду следующие формулы:

А ·А = А, А+А = А, А+U = U, А+V = А,

А ·U = А, А ·V = V, = А.

А +В = В +А, А ·В = В ·А,

А + (В + С) = (А + В) + С, А ·(В + С) = А ·В + А ·С.

События АиВназываютсянесовместимыми (несовместными), если их совместное появление невозможно, т.е.А ·В = V.

Классическое определение вероятности

Говорят, что событие Аподразделяется наmчастных случаевА₁, А₂,…, А_m , еслиА =А₁ + А₂ +…+ А_m ,т.е.Апроисходит тогда и только тогда, когда происходит одно из событийА_j,j1 : m. Говорят, что событияА₁, А₂,…А_nобразуютполную группу, еслиА₁ + А₂ +…+ А_n = U, т.е. при проведении испытания обязательно происходит одно и только одно из событийА₁, А₂,…, А_n.

В самом общем случае определить вероятность случайного события непросто. Однако в простых случаях, когда число исходов испытания конечно, можно дать не только определение вероятности, но и способ ее вычисления.

Определение. Если событиеАподразделяется наmчастных случаев, входящих в полную группу, состоящую изn равновозможных, попарно несовместимых событий, то вероятность событияАесть; т.е.

P(A)=.

(1)

Иными словами, вероятность случайного события есть отношение числа исходов, благоприятствующих появлению события А к числу всех исходов.

Пример 2.Брошена игральная кость. Найти вероятность выпадения четного числа очков (событиеА).

Решение. Здесь полная группа событий состоит из шести событий: А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆ , где А_i – выпало i очков. Событие А = А₂ + А₄ + А₆ , таким образом m=3, n=6.

P(A) = =

Пример 3.Бросаются две игральные кости. Найти вероятности появления того или иного числа очков.

Решение. При бросании двух игральных костей может выпасть любое число очков от двух до двенадцати. Полная группа событий состоит здесь из 36 событий и, если кости правильные, то выпадение каждой из 36 возможных комбинаций числа очков на первой и на второй кости можно считать равновозможным. Число очков равное 12 появляется в одном случае – на первой и на второй кости выпало по 6 очков; таким образом, вероятность выпадения 12 очков равна . Число очков равное 11 может появиться двумя способами: на первой кости 5 очков, на второй – 6, или на первой – 6 и на второй – 5; откуда вероятность появления 11 очков равна . Теперь без труда можно убедиться, что искомые вероятности задаются следующей таблицей:

Таблица 1

Число очков	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Вероятность

Перечислим все исходы, благоприятствующие появлению 7 очков: 1-6, 6-1, 5-2, 2-5, 3-4, 4-3; таким образом, их ровно 6.

При вычислении вероятностей случайных событий часто используется раздел элементарной математики – комбинаторики. Приведем основные формулы комбинаторики.

Пусть имеется конечно-элементное множество состоящее из nэлементов.

Перестановками называются комбинации элементов множества, состоящие из всехnэлементов и отличающиеся друг от друга только лишь их порядком. Для примера выпишем все перестановки трехэлементного множестваa, b, c:abc, bac, bca, cba, cab, acb. Число перестановокn– элементного множества вычисляется по формуле:

Pn=n!,

(2)

где n! = 1·3·…·n(читается эн-факториал), причем полагают 0! = 1. Приn= 3 получаемP₃= 3! = 1·2·3 = 6.

Сочетанием изnэлементов поkназываются комбинации, состоящие ровно изk элементов и отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом. Число сочетаний из n поk(или что тоже самое – число различныхk– элементных подмножествn– элементного множества) обозначается символомС:

С=.

(3)

Выпишем все сочетания из четырех элементов по два: (n= 4,k= 2)ab, ac, ad, bc, bd, cd; следовательно,

C== = 6.

Основное правило комбинаторики: если некоторый выборNможно осуществитьnспособами, а некоторый выборMможно осуществитьmспособами, тоNиMвместе можно осуществитьm·nспособами.

Пример 4.Из урны, содержащей три белых и четыре черных шара, наудачу извлекаются три шара. Найдите вероятность появления двух белых и одного черного шаров (событиеА).

Решение. Здесь число элементарных исходов равно числу способов извлечь 3 шара из 7, т.е.. Два белых шара (выборМ) извлекаются из трехспособами; 1 черный шар можно извлечь четырьмя различными способами (выборN); 2 белых и 1 черный можно выбрать 3 · 4 = 12 способами. Таким образом.

Свойства классической вероятности:

0 ≤ P(A)≤ 1,p(U) =1,P(V)= 0.

(4)

Если А ·В=V, то

Р(А + В) = Р(А) + Р(В),

(5)

т.е. вероятность суммы несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.

Из последнего свойства следует важная формула.

(6)

т.е. сумма вероятностей противоположных событий равна 1.