- •Теория игр
- •История
- •Представление игр
- •Экстенсивная форма
- •Нормальная форма
- •Характеристическая функция
- •Применение теории игр
- •Описание и моделирование
- •Нормативный анализ (выявление наилучшего поведения)
- •Типы игр Кооперативные и некооперативные
- •Симметричные и несимметричные
- •С нулевой суммой и с ненулевой суммой
- •Параллельные и последовательные
- •С полной или неполной информацией
- •Игры с бесконечным числом шагов
- •Дискретные и непрерывные игры
- •Метаигры
- •См. Также
- •Примечания
- •Литература
- •Стохастическая игра
- •История
- •Применение
- •Некооперативная игра
- •Некооперативная игра в нормальной форме
- •Некооперативная игра в развернутой форме
- •Принципы оптимальности
- •Кооперативная игра (математика)
- •Математическое представление
- •Свойства характеристической функции
- •Примеры игр
- •Решение кооперативных игр
- •Литература
- •Свойства
- •См. Также
- •Источники
- •Формальное определение
- •История возникновения
- •Дальнейшие свойства
- •Вектор Шепли
- •Формальное определение
- •Аксиоматика вектора Шепли
- •Литература
- •Антагонистическая игра
- •Дифференциальные игры
- •Литература
- •Литература
- •Сетевые игры
- •Литература
- •Кооперативные стохастические игры
- •Литература
- •Марковский процесс принятия решений
- •Определение
- •Дилемма заключённого
- •Классическая дилемма заключённого
- •Обобщённая форма
- •Похожая, но другая игра
- •Примеры из реальной жизни
- •Повторяющаяся дилемма заключённого
- •Психология обучения и теория игр
- •Восточная философия
- •Генетика
- •Игрок (теория игр)
- •Литература
- •Типы стратегий
- •Литература
- •Терминология
- •Формальные определения
- •Доминирование и равновесия Нэша
- •Последовательное исключение доминируемых стратегий
- •Литература
Математическое представление
Согласно определению, кооперативной игрой называется пара (N,v), где N — это множество игроков, а v — это функция: 2N→R, из множества всех коалиций в множество вещественных чисел (так называемая характеристическая функция). Предполагается, что пустая коалиция зарабатывает ноль, то есть v(∅) = 0. Характеристическая функция описывает величину выгоды, которую данное подмножество игроков может достичь путем объединения в коалицию. Подразумевается, что игроки примут решение о создании коалиции в зависимости от размеров выплат внутри коалиции.
Свойства характеристической функции
Монотонность— свойство, при котором у больших (в смысле включения) коалиций выплаты больше: если.
Супераддитивность— свойство, при котором для любых двух непересекающихся коалиций A и B сумма их выгод по отдельности не больше их выгоды при объединении:
Выпуклость— характеристическая функция является выпуклой:
Примеры игр
Простые игры— особый вид кооперативных игр, где все выплаты это 1 или 0, то есть коалиции либо «выигрывают», либо «проигрывают». Простая игра называется правильной, если:
.
Значение этого: коалиция выигрывает тогда и только тогда, когда дополняющая коалиция (оппозиция) проигрывает.
Решение кооперативных игр
В соответствии с определением кооперативной игры, множество игроков N в совокупности обладает некоторым количеством определенного блага, которое надлежит разделить между участниками. Принципы этого деления и называются решениями кооперативной игры.
Решение может быть определено как для конкретной игры, так и для класса игр. Естественно, что наибольшей важностью обладают как раз те принципы, которые применимы в широком спектре случаев (то есть для обширного класса игр).
Решение может быть как однозначным (в этом случае для каждой игры решением является единственное распределение выигрышей), так и многозначным (когда для каждой игры могут быть определены несколько распределений). Примерами однозначных решений служат N-ядроивектор Шепли, примерами многозначных —C-ядроиK-ядро.
С-ядро
N-ядро
K-ядро
Вектор Шепли
Литература
Петросян Л. А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А.Теория игр: Учеб. пособие для ун-тов. — М.: Высш. шк., Книжный дом «Университет», 1998. — С. 304. —ISBN 5-06-001005-8, 5-8013-0007-4
C-ядро
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «С-ядро»)
Перейти к: навигация,поиск
С-ядро(произноситсяцэ-ядро) — принцип оптимальности в теориикооперативных игр, представляющий собой множество эффективных распределений выигрыша, устойчивых к отклонениям любой коалиции игроков, то есть множество векторов, таких, что:
и для любой коалиции выполнено:
,
где — характеристическая функция игры.
Свойства
Эквивалентным является определение С-ядра кооперативной игры в терминах блокирования распределений выигрыша коалициями. Говорят, что коалиция Kблокирует распределение выигрышаx, если найдётся другое распределение выигрышаy, такое, что
,
и для любого участника выполнено.
Тогда С-ядром кооперативной игры называется множество распределений выигрыша, которые не могут быть заблокированы ни одной коалицией.
С-ядро задаётся системой линейных уравнений и нестрогих линейных неравенств, в связи с чем оно является выпуклыммногогранником.
С-ядро может быть пустым. Достаточные условия непустоты ядра были сформулированы Л.Шепли:
Теорема.Кооперативная игра ссупермодулярнойхарактеристической функцией имеет непустое ядро.
Необходимые и достаточные условия непустоты ядра были сформулированы О.Бондаревойи, позднее,Л.Шепли:
Теорема.Ядро кооперативной игры непусто тогда и только тогда, когда онасбалансирована.
Любое равновесие Вальрасапринадлежит ядру, однако обратное неверно. Однако, при некоторых предположенях, если количество агентов в экономике стремится к бесконечности, ядро стремится ко множеству равновесий Вальраса (гипотезаЭджворта).