Загребаев Методы матпрограммирования 2007

из точки ( X 1 ,Y 1 ) продолжаем движение вдоль ребра ( X 1 ,Y ) , то есть по прямой 1 в множестве Υ , попадаем в крайнюю точку

( X 1 ,Y 0 ) ;

( X 1 ,Y ) является концом ребра ( X ,Y 0 ) , где точки X Χ при-

надлежат прямой 4, по этому ребру можно попасть в ( X 0 ,Y 0 ) – конечную точку рассматриваемого s -пути.

Теорема 4.7. Пусть Z – крайняя точка Ζ и Z H s . Найдутся или одно, или два открытых ребра, лежащих в H s и имеющих Z

своей крайней точкой; Z является ситуацией равновесия в том и только в том случае, когда такое ребро единственное.

Доказательство. Положим, что Z – крайняя точка Ζ и Z H s .

точка Z = ( X , Y ) – ситуация равновесия. Как было показано, при этом или (es ,Y ) = 0 , или (bs , X ) −1 = 0 , но не оба сомножителя равны нулю сразу.

Допустим, что (bs , X ) −1 = 0 ( (es ,Y ) = 0 рассматривается аналогично). Так как Z = ( X ,Y ) – крайняя точка Ζ , выполнено m из

271

концом в Z2 , лежащее в H s , по которому можно продолжать дви-

гаться. Процесс прекращается в следующих случаях, когда: попадаем на неограниченное ребро;

достигаем ситуации равновесия, отличной от точки Z1 ;

приходим в точку, в которой уже были.

Вернуться можно только в начальную точку пути, так как в противном случае имелась бы точка, к которой примыкают три ребра. Таким образом, начав с Z1 , возвращаемся в Z1 , или нет. В первом

случае путь называется замкнутым (рис. 4.6, а). Если путь не замкнут, то он заканчивается либо в ситуации равновесия (рис. 4.6, б), либо на неограниченном ребре (рис. 4.6, в).

Z1

P

в)

Рис. 4.6. Возможные s-пути

Теорема 4.8. Пусть P – s -путь, содержащий неограниченное ребро F . Тогда на P лежит в точности одна ситуация равновесия. Ее можно вычислить, последовательно проходя путь P , начиная с ребра F . Общее число ситуаций равновесия конечно и нечетно.

Доказательство. Единственный s -путь P , начинающийся с F , должен закончиться в некоторой крайней точке, являющейся ситуацией равновесия (см. рис. 4.6, в). Отличный от P незамкнутый путь должен иметь две конечные точки (см. рис. 4.6, б), каждая из которых является ситуацией равновесия. Отсюда следует утверждение теоремы.

273

4.1.4.4. Алгоритм Лемке – Хоусона решения биматричных игр

3. Выбираем множество H s , в котором будет производиться поиск ситуации равновесия. Определяем исходную точку

(X 0 ,Y 0 ) :

где l = ai*s = mini (a1s ,a2s ,...,ams ) , т.е. минимум в s -й строке таблицы A;

274

где k = bi* j* = minj (bi*1,bi* 2 ,...,bi*n ), т.е. минимум в строке с номе-

ром i* таблицы B.

Таким образом, (X 0 ,Y 0 ) выбрана так, чтобы она была крайней

точкой множества Ζ . Согласно теореме 4.6, (X 0 ,Y 0 ) H s , где H s состоит из точек множества Χ ×Υ , удовлетворяющих уравнениям

( fi , X )((ai ,Y ) −1) = 0 , i =1,..., m ,

(e j ,Y )((b j , X ) −1) = 0 , j =1,..., n , j ≠ s ,

и, возможно, уравнению (es ,Y * )((bs , X * ) −1) = 0 .

4. Если последнее уравнение выполнено для точки (X 0 ,Y 0 ) , то

это ситуация равновесия. Переходим к шагу 13. В противном случае переходим к следующему шагу.

5.Изменяем базисы p0 и q0 , для этого найдем множества p(X 0 ) ={ fi , b j | ( fi , X 0 ) = 0, (b j , X 0 ) =1} ,

q(Y 0 ) ={e j , ai | (e j ,Y 0 ) = 0, (ai ,Y 0 ) =1}.

6.Выписываем таблицы AN и B N ( N – номер итерации) для новых базисов так же, как в симплекс-методе (разд. 1). Чтобы по-

лучить таблицу AN , надо исключить из базиса вектор es и ввести вектор ai* . Для этого вычтем из всех строк таблицы необходимо вычесть s -ю строку, умноженную на множители, подобранные

таким образом, чтобы во всех строках, кроме s -й, i* -й элемент обратился в нуль. Затем разделить s -ю строку на ai*s .

275

fi* и на его место вводится b j* . В нижней строке таблицы поме-

щаются числа η j = (b j , X N ) без единицы и компоненты xiN . Числа µi рассчитываются аналогично λ j .

276

Таким образом,

(ak ,Y 0 ) + λk (ak , q j ) = ξk + λ j αkj ,

причем правую часть равенства преобразуем следующим образом:

277

т.е.

(ak ,Y 0 ) + λk (ak , q j ) ≥1.

Если же λ j > 0 и αkj > 0 , то λ j αkj > 0 , поэтому вновь

(ak ,Y 0 ) + λk (ak , q j ) ≥1,

т.е. доказали, что Y Υ .

При λ j < 0 – аргументация аналогична. Таким образом, Y Υ .

Точка Y определена так, что она является крайней точкой множества Υ . Ввиду того, что Y – конец ребра, другим концом которого

Таким образом, на данном шаге алгоритма рассчитываем край-

Точки (X 0 ,Y j ) и (X i ,Y 0 ) являются смежными с точкой

(X 0 ,Y 0 ) .

8.Находим q(Y j ) и p(X i ) в соответствии с определением базиса (п. 5 настоящего алгоритма).

9.Для каждой пары (X 0 ,Y j ) и (X i ,Y 0 ) формируем множество

M :

278

то процесс вычислений заканчивается. В этом случае (X i ,Y j ) – ситуация равновесия, т.е.

(X * ,Y * ) = (X i ,Y j ) .

Переходим к шагу 13.

Если такой пары не найдется, то переходим к следующему шагу. 11. Выбираем точку Z = (X ,Y ) , для которой в M ( X ,Y ) недос-

тает вектора es . Тогда (X ,Y ) H s . По теореме 4.7 найдется пара таких точек Z1, Z2 , являющихся концами ребер, которые пересе-

каются в (X 0 ,Y 0 ) . Если к точке (X 0 ,Y 0 ) примыкает неограниченное ребро, такая точка будет одна.

12. Выбираем ту из найденных точек Z1 , Z2 , которая не была

включена в s -путь на предыдущих итерациях, изменяем базис p(X ) или q(Y ) и возвращаемся на шаг 6. (При этом на шаге 6

меняется лишь одна из таблиц A или B .)

Согласно теореме 4.8, через конечное число шагов процесс закончится или в ситуации равновесия, или в исходной точке

(X 0 ,Y 0 ) , если произойдет зацикливание. В последнем случае выбираем новое s и начинаем поиск сначала.

(Последние соотношения выводятся при доказательстве теоре-

мы 4.2.)

279

4.2.Оптимальное распределение нагрузки

всистеме ядерных реакторов

4.2.1.Оптимальное распределение запасов реактивности в системе двух реакторов с линейной зависимостью

возможной степени снижения мощности от запаса реактивности

Вразд. 2.3 рассмотрена оптимизационная задача с линейной зависимостью запаса реактивности от степени снижения мощности. Эта ситуация характерна для низкопоточных реакторов. Однако, в большинстве энергетических реакторов уровень плотности потоков

нейтронов больше, чем 1 1013 нейтр. при этом зависимость ε(∆ρ) , см2 с

как видно из рис. 2.2, носит нелинейный характер. Для получения качественных результатов рассмотрим систему из двух реакторов. Зависимость ε(∆ρ) будем аппроксимировать полиномом второй

степени.

Математически задача в этом случае формулируется следующим образом:

найти

280