Квадратичная форма
1.Определения
Определение 1.1.
Квадратичная форма от n переменных x1, x2, …, xn
есть однородный многочлен второй степени от этих переменных
n n
Ff (x1, x2 ,..., xn ) aij xi x j
i j
В выражении |
n |
n |
|
aij xi x j |
|
|
i |
j |
обычно полагают
aij a ji
2
Примеры
2x12 6x1x2 7x22
2x12 2x22 3x32 4x1x2 12x1x3 8x2 x3
21x12 11x22 2x32 30x1 x2 8x2 x3 12x3 x1
3
Квадратичная форма как скалярное произведение в ортонормированном базисе
Длина вектора v, ||v||= (vTv)1/2; uTv, скалярное произведение u и v
XT AX=(AT X)TX = XT (AX) = XT Y
Пусть A=CTC. Тогда
XT AX= XTCTCX=(CX)TCX=YTY XT AY= XTCTCY=(CX)TCY=YTZ
4
В терминах матричного умножения КФ можно представить как
|
|
a11 |
a12 |
... |
a1n x1 |
|
|
||||
F x1 |
x2 |
a |
a |
|
... |
a |
x |
|
|
xT Ax |
|
... xn 12 |
|
22 |
... |
|
2n |
|
2 |
|
|||
|
|
... ... |
... |
... |
|
||||||
|
|
a |
a |
2n |
... |
a |
x |
n |
|
|
|
|
|
1n |
|
|
|
nn |
|
|
|
||
Здесь А – матрица квадратичной формы (А - симметрическая матрица ( aij a ji )). Ранг матрицы А называют также рангом квадратичной формы.
5
Линейное преобразование квадратичной формы
Пусть XT AX есть квадратичная форма от n переменных и
X = PY,
есть невырожденное линейное преобразование переменных (то есть P – невырожденная матрица). Тогда
XT =(PY)T=YTРT
поэтому
XT AХ=YTРTАРY=YT(PT АР)Y =YTBY
где B = PT АР .
Лемма 1.2. Пусть А – симметрическая матрица и Р – невырожденная матрица. Тогда матрица B = PT АР снова является симметрической.
Доказательство.
|
p1 j |
|
|
|
|
|
p1 j |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
n |
n |
n |
|
|
|
|
|
n n |
n n |
|
p2 j |
|
|
p2 j |
|
||||||||||
|
( pik ak1 |
|
|
pik ak1 plj pik plj ak1 |
|||||||||||
bij ( pi1 pi 2...pin )A |
|
|
pik ak 2... pik akn ) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
k 1 |
k 1 |
k 1 |
|
|
|
l 1 k 1 |
k 1 l 1 |
||||
|
|
p |
nj |
|
|
|
|
|
|
p |
nj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
p1i |
|
|
|
|
p1i |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
n |
n |
n |
|
|
|
|
|
n n |
|
|
|
p2i |
|
p2i |
|
|
|
||||||||
|
|
( p jl al1 p jl al 2 |
|
|
pil alk pki |
||||||||||
bji ( p j1 p j 2 ...p jn )A |
|
|
|
... p jl aln ) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
l 1 |
k 1 |
k 1 |
|
|
|
k 1 l 1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pni |
|
|
|
|
|
|
|
pni |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pik plj alk (akl alk ) bij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
k 1 |
l 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствие 1.3. YTBY также является квадратичной формой от n переменных.
7
Определение 1.4. Две симметрические матрицы A и В называются конгруэнтными, если существует P – невырожденная матрица, такая что B = PT АР .
Теорема 1.5. Конгруэнтные матрицы имеют одинаковый ранг (таким образом невырожденное линейное преобразование сохраняет ранг формы).
Доказательство. По условию, B = PT АР , тогда rank B = rank(PT АР)= (P невырождена)=rank(PT А)= =rank А. QED
2.Каноническая квадратичная форма
Определение 2.1. Канонический вид квадратичной формы (или просто каноническая форма) - это квадратичная форма вида
c x2 c x2 c x2
( таким образом,1 1 2матрица2 каноническойn n формы имеет диагональный вид).
Каноническая квадратичная форма не содержит произведений неизвестных.
Следствие 2.2. Число ненулевых коэффициентов в каноническом виде совпадает с рангом формы.
Для применения метода Лагранжа, удобно пользоваться следующей формулой:
а |
|
х2 |
2а |
х х |
2 |
... 2а |
x x |
n |
|
|||
11 |
1 |
|
12 |
1 |
|
1n |
1 |
|
||||
|
|
1 |
|
a11 x1 |
a12 x2 |
... a1n xn 2 |
||||||
a |
||||||||||||
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
a12 x2 |
... a1n xn 2 |
|
|
|
|||
|
a |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|