Кашурников Сверхтекучест и бозе-конденсация 2008

сечение рассеяния. Это уравнение описывает как нормальную, надконденсатную часть, ее разлет из ловушки и пространственную эволюцию после выключения магнитного поля, так и конденсат, его коллективные свойства. Из этого уравнения можно вывести коллективные возбуждения в системе. Фононы, в частности,

имеют скорость звука, равную

£^ = ¾*> s "+ å /

Динамические решения уравнения Гросса – Питаевского рассматриваются в гл. 4.

3.4.Бозонные оптические решетки. Фазовые переходы «сверхтекучесть – моттовский изолятор». Оболочечная структура

В последнее время в связи с развитием экспериментальной технологии построения бозонных оптических решеток [90], о которых упоминалось в разделе 3.2, появилась уникальная возможность для экспериментаторов напрямую сконструировать систему, описываемую именно бозонной моделью Хаббарда.

Возможность управления параметрами таких искусственных «кристаллов», а именно реализации 1-, 2- и 3-мерных структур с контролируемой глубиной потенциала, периодом решетки и межчастичным взаимодействием, позволяет наблюдать богатую фазовую диаграмму получившейся системы решеточных бозонов. В частности, наблюдаются фазовые переходы «сверхтекучесть –

121

моттовский изолятор», тестируемые по распределению поглощения атомного облака, измеряемого после выключения оптического и магнитного потенциалов. На рис. 3.8 показано появление интерференционных пиков в зависимости от величины оптического потенциала, демонстрирующих переход от фазы моттовского изолятора к фазе сверхтекучей бозонной жидкости [91, 92].

Наиболее адекватной моделью, описывающей реализующуюся на эксперименте систему решеточных бозонов, является модель Бозе – Хаббарда:

рассмотрено в гл. 4.

122

система действительно переходит из сверхтекучего состояние в моттовский изолятор, что видно из распределения плотности (рис. 3.9). Более того, наличие неоднородного параболического

соответственно, две сверхтекучие оболочки, одна разделяет моттовские области, а другая реализуется на периферии ловушки.

Рис. 3.10. Матрица плотности в импульсном представлении для системы, показанной на рис. 3.9

Распределение поглощения, наблюдаемое на эксперименте, можно связать с фурье-образом недиагональной матрицы

чередующихся областей моттовского изолятора и сверхтекучих

Объяснение оболочечной структуры легко понять из следующих иллюстраций (рис. 3.11).

124

Рис. 3.11. Формирование оболочечной структуры

Неоднородный параболический потенциал приводит к неоднородной по радиусу плотности частиц и чередующейся картине моттовских и сверхтекучих областей в ловушке, согласно фазовой диаграмме.

125

Эту оболочечную структуру удалось наблюдать экспериментально [94, 95].

Рис. 3.12. Экспериментальное наблюдение оболочечной структуры [95]. Распределение плотности в магнитооптической ловушке в сверхтекучей фазе (a) и в фазе моттовского изолятора (б). Средняя и нижняя линии обозначают, соответственно, однократно и двукратно заполненные узлы, верхняя линия обозначает полную плотность

С помощью специального микроволнового излучения, сканирующего магнитную ловушку с высоким пространственным разрешением, удается рассчитать число занятых однократно, двукратно и незанятых мест в оптической решетке. Результаты находятся в хорошем соответствии с теоретическими расчетами.

126

Приложение 2. Расщепление спектров атомов в магнитном поле

Взаимодействие электронов атома со спином ядра приводит к расщеплению атомных уровней энергии, называемому сверхтонким. Результирующая сверхтонкая структура энергетических уровней, или зеемановские сверхтонкие подуровни, может быть характеризована следующим образом.

Рис. П2.1. Тонкая и сверхтонкаяÑ структура спектра атома для . Состояние четырехкратно вырождено

Если выделенного направления в системе нет, то модуль вектора

Приложение 3. Принципы лазерного охлаждения

Рассмотрим газ из произвольных нейтральных атомов с основным

) и, следовательно, будут чувствовать в среднем по времени силу, направленную к центру ловушки.

В свою очередь, для атомов, находящихся при ” : /, зеемановское расщепление перевернуто по энергетическим уровням,” и=снова/ эффективная сила действует на них в сторону области . Таким образом, эффективные силы, генерируемые лазерными лучами, действуют против движения атомов, и тормозят их, концентрируя в центре ловушки.

Эта схема может быть обобщена и на трехмерный случай (рис. П3.1).

128

129

4. Солитоны в бозе-конденсатах

Когда слово «солитон» стали использовать в математике, под этим термином понималось решение в форме уединенной волны

нелинейного вполне интегрируемого1 уравнения (или системы уравнений). В физике очень мало моделей основано на вполне интегрируемых системах, потому понятие солитон в узком, строгом смысле, стало использоваться очень часто как синоним самого термина «уединенная волна». Солитоны в строгом смысле устойчивы по отношению к взаимным столкновениям и устойчивы относительно малых возмущений. Надо заметить, что устойчивость этих солитонов неасимптотическая, т.е. малые возмущения остаются малыми, а сам солитон, изменив свои параметры, отделяется в пространстве и времени от возмущения. Солитоны в широком смысле требуют исследования их устойчивости. Они могут быть просто долгоживущими объектами или могут быть устойчивыми только при определенных своих параметрах. Когда говорят о солитонах в бозе-эйнштейновских конденсатах, в действительности имеют в виду именно такие солитоны.

4.1. Облако бозе-конденсата в ловушке

Поскольку эволюция макроскопической волновой функции бозеэйнштейновского конденсата описывается уравнением, очень похожим на нелинейное уравнение Шредингера, хорошо

1 Если существует отображение нелинейного уравнения в частных производных или системы таких уравнений на бесконечномерную систему линейных уравнений типа угол-действие, то такое уравнение

130