Климанов Дозиметрическое планирование лучевой 2007

2. Для убыстрения расчетов обычно используются ядра, усредненные по спектру падающего излучения. В то же время энергетический спектр не одинаков на разных расстояниях от оси пучка и на разных глубинах в фантоме.

Практически во всех коммерческих системах планирования не учитывается зависимость дозовых ядер от атомного номера среды и используются данные для воды.

Эти приближения естественно сказываются на точности расчета доз с помощью модельных алгоритмов. Для уменьшения возникающей погрешности в алгоритмы вводятся различные поправочные факторы, которые часто основаны на использовании экспериментальных данных.

4.Метод дифференциального тонкого луча

4.1.Общая постановка

Влитературе этот метод часто называют методом свертки/суперпозиции. Точное выражение для расчета дозы в произ-

(1)

где Ψ – флюенс энергии первичного излучения; z – атомный номер среды; ρ – плотность среды.

С учетом упрощающих допущений (1, 2 и 4) выражение (1) переходит в следующее:

D(rr) = ρ(1rr) ∫dE∫d 3 rr′µ(Ε,rr′) Ψ(rr′, Ε) Kдл (E,rr′− rr) . (2)

При проведении дальнейших преобразований уравнения (2) принято использовать понятия интегральной термы T(r) и диффе-

ренциальной термы TE (rr).

Под дифференциальной термой понимается энергия, освобождаемая в единице массы первичными фотонами с энергией Е. Связь между флюенсом энергии первичных фотонов и дифференциальной термой следующая:

162

Переформулируем проблему, чтобы избежать лучевого анализа и интегрирования по энергии. Введем ядро, усредненное по спектру падающего излучения:

∆Ei

мого объекта; Ψ(rro ) – интегральный энергетический флюенс. Тогда уравнение (5) переходит:

где F(r ) – поправочный фактор на «ужестчение» спектра фотонов

с увеличением глубины.

Величина интегральной термы в геометрии облучения при дистанционной лучевой терапии определяется из выражения:

где µ(rr) – усредненный по спектру линейный коэффициент ослабления фотонов, который определяется как:

Фактор ужестчения спектра можно найти из выражения:

163

где верхний индекс w означает, что значения функций рассчитываются для воды.

В последних системах планирования проводится также коррекция на дивергенцию ядра и на внеосевое смягчение спектра первичных фотонов. Удобным приемом для учета многих поправочных факторов является введение коефициента коррекции через ссылочное поле:

4.2. Аналитическая аппроксимация ядра ДТЛ в воде

Анализируя результаты расчетов ядра ДТЛ в воде для спектров тормозного излучения 4 MВ, 6 MВ, 10 MВ, 15 MВ и 24 MВ автор работы [51] нашел, что зависимость ядра от переменной r можно приближенно описать формулой:

где Аθ, аθ, Вθ, bθ – эмпирические параметры, зависящие от угла θ и спектра фотонов. Значения этих параметров были определены методом наименьших квадратов [51].

Важным обстоятельством является также то, что первый член выражения (11), согласно [51], описывает, главным образом, первичную энергию, передаваемую в воде как первичную дозу, а второй член энергию рассеянных фотонов, передаваемую как дозу рассеянного излучения. Если это утверждение справедливо, то интеграл от первого члена

должен равняться средней доле энергии, поглощаемой в среде при акте взаимодействия первичного фотона. Результаты расчета интеграла (12) хорошо совпадают с теорией для 4 MВ, 6,0 MВ и 10 MВ тормозных фотонов и хуже для 15 MВ и 24 MВ. Вместе с тем, полная поглощенная энергия хорошо сохраняется.

164

4.3.Аналитическая аппроксимация ядра ДТЛ

вгетерогенной среде

Под гетерогенными средами в этом разделе понимаются среды с переменной плотностью, но водоэквивалентные по эффективному атомному номеру. Такое упрощение, примененное к практическим задачам дозиметрического планирования лучевой терапии, не очень существенно отражается на погрешности расчета дозы для высокоэнергетичных пучков. Так, например, в работе [52] были выполнены расчеты доз в гетерогенном антропоморфном фантоме с точным заданием химического состава отдельных органов и скелета. Второй расчет был проведен для такого же фантома, но с заменой конкретных веществ на водоэквивалентные с измененной (эквивалентной) плотностью. Различие в двух расчетах доз для внутритканевых точек оказалась меньше 0,4 %.

Следующее упрощение состоит в пространственном масштабировании ядра ДТЛ в соответствии с распределением плотности между точкой взаимодействия первичного фотона и точкой детектирования (расчета). Это соответствует концепции прямолинейности распространения энергии, освобождаемой при взаимодействии первичного фотона, от точки взаимодействия к точке детектирования. Строго говоря, это неправильно, особенно на больших расстояниях. Здесь значительный вклад в дозу вносит многократно рассеянное излучение. Но для однократно рассеянного излучения такая концепция выполняется вполне удовлетворительно.

Концепция прямолинейности, примененная к выражению (11), позволяет формально рассматривать поглощенную энергию, как создаваемую двумя разными частицами с линейными коэффициентами ослабления аθ и bθ . Физические частицы, представленные в (11) первым членом, являются, главным образом, электронами, образующимися при взаимодействии первичного фотона. Частицы, представленные в (11) вторым членом, являются фотонами. Поэтому естественно предположить [38], что коэффициент ослабления аθ первого члена в гомогенной водоэквивалентной среде, но с другой плотностью (ρm≠1 г/см3), пропорционален отношению тормозной способности среды к тормозной способности воды. В свою очередь, коэффициент ослабления bθ второго члена в такой же среде пропорционален отношению коэффициентов ослабления рассеянных фотонов в среде и в воде.

165

В этой аппроксимации ядро ДТЛ в произвольной водоэквивалентной по атомному номеру среде (ρm≠1) описывается уравнением:

где: ρm и ρw – плотности среды и воды; Sm,w – отношение массовых тормозных способностей электронов для среды и воды; µm,w – отношение массовых коэффициентов ослабления рассеянных фотонов для среды и воды.

Массовая тормозная способность приблизительно пропорциональна электронной плотности. Это же справедливо для массового коэффициента ослабления рассеянных фотонов, так как основным процессом взаимодействия в рассматриваемой проблеме является комптоновское рассеяние. Так как отношение плотностей, помноженное на отношение числа электронов в единице массы, равно отношению числа электронов на единицу объема, то обозначив его через η, упростим выражение (13):

Отсюда получим обобщение для гетерогенной среды, считая, что

является пространственно зависимой. Окончательно получаем:

4.4. Алгоритм “Разложение на конусы”

Выражение (6) позволяет, в принципе, провести прямой численный расчет дозового распределения в 3-мерной пространственной

сетке. Ядро К(rv′− rv) при этом берется в форме (16), r ′ иденти-

фицируется как начало координат и r задается как (r, θ, φ). Однако такой подход встречает две серьезные проблемы.

Первая связана с очень большой трудоемкостью расчета. Обозначим число интервалов сетки по каждой из осей в декартовой системе

166

координат через N. Линейные интегралы в показателях в формуле (16) должны оцениваться для всех комбинаций точек рассеивания и детектирования. Следовательно, для каждой расчетной точки нужно рассмотреть N3 точек рассеивания. Число точек расчета тоже равняется N3. Каждый расчет при этом потребует N операций. Таким образом, полное время расчета будет пропорционально N7.

Вторая трудность связана с сильным градиентом ядра (16) по переменной r на пробеге электрона (рис.5.3) и особенностью 1/r2 в нуле. Дело в том, что при численном расчете требуется дискретизация уравнения (6). Желаемое пространственное разрешение при дозиметрическом планировании находится в диапазоне 0,1 ÷1,0 см.

На таком расстоянии терма изменяется несильно. Трудности возникают с ядром ДТЛ в силу отмеченных его особенностей. Прямое суммирование значений ядра в аналитической форме (16), используя в качестве значений r расстояние между центрами рассеивающей и расчетной ячеек (вокселей), приводит к существенным погрешностям и становится невозможным, когда рассеивающий воксель совпадает с расчетным. Предложенный в работе [51] алгоритм “Разложение на конусы” решает отмеченные трудности.

Рассмотрим дискретную сферическую координатную систему, т.е. систему вокселей в виде конических сегментов с телесным углом Ωmn вокруг θm и φn и толщиной ∆r. Пространство, покрытое отдельным вокселем определяется как:

rl −1 ≤ r ≤ rl ;

θ,ϕ Ωmn .

Определим поток волновой энергии (энергии первичных электронов и рассеянных фотонов) Rmn(rl), испускаемой в конус Ωmn из

рассеивающего объема dV в начале координат (0) и следующей

через сферическую поверхность rl. Будем исходить из аналогии с формулой, связывающей поглощаемую в объеме ∆V энергию фотонов ∆Е с энергетическим флюенсом ψ :

где µen (E) – линейный коэффициент поглощения энергии фотонов.

Поглощаемая энергия здесь определяется формулой (16), где роль линейных коэффициентов играют параметры aθ и bθ. Отсюда находим следующее уравнение для Rmn :

167

Для краткости дальнейшие преобразования проведем с первым слагаемым в (19). Переходя к кусочно-постоянным значениям η(r, θ, φ), Аθ и аθ внутри конусных ячеек и численно оценивая интегралы, получаем дискретную версию первого слагаемого в выражении

(19):

электронами, т.е. электронами, образующимися при первом взаимодействии фотонов.

Так как поглощенная доза определяется как поглощенная ( часто употребляется термин “переданная”) энергия на единицу массы, то первичная доза вблизи поверхности rl от волновой энергии, освобождаемой в начале координат в направлении Ωmn будет равна:

Доза, обусловленная рассеянными фотонами, рассчитывается аналогично с заменой Аm , аm на Bm, bm. Для определения полной дозы необходимо выполнить интегрирование всей энергии, освобождаемой рассеивающими вокселями.

Естественный выбор координатной системы при дозиметрическом планировании – декартовая система, т.е. все величины, являются средними в вокселях ∆х ∆y ∆z . Чтобы перевести в эту сис-

тему уравнения (20,21), применим аппроксимационный алгоритм “Разложение на конусы”.

Основное приближение этого алгоритма заключается в том, что вся энергия, освобождаемая внутри коаксиальных конусов с телесным углом Ωmn из объемных элементов, расположенных на оси,

168

прямолинейно распространяется, ослабляется и поглощается в элементах на этой же оси.

Декартовые воксели, близко расположенные к рассеивающей точке, являются более широкими, чем сферические воксели. Один декартовый воксель может здесь покрывать более одного конического сегмента (рис. 5.8). В таком случае точность не теряется по сравнению с прямолинейной аппроксимацией.

Рис. 5.8. Схема покрытия сферическим вокселем декартовых вокселей (к прямолинейной аппроксимации поглощения энергии )

Однако с увеличением расстояния один сферический воксель может покрывать уже несколько декартовых вокселей (см. рис. 5.8). Тогда при принятом приближении часть декартовых вокселей получит слишком много “впрыскиваемой ” энергии, в то время как другие не получат совсем. Однако это компенсируется покрытием этих декартовых вокселей другими (соседними) коллапсными “конусными” линиями, что позволяет сохранить в целом освобождаемую энергию.

Чтобы применить данный алгоритм к дискретной декартовой системе, расчетный объем покрывается сеткой линий, вдоль которых распространяется волновая энергия, освобождаемая первичными фотонами, падающими на облучаемый объект (рис. 5.9). Каждая линия делится на шаги ∆r, так чтобы плотность и терма могли считаться постоянными внутри каждого интервала. Чтобы избежать флуктуаций, линии должны быть определены так, чтобы воксели проходились один раз по каждому направлению θm, φm.

169