Закон инерции действительных Получим квадратичных форм
–(ук+10)2 – … – (уr0)2 =
= (z10)2 + (z20)2 + … + (zр0)2.
Левая часть равенства – неположительная, правая часть – неотрицательная. Это возможно тогда и только тогда, когда ук+10 = … = уr0 = z10 = z20 = … = zр0 = 0.
Получили, что (х10, х20, … , хn 0 ) – ненулевое решение системы
z1 = z2 = … = zр = zр+1 = … = zr = zr+1 = … = zn = 0 или |
|
n |
|
bjt xt 0, |
ј = 1, … , n. |
чтоt 1невозможно, т.к. ранг этой системы равен n (B – невырожденная матрица). Итак, наше предположение не верно. Следовательно, к = р.
QED
3.Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием (приведение к главным
осям)
Пусть XT AX есть квадратичная форма от n переменных. Так как A – симметрическая матрица, то она может быть приведена к диагональному виду с помощью ортогональной матрицы Q ( Y=QX ):
QT AQ=D ,
Причем на главной диагонали матрицы D стоят собственные значения матрицы A, а столбцы матрицы Q являются соответствующими собственными столбцами.
Определение 3.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду , при котором коэффициенты при квадратах переменных являются собственными числами матрицы А называют приведением к главным осям.
Пример.
Привести форму 8x2 + 7y2 + 3z2 – 12xy + 4xz
– 8yz к главным осям.
Решение. Матрица квадратичной формы
8 |
6 |
2 |
|
|
7 |
4 |
|
A 6 |
|
||
|
4 |
3 |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
Находим корни характеристического уравнения
| A λ I | 0 :
|
8 λ |
6 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
6 |
7 λ |
4 |
|
|
0 |
|
|
2 |
4 |
3 λ |
|
|
|
|
или λ(λ 3)(λ 15) |
0 |
λ1,2,3 0, 3, 15 - |
|||||
собственные значения
Для λ = 3 уравнение для нахождения СВ имеет вид [A – 3I] X1 = 0
5x1 6x2 2x3 06x1 4x2 4x3 0 2x1 4x2 0
Получаем X1 = k1(2,1, 2)T
Собственный вектор для λ = 0 удовлетворяет
[A – (0)I] X2 = 0
8x1 6x2 2x3 06x1 7x2 4x3 0 2x1 4x2 3x3 0
получаем собственный вектор X2 k2 (1,2,2)T
Точно так же собственный вектор для |
λ = 15 есть |
X3 = k3 (2, 2,1)T |
|
X1, X2, X3 попарно ортогональны, матрица
преобразования
2
3 Q 1323
12
3 |
|
3 |
|
2 |
|
2 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
||
2 |
|
1 |
|
33
2
3
1
3
2
3
1
3
2
3
32
|
2 |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
3 |
|
A |
|
3 |
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
12
3 |
|
3 |
|
3 |
2 |
|
2 |
|
0 |
|
|
|||
3 |
|
3 |
|
|
2 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|||
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
00
00
015
Преобразование X =QY:
2
3 X 1323
XT AX YT (QT AQ)Y
12
3 |
|
3 |
|
2 |
|
2 |
|
3 |
3 |
Y |
|
|
|
||
2 |
|
1 |
|
33
YTDY
|
|
3 |
0 |
0 |
y1 |
|
|
|
y1 y2 |
y3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 0 |
y |
2 |
||||||
|
|
0 |
0 |
15 y |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 y12 0 y22 15 y32