Гиперболоиды
Канонические уравнения гиперболоидов
|
x2 |
|
y2 |
|
|
z2 |
1 |
|
|
a2 |
b2 |
|
c2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
В зависимости от знака перед единицей в |
|
|||||||
правой части гиперболоиды делятся на одно и |
|
|||||||
двуполостные. |
|
|
|
однополостного |
|
|||
Каноническое уравнение |
b |
|||||||
гиперболоида |
|
|
|
|
|
a |
||
|
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
1 |
|
a2 |
b2 |
c2 |
|||
|
|
|
|
|||
a, b, |
c |
полуоси |
||||
Признаки уравнения однополостного гиперболоида:
1.Наличие квадратов всех трех переменных
2.Разные знаки при квадратах переменных
3.Один знак минус при квадрате переменной в левой части уравнения в правой части плюс 1.
Разные ориентации однополостных гиперболоидов
Ориентация гиперболоида зависит от того, перед какой переменной в каноническом уравнении стоит знак минус.
Однополостный гиперболоид |
Однополостный гиперболоид |
||||||||||||
с осью симметрии OY |
с осью симметрии OX |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|||
|
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
1 |
|
x |
|
y |
|
z |
1 |
|
2 |
2 |
2 |
||||||||||
|
|
b2 |
|
||||||||||
|
a2 |
|
c2 |
|
a |
|
b |
|
c |
||||
c
Гиперболоиды
Каноническое уравнение двуполостного
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гиперболоида |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
y |
2 |
|
|
z |
2 |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
b2 |
c2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a, b, |
|
c |
|
|
полуоси |
|
|
|
c |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если из уравнения выразить z, то получим |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z c |
|
|
x2 |
|
|
|
y2 |
1 |
|
|
|
c |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
b2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Т.к. |
x2 |
|
y2 |
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| z | c |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a |
2 |
b |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
, то получается, что |
|||||||||||||||||||||
Двуполостный гиперболоид на проходит через начало координат. Признаки уравнения двуполостного
гиперболоида:
1.Наличие квадратов всех трех переменных
2.Разные знаки при квадратах переменных
3.Два знака минус в уравнении: один при квадрате
переменной в левой части уравнения, другой в правой части при 1.
Разные ориентации двуполостного гиперболоида
Каноническое уравнение двуполостного гиперболоида
содержит два знака минус в уравнении.
Один знак минус оставляем в левой части уравнения, а
второй поставим перед единицей в правой части. В
таком случае легко определить ось симметрии
гиперболоида: перед квадратом какой переменной в
левой части уравнения знак минус, та ось системы
координат и будет являться осью симметрии.
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
1 |
|
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
1 |
|
a2 |
b2 |
c2 |
a2 |
b2 |
c2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| y | b |
| x | a |
|
|
|
b |
b |
|
|
|
2. Одно из собственных |
|
|
|
|||||||||||
чисел |
|
|
равно нулю3 ( |
|
). |
|
|
|
||||||
x2 |
y2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
2b x 2b y 2b z c 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
2 |
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
||
Выделим полные квадраты |
|
|
|
|
|
|
||||||||
(x |
b1 |
)2 ( y |
b2 |
)2 2b z c 0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
1 |
|
2 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2.1. b3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
, выполним параллельный |
|
|
b1 |
|
||||||||
перенос |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||
получим 1 (x ) |
2 |
( y ) |
c 0 |
y |
y |
|
b2 |
|||||||
|
2 |
|||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
z z
2. Одно из собственных |
). |
||||||||||||
чисел |
|
равно нулю3 ( |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
y2 c 0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.1.1. с=0, знаки |
|
|
одинаковы. Получим |
|
|||||||||
|
1, 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x2 |
y2 0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
уравнение плоскости |
|
|
x2 |
|
y2 |
|
1 |
||||||
|
|
с |
|
|
|||||||||
с 0 |
|
1, 2 |
|
|
|
|
с |
|
|
|
|||
2.1.2. |
, знаки |
|
и с одинаковы: |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
решений: |
|
x2- |
|
y2 |
1 |
|
|
нет |
|
||||
|
|
b2 |
|
|
|||||||||
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. Одно из собственных |
). |
|||||||||||||||
чисел |
|
|
|
равно нулю3 ( |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 |
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
c 0 |
|
||||||||
2.1.3. |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
одинаковы и |
|
||
|
|
, знаки1 2 |
|
|
||||||||||||
с 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
с: |
|
|
||
отличаются2 от знака2 |
|
|
||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
1 |
|
|
|||
|
с |
1 |
|
|
|
с |
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x2 |
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
a2 |
|
b2 |
|
|
- |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
эллиптический цилиндр
• Эллиптические цилиндры
Направляющей кривой являются эллипсы
x2 y2 1 ось симметрии OZ
a2 b2
y2 |
|
z2 |
1 |
||
b2 |
c2 |
||||
|
|
|
|||
x2 |
|
|
z2 |
1 |
|
a2 |
|
c2 |
|||
|
|
|
|||
ось симметрии OX
ось симметрии OY
a 
b
Для построения цилиндра строим эллипс с полуосями a и b в плоскост а затем «превращаем» этот эллипс в цилиндр, вытягивая вдоль оси сим
|
2. Одно из собственных |
). |
||||||||||||||||
чисел |
равно нулю3 |
( |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
x2 |
y2 c 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2.1.4. |
с=0, знаки |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
, 2 |
различны. Получим |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x2 y2 0 y 2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
уравнение плоскостей |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
y2 |
|
|
|||||||
|
с 0 |
|
|
1, 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
с |
|
|
|||||
2.1.5. |
|
, знаки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
различны: |
|
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
x2 |
y2 |
|
|
|
|
|
|
получим |
|
||||
гиперболический |
цилиндр: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
a2 |
b2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
•Гиперболические цилиндры
Вкачестве направляющей этих цилиндров служит гипербола.
x2 |
|
y2 |
1 |
ось симметрии OZ |
|
x2 |
y2 |
1 |
||
a2 |
|
b2 |
|
|
|
a2 |
b2 |
|
||
y2 |
|
|
z2 |
|
1 |
ось симметрии OX |
|
|
|
|
b2 |
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
z2 |
1 |
ось симметрии OY |
|
|
|
|
|
a2 |
c2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При построении гиперболических цилиндров обязательно нужно правильно определить мнимую и действительную оси гиперболы и ос симметрии самого цилиндра.