Кашурников Сверхтекучест и бозе-конденсация 2008

известным в теории солитонов, естественно предположить, что солитоны могут быть и в конденсате. Здесь целесообразно рассмотреть основы теории бозе-конденсата, помещенного в ловушку.

4.1.1. Уравнение Гросса – Питаевского

Многочастичный гамильтониан, описывающий парно взаимодействующие бозоны, находящиеся во внешнем

Приближение среднего поля (приближение БоголюбоваhX'RÆ& !) ) состоит в представлении полевого оператора , взятого в гейзенберговском представлении, как суммы оператора рождения частиц в основном состоянииhX'RÆ& !) =и1Xво'RÆ&всех!) bостальныхhX ì'RÆ& !)( состояниях: 'F(+)

Предполагая, что макроскопическое1X'RÆ&число!) частиц находится в

основном состоянии, 1оператор'RÆ& !) заменяется числовой

комплексной функциейhX'RÆ& !) :1'RÆ& !) b hX ì'RÆ& !)& 'F(*)

так что 1'RÆ& !) = •hX'RÆ& !)w. Эта функция называется волновой функцией конденсата и имеет смысл параметра порядка. Она характеризует поведение недиагональных элементов

131

Ùž“

Свойство матрицы плотности (4.4) является математическим выражением существования недиагонального дальнего порядка в

системе.

b ‘ ’RÆì hM'RÆì)¨'RÆ W RÆì)h'RÆì)h'RÆ)( 'F( )

1Если'RÆ& !теперь) = •hX'заменитьRÆ& !)w операторы h'RÆ) их средними значениями (с учетом малых флуктуаций плотности конденсата), пренебрегая всеми корреляторами, то получится

уравнение движенияŽ классического поля

k Ž! 1'RÆ) = VW + Ý b ¨œ˜®'RÆ)W1'RÆ) b

b ‘ ’RÆì 1Á'RÆì)¨'RÆ W RÆì)1'RÆì)1'RÆ)( 'F(,)

В разреженном газе холодных атомов можно ограничиться только

может быть положительным= +(,fилиcDотрицательным=.f(,,Напомним,cD что для найдено, что , для , для

= W (Ff cD

.

В таком приближении локального взаимодействия между бозонами уравнение движения для волновой функции конденсата

Это и есть уравнение Гросса – Питаевского [98, 99].

реального потенциала ловушки. Действительно, вблизи минимума потенциальной ямы ¨или'RÆ)около максимума потенциального барьера разложение œ˜® по степеням отклонения от точки экстремума во втором порядке дает параболическую зависимость

от координат. Частными случаями его являются: сферически симметричный потенциал

Непараболический удерживающий потенциал соответствует случаю, когда два облака конденсата разделены потенциальным барьером конечной высоты и слабо связаны из-за туннелирования атомов сквозь барьер. Такой потенциал можно аппроксимировать

Другой пример непараболического потенциала ловушки – потенциал оптической решетки – будет рассмотрен позже.

4.1.2.Бозе-эйнштейновская конденсация в квазиодномерной параболической ловушке. Одномерное уравнение Гросса – Питаевского

Предположим, что потенциал, удерживающий конденсат, описывается формулой (4.13). В этом случае уравнение Гросса – Питаевского записывается как

Удобно ввести нормированные переменные и переписать это уравнение в безразмерной форме. Выберем в качестве нормированных переменных\ = ðZ!A

В этих переменных уравнение Гросса – Питаевского выглядит так:

134

Если поперечный размер ловушки велик по сравнениюá ¬ с продольным и взаимодействие между атомами слабое, ) C, то структура облака конденсата в поперечном направлении

135

определяется самой ловушкой, и распределение в поперечном

Эта задача напоминает поиск поперечного распределения электромагнитного поля в волоконном световоде. Таким образом, надо найти поперечные моды (решения линейного уравнения) и разложить искомое решение уравнения Гросса – Питаевского (4.17) по этим модам, полагая, что коэффициенты разложения являются функциями времени и продольной координаты.

Простое приближение соответствует выбору основной моды, для

Функционалы действия ¤ = ‘ c' d)Ú1Ü ’RÆ’! 'F(*+)

или

¤ = ‘ c'Vd)ÚöÜ ’\’ 'F(**)

инвариантны относительно сдвигов по оси времени и умножения полей на фазовый множитель. Но функционалы действия не инвариантны по отношению к трансляции вдоль осей координат из-за потенциала ловушки.

137

4.1.3. Одномерное нелинейное уравнение Шредингера

Предельный случай сильноанизотропной длинной сигарообразной ловушки может быть описан по аналогии с электромагнитными волнами в волоконных световодах, где профиль (необязательно параболический, но обычно цилиндрически симметричный) показателя преломления волокна играет роль удерживающего потенциала, тогда как в продольном направлении потенциальные стенки разнесены на огромное расстояние, и их влиянием можно пренебречь. Конденсат, сосредоточенный внутри такой вытянутой ловушки, может быть описан одномерным уравнением Гросса – Питаевского, где

линейное по полю слагаемоеŽö Ž отöсутствует:

k Ž\ b Ž W Ugög ö = /( 'F(*F)

Это известное одномерное нелинейное уравнение Шредингера, широко используемое в теории нелинейных волн в самых разнообразных областях физики. Опираясь на эту аналогию, можно ожидать существования квазиодномерных «волн вещества» в форме ярких солитонов, подобных временным солитонам в нелинейных оптических волокнах, если

выглядят как провал в однородном фоне концентрации атомов.

Солитонные решения нелинейного уравнения Шредингера образуют множество,]& Q характеризуемое набором непрерывных параметров . Наиболее известным является фундаментальный солитон, имеющий следующий вид:

138

Это решение нелинейного уравнения Шредингера иногда называют ярким (или светлым) солитоном (рис. 4.1), подчеркивая тем \самым& ž mÀто, что он располагается на нулевом фоне, т.е. исчезает при .

Рис. 4.2. Темный солитон – решение нелинейного] = + + Qуравнения= f Шредингера (4.36) с параметрами ,

Темные солитоны, как и светлые, упруго взаимодействуют между собой и устойчивы (хотя и неасимптотически) по отношению к слабым возмущениям. Столкновение двух фундаментальных солитонов описывается двухсолитонным решением нелинейного уравнения Шредингера [103].

Следующим шагом в сторону реальной ситуации является учет удерживающего потенциала в продольном направлении. Вместо нелинейного уравнения Шредингера рассматривается одномерное уравнение Гросса – Питаевского для конденсата в параболической ловушке (4.29).

Нелинейного уравнения Шредингера недостаточно для описания неоднородных состояний бозе-эйнштейновского конденсата, где ловушка может играть важную роль, но как модель, позволяющая предсказать ожидаемые явления, данное уравнение может оказаться полезным.

140