Загребаев Методы матпрограммирования 2007

портфель, где весами служат доли инвестиций в каждый из активов от всей суммы, вложенной в портфель:

i=1

где RpT – доходность всего инвестиционного портфеля за период времени T; RiT – доходность единицы i-го актива; Wi – доля инвестиций в i-й актив, от общей суммы инвестирования в портфель,

n

причем ∑Wi =1 , xi – количество единиц i-й ценной бумаги.

i=1

Доходность единицы i-го актива за временной промежуток T определяется следующим образом:

Как следует из формулы (4.96), доходность инвестиционного портфеля будет зависеть от двух параметров: доходности отдельного актива, входящего в портфель и доли инвестиции в каждый актив.

Объем инвестиций, вложенных в портфель, будет равен сумме произведений стоимости единицы актива на его количество в портфеле:

n

V = ∑Vi xi .

i=1

Объем инвестиций, вложенных в отдельный актив портфеля, будет равен произведению стоимости единицы актива на количество единиц актива в портфеле:

где V(xi) – объем инвестиций, вложенных в i-ю ценную бумагу; Vi – цена единицы i-й ценной бумаги.

Долю инвестиций в каждый актив можно выразить следующим образом:

291

Теперь формулу доходности портфеля (4.96) можно переписать в следующем виде:

Как уже отмечалось выше, важной характеристикой банковского портфеля является величина риска. Риск потери капитала, в связи с неблагоприятной ситуацией, складывающейся на рынке – один из наиболее актуальных, в настоящее время, параметров, характеризующих финансовый инструмент.

Одним из важнейших видов рисков, является рыночный риск. Рыночный риск представляет собой возможность отрицательного изменения стоимости активов в результате колебания процентных ставок, курсов валют, цен акций, облигаций и товарных контрактов.

В современной теории риск-менеджмента наиболее распространена модель риска под названием value at risk или рисковая стои-

мость – VaR.

Концепция value at risk (VaR) призвана дать четкий и однозначный ответ на вопрос, возникающий при проведении операций на финансовых рынках: какой максимальный убыток мы рискуем понести за определенный период времени с заданной вероятностью для данного портфеля?

Из этого следует, что величина VaR для портфеля заданной структуры определяется как наибольший ожидаемый убыток и рассчитывается на определенный период времени в будущем (временной горизонт) с заданной вероятностью непревышения некоторого значения VaR (доверительный интервал) при данном предположении о характере поведения рынка (метод расчета).

Доверительный интервал и временной горизонт являются ключевыми параметрами при расчете величины VaR.

Так, например, значение рисковой стоимости (VaR) в 10 млн дол. для временного горизонта в один день и доверительного интервала в 99 % будет означать следующее:

вероятность того, что в течение следующих 24 ч мы потеряем меньше 10 млн дол., составляет 99 %;

вероятность того, что наши убытки превысят 10 млн дол. в течение ближайших суток, равна 1 %;

292

убытки, превышающие 10 млн дол., ожидаются в среднем один раз в 100 дней торгов.

Таким образом, рисковая стоимость является денежным показателем, отражающим ожидаемые потери с заданной степенью достоверности. Очевидно, рисковая стоимость для i -го актива является разностью между текущим значением цены актива Vi (t) и её

В настоящее время наибольшее распространение получил ковариационный метод (variance-covariance) расчета величины VaR . В его основе лежит допущение о нормальном законе распределения изменений цен активов, входящих в портфель.

При нормально распределенной случайной величине, доверительный интервал (1 – α) всегда характеризуется квантилью (k1−α ) ,

которая показывает положение искомого значения случайной величины относительно среднего, выраженного в количестве среднеквадратичных отклонений этой случайной величины σi от средне-

го значения.

Для наиболее часто используемых значений доверительного интервала в 95 и 99 % соответствующие квантили будут равны 1,65 и 2,33 стандартных отклонений.

В случае принятия гипотезы о нормальном законе распределения стоимости i -го актива прогнозируемое значение цены для однодневного временного среза (τ =1) и доверительной вероятности

(1−α) определяется по формуле:

Последняя формула записана в предположении, что математическое ожидание однодневных доходностей равно нулю.

Стандартное отклонение σi (t) может быть оценено по ограни-

ченной выборке цен (историческому периоду наблюдений) i -го актива.

293

Интересующая нас величина VaRi для временного среза в один день и доверительной вероятности (1−α) может быть определена

Эта линейная аппроксимация для малых значений σi(t) основана на разложении исходной функции в ряд Тейлора. Весьма часто знак «–» опускают и оперируют абсолютным значением величины VaR.

В результате для i -го актива, состоящего из нескольких инструментов, величина рисковой стоимости с временным горизонтом в один день и доверительным интервалом (1 – α) может быть рассчитана по следующей формуле:

VaRi = VaRi,1−α (t +1) = Vi (t)k1−ασi (t) ,

где Vi (t) – текущая стоимость позиции i -го актива (произведение

текущей цены на количество единиц актива).

Для рисковой стоимости с временным горизонтом Т дней и доверительным интервалом (1 – α) последняя формула принимает вид

Соответствующая формула для расчета VaR всего банковского портфеля имеет следующий вид:

где IVaR – вектор столбец индивидуальных рисков позиций; Ω – корреляционная матрица доходностей факторов риска. В развернутом виде формула (4.105) принимает вид

294

где VaRi – рассчитывается по формуле (4.104), а ρij – коэффици-

енты корреляции доходности финансового инструмента, которые рассчитываются следующим образом:

В последней формуле Rik , R jl – реализовавшиеся доходности i- ого и j-го финансовых инструментов в моменты наблюдения k и l,

N– число наблюдений.

4.3.2.Постановка задачи формирования портфеля максимальной доходности при фиксированной величине риска

Один из методов управления рисками – это наложение ограничений (лимитов) на величину риска VaR. При этом участники фондового рынка задаются определенной величиной VaR и стараются так сформировать свой портфель, чтобы его доходность была максимальной.

Учитывая формулу расчета доходности (4.100), запишем критерий, который необходимо максимизировать:

Инвестор, обладая ограниченными средствами, в состоянии инвестировать в рынок, объем денежных средств не превышающий V port . В результате получаем ограничение:

i=1

295

Второе ограничение появляется, из лимита на величину риска, при превышении которой, позиция принудительно закрывается:

Подставив в (4.111) соотношения (4.106), (4.104), (4.98), полу-

чим рисковую стоимость для временного горизонта T:

Количество отдельных видов каждого актива, не может быть отрицательным и является всегда целым, поэтому верно следующее неравенство:

xi ≥ 0 , xi Z; i =1, n .

Таким образом, задача формирования инвестиционного портфеля максимальной доходности, с заданными объемом инвестиций и значением риска выглядит следующим образом.

Найти

296

С учетом введенных обозначений, данную задачу можно записать в виде

найти

4.3.3.Решение задачи формирования оптимального портфеля

сиспользованием множителей Лагранжа

Задача формирования банковского портфеля максимальной доходности с заданной величиной риска VaR, является задачей с линейным критерием и смешанными ограничениями, среди которых присутствуют как линейные, так и нелинейное ограничение. Так как максимизируемый критерий (4.114) и ограничения (4.115) (если пренебречь условием целочисленности аргументов оптимизации

xi , i =1, n ) являются выпуклыми дифференцируемыми функциями,

то поставленная задача может быть решена с помощью функций Лагранжа [22]. Учитывая, что данный метод предполагает минимизацию функции, запишем критерий задачи формирования инвестиционного портфеля в виде

i=1

при этом ограничения примут следующий вид:

297

Поскольку метод множителей Лагранжа не был рассмотрен в гл. 3, остановимся на этом методе более подробно.

Обозначим левые части неравенств (4.117) через g j (x), j =1, m ,

Введем дополнительные переменные z j , j =1, m , и перейдем от ограничений неравенств (4.119) к ограничениям равенствам:

298

Условия (4.122) – (4.124) являются необходимыми условиями минимума задачи (4.118), (4.119). Очевидно, равенства с величина-

ми z 2 j ≥ 0 эквивалентны неравенствам (4.119).

Исключим из этой системы вспомогательные переменные zj. Умножив каждое равенство из (4.123) на zi/2, получим: λ j z 2 j = 0 или, как нетрудно убедиться из соотношения (4.124),

С учетом последних соотношений, необходимые условия минимума для задачи (4.118) – (4.119) принимают вид

Существует следующая теорема.

Теорема. Пусть x* , λ* – решение системы (4.126) – (4.128). То-

гда, если точка x* является решением задачи (4.126) – (4.128), то λ*i ≥ 0 для всех i = 1, …, n.

С учетом вышеприведенной теоремы и выражений (4.126) – (4.128) можно сформулировать следующее необходимые условия минимума в задаче (4.118) – (4.119) с допустимым множеством,

299

которые называются условиями Куна – Такера [1].

Эти условия являются также и достаточными условиями мини-

мума в задаче (4.118) – (4.119).

Запишем функцию Лагранжа непосредственно для нашей задачи:

300