Симметрический
оператор
1.Симметрическая матрица
2.Симметрический оператор
1. Симметрическая матрица
Определение 1.1. Действительная матрица A называется симметрической, если AT A
Из определения следует, что симметрическая матрица – квадратная матрица.
Элементы матрицы симметричны
относительноAглавнойT A, aдиагоналиa ,
kj jk
|
|
|
|
Примеры. |
1 |
4 |
1 |
|
|
4 |
3 |
0 |
|
симметрична. |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
2 |
|
|
In |
|
симметрична. |
||
Теорема 1.2. Пусть A – симметрическая матрица, тогда все собственные значения этой матрицы – действительные числа. Для каждого собственного значения матрицы найдется собственный вектор с действительными координатами.
Доказательство (от противного).
1. Пусть v – собственный вектор матрицы А, отвечающий собственному значению λ: А v = λ
v . Предположим, что λ – комплексное число.
Av v Av v ( A действительная матрица)
Перейдем к сопряженным числам:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1ivi |
|
v |
|
|
v1 v1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
Умножим |
|
|
|
скалярно на v: |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
( Av, v) ( v, v) |
|
|
|
) ( , ) |
||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
v |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
anivi |
|
n |
|
|
n |
n |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
||||
a1iv1vi anivn |
|
|
|
|
|
vi (v1v1 vnvn ) |
|||||
i 1 |
i 1 |
||||
nn
a jiviv j (v1v1 vnvn )
i 1 j 1
(v, v) R и |
(v, v) 0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
aij |
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
viv j |
v1v1 vnvn ) ( A симметрическая) |
||||||||||||||||||||||
i 1 j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||||||
v1 a1 jv j vn anj v j |
|
( |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
v1v1 vnvn ) |
|||||||||||||||||||||||
j 1 |
|
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|||||||||||||||
(v, Av) |
|
|
(v, v) (v, v) |
|
(v, v) |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
(v, v) |
|
(v, v) ((v, v) R, (v, v) 0) |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
R |
||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||
2. Пусть v – комплексный собственный вектор матрицы А, отвечающий действительному собственному значению λ:
А v = λ v Перейдем
Тогда v v
и
QED
.
к сопряженным числам:
Av v Av v
A(v v) (v v)
- действительный собственный вектор.
2. Симметрический оператор
Определение 2.1. Линейный оператор
евклидова |
пространства |
Е называется |
симметрическим, если |
для любых |
|
|
u, v E |
|
векторов |
выполняется |
|
|
( (u), v) (u, (v)) |
|
Теорема 2.2. Линейный оператор в евклидовом пространстве является симметрическим тогда и только тогда, когда его матрица в произвольном ортонормированном базисе симметрична.
Доказательство.
Пусть {e1,e2 |
, ,en} |
- произвольный |
ортонормированный базис, |
||
А – матрица оператора. |
||
Тогда |
n |
n |
( (ei ),e j ) ( akiek ,e j ) aki (ek ,e j ) a ji . |
||
|
k 1 |
k 1 |
|
|
( (ei ),e j ) (ei , (e j )) |
С другойn стороны,n |
||
(ei , akjek ) akj (ei ,ek ) aij |
||
k 1 |
k 1 |
|
aij a ji |
( А симметрическая). |
.
Пусть 1 |
2 |
n |
} |
- произвольный ортонормирован |
{e |
,e |
, ,e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, u,v – два |
|
А – симметрическая матрица оператора |
||||||||||||||||
произвольных вектора евклидова пространства и |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u uiei , |
v v je j . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
j 1 |
|
n |
n |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда( (u), v) ( ui (ei ), v je j ) uiv j ( (ei ),e j ) |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n n |
|
n |
|
i 1 |
|
j 1 |
|
|
i 1 j 1 |
|
n n |
|
||||
|
|
|
|
|
n |
n n |
|
|
|
|
|
|
||||
uivj ( aki (ek ,e j ) akiuiv j (ek ,e j ) a jiuiv j |
||||||||||||||||
i 1 j 1 |
|
k 1 |
|
|
|
|
i 1 j 1 k 1 |
|
|
|
|
|
i 1 j 1 |
|
||
С другой стороны, |
|
n n |
|
|
|
|
|
n n |
n |
|||||||
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(u, (v)) ( |
u e , |
v |
(e |
)) |
u |
v |
(e |
, (e |
|
)) uiv j (ei , akjek ) |
||||||
|
|
|
j |
|||||||||||||
|
i |
i |
j |
j |
|
i |
j |
i |
|
i 1 j 1 |
k 1 |
|||||
|
i 1 |
|
|
j 1 |
|
|
|
i 1 j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
n |
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
akjuivj (ei ,ek ) aijuiv j |
|
|
|
|||||||||||||
i 1 j 1 k 1 |
|
|
|
i 1 j 1 |
|
|
|
|
|
|||||||
(u, (v)) ( (u), v) |
QED |
.
Следствие2.3.
(1)Все собственные значения симметрического оператора – действительные числа.
(2)Любой симметрический оператор имеет хотя бы одно собственное значение.