Ортогональный оператор
1.Ортогональная матрица.
2.Ортогональный оператор.
1.Ортогональная матрица
Определение 1.1. Действительная квадратная матрица Q такая что
Q−1 = QT
называется ортогональной матрицей.
Следствие 1.2. Квадратная матрица Q ортогональна тогда и только тогда, когда
QTQ = QQT = I.
Пример .
cos |
sin |
|
|
|
|
A |
cos |
|
sin |
|
A |
1 |
cos |
sin |
T |
|
|
|
sin |
|
A |
|
|
|
|
cos |
|
|
Теорема 1.3. Следующие утверждения эквивалентны для n×n матрицы A.
(a) A – ортогональная матрица.
(b)Строки матрицы A образуют ортонормированное множество в евклидовом пространстве строк Rn.
(c) Столбцы матрицы A образуют ортонормированное множество в евклидовом пространстве столбцов
Rn.
Доказательство.
Доказательство проведем для одного из пунктов, остальные доказываются аналогично.
Предположим выполняется пункт (а). Докажем пункт (b).
|
|
|
a11 |
a12 |
a1n |
a11 |
||||||
T |
|
|
a |
21 |
a |
22 |
|
a |
2n |
|
a |
|
I |
|
|
|
|
|
|
12 |
|||||
A A |
... |
... ... ... |
|
|
|
|||||||
|
|
|
... |
|||||||||
|
|
|
a |
n1 |
a |
n2 |
|
a |
nn |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1n |
|||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
(A1, A1 ) |
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
A2T |
AnT (A2 , A1 ) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(A , A ) |
|||
An |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a21 |
|
an1 |
|
|
||
a |
22 |
|
a |
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
... |
... |
... |
|
|||
a2n |
|
|
|
|
|
|
ann |
|
|||||
(A1, A2 ) (A1, An ) |
1 |
0 |
0 |
|||||
(A , A ) (A , A ) |
|
0 |
1 |
0 |
|
|||
2 |
2 |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(A , A ) (A , A ) |
|
0 |
0 |
1 |
|
|||
n |
2 |
n |
n |
|
|
|
|
|
(Ai , Ai ) 1, |
(Ai , Aj ) 0 |
при i j. QED |
Теорема 1.4. (свойства ортогональной матрицы).
(a)Матрица, обратная к ортогональной, также является ортогональной.
(b)Произведение ортогональных матриц является ортогональной матрицей.
(c)Если Q ортогональная матрица, то
det(Q) = 1 или |
det(Q) = −1. |
Доказательство.
(a) Пусть Q ортогональная матрица, B Q 1
BT B (Q 1 )T Q 1 (QT ) 1 Q 1 (Q 1 ) 1 Q 1
Q Q 1 I BT B 1.
(b) Пусть Q, R ортогональные матрицы, B QR
BT B (QR)T QR (RT QT ) QR |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
RT (QT Q)R RT R I |
|
|
|
BT B 1. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
(c) Пусть Q ортогональная матрица, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
Q QT |
|
|
|
I |
|
1 |
|
Q |
|
QT |
|
|
|
Q |
|
Q |
|
|
|
Q |
|
2 |
|
|
Q |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 1.5. Матрица перехода от одной ортонормированной базы к другой в евклидовом пространстве является ортогональной матрицей.
Доказательство. |
g1,g2 |
,..., gn |
Пусть даны два базиса В = |
|
и G = |
-ортонормированные базисы евклидова пространства:
Р – матрицаn n перехода.
(gk ,gl ) pik p jl (bi ,b j )
|
i 1 j 1 |
n |
0, k l |
pik pil |
|
i 1 |
1, k l |
систему,
|
(b |
,b |
|
0,i j |
|
) |
|
||
|
i |
j |
|
|
|
|
|
|
1,i j |
столбцы Р образуют ортонормированную
2. Ортогональный оператор
Определение 2.1. Линейный оператор в n-мерном евклидовом пространстве V называется ортогональным, если он
сохраняет длину вектора:
v V (v) v
Замечание. На основании определения можно для ортогональногоv V ( (vоператора), (v)) (записатьv, v)
|
в |
Теорема 2. Ортогональный оператор |
|
n-мерном евклидовом пространстве |
|
сохраняет скалярное произведение. |
|
Доказательство(u . v, u v) (u,u) 2(u, v) (v, v)
( (u v), (u v)) (u v, u v)
( (u), (u)) 2( (u), (v)) ( (v), (v))(u, u) 2( (u), (v)) (v, v).
Сравниваем
(u, u) 2(u, v) (v, v) (u, u) 2( (u), (v)) (v, v).
Получаем ( (u), (v)) (u, v)
|
|
в n- |
Теорема 2.3. Линейный оператор |
||
мерном евклидовом пространстве V |
|
|
является ортогональным т. и т.т.к. |
|
|
матрица Т оператора |
в |
|
ортонормированном базисе является |
|
|
ортогональной матрицей. |
|
|