Кашурников Сверхтекучест и бозе-конденсация 2008

При расчете необходимо также учитывать следующее: уравнение (2.16) имеет второй (нефизический) корень, лежащий в области

Приведем теперь конкретные численные результаты. Рассмотрим с помощью метода точной диагонализации несколько бозонных моделей Хаббарда (см. гамильтониан (2.1)) с запретом и без него

исследовании первого сверхтокового уровня, так как рассчитывается энергия только основного состояния. Из уравнения

единичным и нулевым импульсом соответственно.

Прежде всего, метод "ренорм-группа + точная диагонализация" был оттестирован на точно решаемой модели hard-core-бозонов с

погрешности является оценкой сверху.

102

Рис. 2.10. Верхняя и нижняя границы для 'Q !)C

В результате'Q имеем:!)C = (OO m /(/f 'ü 6@ W æÕ6 W AcB)( '+( O)

Таким образом, точный+(fрезультат воспроизведен с относительной погрешностью около .

Рассмотрим теперь полную бозонную модель, описываемую гамильтонианом (2.17) без ограничений на числа заполнения. Данный метод позволяет ¨исследовать модель не только с учетом узельного отталкиванияQ , но также с учетом межчастичного взаимодействия , однако это не приводит к качественным изменениям в фазовой диаграмме. Для сравнения результатов¨ с другими известными данными оставим только параметр во взаимодействии. Из представленных в табл. 2.2 данных

аналогично предыдущему= случаю можно получить, что при факторе'! ¨заполнения)C = /(*/F m /(//+фазовый' CcDпереходAccимеетD DE CFместо)(при'+(+/)

Исследуем теперь подобным образом редуцированную модель (2.17), в которой запрещено заполнение узлов, большее 2.

è

104

•Заметим,= что величина! ¨ " /( * становится больше /(f для системы с è при . Можно полагать это значение нижней границей точки перехода, так как более точная процедура экстраполяции (2.16) для редуцированной модели не работает. Физически такое поведение в случае редуцированной модели можно объяснить существенной ролью запрета на числа заполнения, приводящего в итоге к эффективному добавочному

узельному отталкиванию.

Для выяснения роли запрета на числа заполнения была исследована также модель с ограничением на число бозонов

вдали от моттовской фазы. Таким образом, наличие троекратно заполненных узлов является уже достаточно хорошим приближением для описания полной бозонной модели Хаббарда.

Для макроскопической системы анализ критических точек возможен только с помощью квантовых алгоритмов Монте-Карло. На рис. 2.11 показана фазовая диаграмма для полной бозонной модели с числом узлов 16 и 50, полученная при помощи дискретного квантового алгоритма Монте-Карло. Как показывает анализ [68], система с числом узлов 30-40 в данной ситуации уже является макроскопически'! ¨) большой для расчета критического значения C фазового перехода в термодинамическом пределе. Из рис. 2.®11 следует, что точка перехода локализована в диапазоне /(+O : ( : /(*+. Для уточнения критического значения можно использовать известную в одномерной ситуации зависимость диэлектрической щели (2.13), что дает

105

'! ¨)C = /(*// m /(//f. Это значение согласуется с результатом, полученным методом экстраполяции данных точной дмагонализации.

Рис. 2.11. Фазовая диаграмма для бозонной цепочки с числом9 = /(/узлов+f!16 (открытые круги) и 50 (сплошные круги). Температура . MI – фаза моттовского изолятора, SF – фаза сверхтекучей жидкости

106

3. Бозе-конденсация в газовой фазе

Когда говорят о бозе-конденсации в реальных физических

слабонеидеального бозе-газа бозе-конденсация понимается как конденсация бозе-частиц в основное состояние из разреженной

разреженного газа

3.1.Спин-поляризованный водород. Осаждение над гелиевой поверхностью. Уровни энергии водородоподобных атомов и расщепление в магнитном поле

Проблема экспериментального наблюдения истинной бозеконденсации наталкивалась на значительные экспериментальные трудности. Единственным известным бозе-газом до недавнего времени являлся спин-поляризованный водород [69], который остается газом вплоть до температуры абсолютного нуля, однако для его получения необходимы специальные магнитные ловушки и сверхнизкие температуры.

Первые попытки достичь области бозе-конденсации можно датировать 1983 г. [70]. Необходимо было довести спин-

Отметим, что уже после наблюдения бозе-эйнштейновской конденсации в 1995 г. в атомарных газах щелочных элементов в 1998 г. группе из Курчатовского института [71] удалось представить данные по трехчастичной рекомбинации, свидетельствующие о бозе-конденсации атомарного спин-поляризованного водорода над поверхностью сверхтекучего гелия.

108

3.2.Магнитооптические ловушки. Эксперименты в щелочных металлах. Сверхнизкое охлаждение. Лазерное испарение. Наблюдение бозеконденсата

Прорыв в экспериментальной ситуации произошел в 1995 г. Сразу для трех изотопов щелочных металлов: , и наблюдали переход в конденсированное состояние [72 – 74]. При этом использовали магнитооптическую ловушку и лазерное охлаждение.

Выбор щелочных металлов диктовался структурой ихø верхних оболочек, идентичных атому водорода. Единственный -электрон ведет себя по отношению к ионному остову так же, как и в атоме водорода, и таким же образом энергетические уровни расщепляются в магнитном поле. В итоге возникает уникальная возможность создать атом в чистом спиновом состоянии с противоположно направленными ядерным и электронным спином, т.е. сконструировать бозон с нулевым спином, с ненулевым магнитным моментом и с достаточно большой по сравнению с водородом массой. Это, во-первых, приводит к возможности создавать потенциальный рельеф для таких атомов с

целочисленные спины (сумма ядерного и электронного), поэтому их квантовые магнитные моменты могут быть либо направлены по полю, либо против поля, либо иметь нулевую проекцию на направление поля. Для заполнения ловушки пригодны лишь те атомы, магнитныеWŠý моменты которых направлены против поля. Энергия таких атомов имеет минимум в центре магнитной ловушки. О тонкой и сверхтонкой структуре атомов в магнитной ловушке см. прил. 2.

109

Нейтральные атомы щелочных металлов, находясь в разреженном атомарном «облаке», взаимодействуют между собой ван-дер-

хорошо описывается, например, потенциалом Леннарда – Джонса

s ¬

рассеяния (или длин рассеяния ), т.е. использовать приближение

стремится коллапсировать. В магнитной ловушке взаимодействие уравновешивается кинетической энергией из-за давления газа, собранного в ограниченном объеме, и возможно сформировать метастабильный конденсат даже для атомов лития.

Принцип лазерного охлаждения можно кратко описать следующим образом. Предварительно охлажденное облако атомарного газа щелочного металла в диамагнитном состоянии

навстречу лазерному пучку, благодаря эффекту Доплера может поглотить фотон. При этом атом получает импульс от фотона в сторону, противоположную направлению движения атома. Через некоторое время возбужденный атом излучит квант света, в среднем изотропно по всем направлениям. Таким образом, если облучать атомы со всех сторон одновременно, можно за несколько циклов облучения понизить их кинетическую энергию в

110