Емелянов Фундаменталные симметрии 2008

ние – взаимодействия, осуществляющие нарушение барионного числа. Для них значения M ~ 1016 ГэВ находится на пределе современных экспериментальных возможностей.

Хорошо «работающая» теория гравитации – общая теория относительности. При обсуждении лагранжианов (12.1) уже отмечалось, что можно связать метрику ОТО с полями материи при помощи процедуры «минимальной» связи, широко используемой при описании калибровочных полей. Эта процедура учитывает взаимодействие с наименьшей размерностью масс. Однако лагранжиан Эйнштейна-Гильберта,

описывающий распространение гравитона (G – ньютоновская константа, R – риччи-кривизна) отличается от обычного кинетического слагаемого. Только, если разложить gαβ вблизи плоской метрики

можно получить обычным образом нормированное бозонное поле hαβ с размерностью массы, равной 1, для которого величина G со-

кращается. Таким образом, только для выбора (12.13) получаются пропагаторы обычного вида. Эта «перенормировка» поля h означа-

ет, что его связи с материей содержат фактор G . Следуя обычному анализу размерных единиц, получаем массовую размерность

G, равную (–2). Её величина определяется массой Планка: M Pl−2 , M Pl ≈ 1019 ГэВ – фундаментальная константа. Заметим, что масса

Планка не слишком отличается от той массы, которая вводилась при обсуждении масс нейтрино. Итак, связь гравитонов с полями материи содержит отрицательную размерность массы, т.е. эти взаимодействия неперенормируемые. Следовательно, они содержат в высшей степени нелинейные самовзаимодействия полей h. Можно ожидать наличия расходимостей в теории возмущений, и они действительно существуют. Тем не менее, если работать в низшем порядке теории возмущений, не включая гравитационные петли, можно получить замечательную теорию гравитации. Это именно та теория, которую используют физики и астрофизики в повседневной

521

жизни. Это классическая ньютоновская и эйнштейновская гравитация. Она согласуется с квантовой кинематикой в том смысле, что удовлетворяется принцип неопределенности, а гравитоны являются квантами гравитационного поля. Однако петли расходятся, поэтому эту теорию нельзя использовать для вычисления радиационных поправок. Точно так же, как нельзя использовать для этих целей теорию Ферми слабых взаимодействий. Гравитационные радиационные поправки, как ожидается, должны быть подавлены положи-

энергии-импульса в рассматриваемом процессе. Эти ожидания согласуются со всеми имеющимися наблюдательными данными.

Конечно, хотелось бы иметь полную согласованную теорию квантовой гравитации, которая бы «работала» при сколь угодно больших значениях энергии-импульса. Такая теория предсказывала бы новые явления, а также необычные связи между известными явлениями, аналогично тому, как переход от теории Ферми к теории электрослабых взаимодействий предсказал существование нейтральных токов. Полная теория могла бы описывать явления с большей кривизной (при больших Р), которые происходят в окрестности черных дыр.

Наконец, простейшее из всех взаимодействий, совместимое со всеми принципами стандартной модели

Этот член в лагранжиане приводит к эйнштейновскому космологическому члену, о котором сейчас говорят как о «темной» энергии. В космологических уравнениях он (при Λ > 0) является источником положительной плотности pλ и отрицательного давления

p = −pλ . Наблюдения указывают, что ~ 70 % массы Вселенной

приходится на темную энергию. Темная энергия вызывает ускоренное расширение Вселенной.

Величина Λ имеет размерность массы (+ 4), т.е. взаимодействие в высшей степени неперенормируемое. Астрономические наблюдения соответствуют значениям Λ ≈ (10–3 эВ)4. Эта величина созда-

522

ет серьезные проблемы: с одной стороны, она очень мала, с другой – слишком велика!

Как мы знаем из стандартной модели, наше «пустое» пространство, на самом деле, – довольно богато структурированная среда. «Пустое» пространство содержит конденсаты, нарушающие симметрию, а также виртуальные частицы. Поскольку гравитоны чувствительны ко всем формам энергии, они реагируют на любые вакуумные процессы. Простые оценки показывают, что «пустое» пространство должно «весить» на много-много порядков больше. Оно «должно» быть гораздо более плотным, чем, например, нейтронные звезды.

12.2. Замкнутые системы единиц

Попытаемся связать обсуждаемые единицы измерения и фундаментальные константы с другими системами единиц. Как говорилось выше, весьма естественно выбрать стандартную модель как базис для определения единиц измерения и фундаментальных констант. В свою очередь, в стандартной модели естественно рассматривать с и = в качестве единиц скорости и действия. Действительно, все фундаментальные константы могут быть выражены в единицах массы (энергии, импульса или обратной длины). Чтобы сделать полной систему единиц, следует добавить еще одну размерную величину. В стандартной модели – это параметр хиггсовского потенциала μ. С другой стороны, мы не узнаем величину μ до тех пор, пока не будет открыт хиггсовский бозон.

Имея это в виду, упомянем альтернативные системы единиц. 1. М. Планк предположил, что достаточно ввести три единицы

измерения. Это механические единицы [M], [L], [T], и их можно построить из универсальных параметров =, c, G:

Эти единицы измерения называются планковскими. В общей теории относительности, как мы знаем, энергия-импульс связаны с пространственно-временной кривизной. Но эти величины измеряются в разных единицах, поэтому нужен связующий фактор. G как

523

раз и есть этот связующий фактор. Можно предположить, что G является «первичным ингредиентом» при построении единой физической теории. Причем в такой теории все фундаментальные величины, выраженные в планковских единицах, должны быть порядка единицы. Эта программа действий не столь проста, поскольку массы элементарных частиц чрезвычайно малы по сравнению с планковскими единицами. На «малости» массы протона,

mp ~ 10–18 [M]Планк мы остановимся ниже. Что касается малости хиггсовского массового параметра μ ~ 10–16 [M]Планк, то это обстоятельство известно как проблема иерархий.

2. Еще до Планка, Stoney ввел систему единиц, основанную на e, c, G. Алгебраически эта система не слишком отличается от планковской. В самом деле, поскольку постоянная тонкой структуры

ким образом, чтобы построить фундаментальную теорию в терминах чисел и e, c, G, необходимо было бы постулировать существование квантовой механики.

3. Атомные единицы, основанные на e, =, me ( me – масса элек-

трона). В этом случае нерелятивистское уравнение Шрёдингера, в котором ядро рассматривается как точечный заряд бесконечной массы, становится безразмерным. Таким образом, в этом приближении размеры и формы молекулы описываются численными значениями.

4. «Сильная» система единиц, основанная на =, c, mp . Эти единицы удобны для КХД и ядерной физики. Однако mp нельзя рас-

сматривать как фундаментальную константу, поскольку протон состоит из кварков и глюонов. Более близок к фундаментальным параметр ΛКХД, который параметризует поведение зависящей от энергии константы сильного взаимодействия. К сожалению, величину ΛКХД довольно трудно определить в теории и измерить.

«Философская» значимость полного набора единиц заключается в том, что позволяет выразить любую фундаментальную константу просто как число.

524

12.3. Четыре типа фундаментальных констант

Замечательно, что любое из известных нам нелинейных взаимодействий включает участие в нем оного из трех типов частиц: гравитонов, векторных калибровочных частиц и хиггсовских бозонов. Дадим геометрическую интерпретацию калибровочным и гравитационным связям и отметим в этом отношении исключительность хиггсовского сектора.

Внутренняя кривизна.

Чтобы обнаружить геометрическую природу калибровочных связей, удобно переопределить поля, включив в них калибровочные константы

где f abc – структурные константы группы. При таком определе-

нии полей константы связи не входят в ковариантные производные. Они входят только как коэффициенты в калибровочных кинетических членах типа

Нормировка кинетических членов является канонической для полей A, то есть она становится нестандартной для полей A . В терминах фейнмановских диаграмм, пропагаторы для A будут содержать факторы g2 , но вершины окажутся свободными от кон-

стант связи. Таким образом, будет проявляться универсальность связей. Тем самым мы приходим к ситуации с гравитацией: естественная формулировка общей теории относительности основана на универсальности, но содержит неканонический кинетический член.

Напряженность калибровочного поля определяется некоммутативностью калибровочных ковариантных производных

525

где φ – поле в представлении, задаваемом матрицей τ. Напряженность калибровочного поля оказывается аналогичной римановой кривизне пространства-времени:

для векторного поля V. Напряженность калибровочного поля является мерой кривизны внутреннего пространства, одной и той же для каждой пространственно – временной точки, в которой «заря-

женное» поле ϕj распространяется, вращая его индексы. Такие

«внутренние» пространства возникают, например, в теориях типа Калуцы-Клейна при компактификации дополнительных измерений.

В этой интерпретации кинетический член ~ F 2 оказывается

своего рода «сопротивлением» искривлению. Когда константа связи мала, калибровочное поле становится «жестким», и не распространяется от своих нулевых значений (или калибровочно – эквивалентных). При больших константах связи калибровочные поля свободно флуктуируют.

12.4.Пространственно-временная кривизна и пространственно-временной объем

Лагранжиан Эйнштейна–Гильберта характеризует «жесткость» пространства-времени, его «сопротивляемость» искривлению. В отличие от ситуации с калибровочной кривизной, не все формы пространственно-временной кривизны имеют одинаковую значимость в действии. Действительно, отсутствие положительно опре-

может обращаться в ноль без обращения в ноль величины Rabgd .

526

Неположительность действия Эйнштейна-Гильберта вносит серьезные проблемы при построении квантовой теории, основанной на общей теории относительности. В частности, проблематично введение интеграла по путям.

Космологический член Lскрытой массы = −Λ∫d 4 x g пропорцио-

нален пространственно-временному объему. Для Λ > 0 это означает приписывание малого действия большим пространственновременным объемам.

До сих пор обсуждалось 5 фундаментальных констант: три ассоциированные с кривизной калибровочного поля, одна – с про- странственно-временной кривизной и одна – с пространственновременным объемом. Эти константы допускают геометрическую интерпретацию. Первые четыре описывают огромное число явлений и проверены в многочисленных экспериментах. Космологический член тоже необходим для описания Вселенной (её ускорения).

Остающиеся фундаментальные константы проявляются себя в качестве коэффициентов в хиггсовском потенциале, также как юкавские константы связи. Все эти связи содержат хиггсовское поле, но ни одна из них непосредственно не измерена. Величины, которые можно измерить, возникают следующим образом. Для простоты ограничимся кварковым сектором. Определим две ком-

плексных матрицы hab , kab связей (индексы пробегают значения

1, 2, 3 для трех поколений). Верхние и «нижние» кварки имеют связи, описываемые лагранжианами

В этом выражении греческие индексы для слабой SU(2) принимают значения 1 и 2:

При этом φа – хиггсовский дублет. Когда φ1 приобретает вакуумное среднее υ, нарушая электрослабую группу SU(2)L×U(1)Y до U(1)em, матрицы связей в (12.21) «индуцируют» массовые матрицы

527

Теперь, чтобы получить частицы с наблюдаемыми свойствами (собственные состояния свободного лагранжиана), нужно унитарным преобразованием диагонализовать эти матрицы. Обозначая

причем MU, MD – положительны и диагональны. Матрицы MU и MD содержат «наблюдаемые» массы кварков up-типа (q = +2/3) и down-

типа (q = –1/3). Матрица СКМ задается произведением SUL+ SDL .

Матрица СКМ определяет слабые углы смешивания, т.е. зависящие от семейства мультипликативные факторы в заряженных токах, с которыми связаны W-бозоны. Таким образом, измеряемые массы и углы смешивания оказываются сложной комбинацией фундаментальных констант. На самом деле, ситуация может оказаться еще более сложной, если существует несколько хиггсовских полей, дающих вклад в массы кварков и лептонов.

12.5. Объединение констант, связанных с кривизной

Структура калибровочного сектора позволяет значительно расширить её симметрию. Простейшая группа, как обсуждалось в главе 8, в которую могла бы входить калибровочная группа стандартной модели – SU(5). В этой группе все фермионы одного поколения

попадают в два представления (10 + 5 ). Группа SO(10) объединяет эти и одну дополнительную синглетную относительно SU (3) SU (2) U (1) частицу в одно представлению – 16-плет.

Эта дополнительная частица весьма желательна. Она имеет квантовые числа правого нейтрино и может играть существенную роль в see-saw механизме генерации масс нейтрино.

528

Объединение квантовых чисел, являясь притягательным моментом, остается чисто формальным до тех пор, пока оно не наполнено физическим содержанием. Это требует реализации механизма «усиления симметрии» в локальной калибровочной теории. Однако неабелева калибровочная симметрия требует универсальности: нужно чтобы величины различных констант связи оказались одинаковыми, чего на опыте не наблюдается. К счастью, есть способ разрешения этой проблемы. Если высшая симметрия нарушена на высокой энергетической шкале (или на малых расстояниях), то мы способны наблюдать взаимодействия при меньших энергиях (больших расстояниях), когда их интенсивности изменяются за счет эффектов поляризации вакуума. При этом константы связи становятся «бегущими». На этом пути можно проверить гипотезу о том, что наблюдаемые константы связи происходят от одного (объединенного) значения. Если учитывать поляризацию вакуума в стандартной модели, то обнаружится приближенное объединение. В SUSY же теории происходит точное объединение. Объединение происходит на очень большом энергетическом масштабе ~1016 ГэВ.

Мы уже обсуждали, как возникают массы нейтрино и смешивание в стандартной модели при использовании неперенормируемых связей. С учетом идеи объединения, эти связи следует рассматривать как низкоэнергетическое приближение других, более фундаментальных связей, имеющих лучшее низкоэнергетическое поведение, аналогичное переходу от теории Ферми к современной электрослабой теории. Действительно, правые нейтрино могут иметь обычные, размерности четыре, юкавские связи с лептонным дублетом. В SO(10)-теории эти связи наиболее обременительны, поскольку они имеют отношение к симметрии, «ответственной» за формирование масс кварков с зарядом 2/3. Кроме того, поскольку правые нейтрино нейтральны относительно SU (3) SU (2) U (1),

они, в отличие от фермионов стандартной модели, могут иметь собственную массу майорановского типа без нарушения низкоэнергетических симметрий. Можно ожидать, что собственная масса возникает на масштабе нарушения SO(10). Массы такой величины исключают правые нейтрино из спектра, но они имеют косвенные проявления: во втором порядке теории возмущений обычные левые нейтрино посредством юкавских связей переходят в правые ней-

529

трино и наоборот. Этот процесс генерирует ненулевые массы обычных нейтрино, чьи значения гораздо меньше масс лептонов и кварков.

Массы частиц, предсказываемые при этом подходе, коррелированы с наблюдаемыми массами нейтрино. Иначе говоря, массовый масштаб, ассоциированный с эффективной неперенормируемой константой связи, оказывается приблизительно равным масштабу объединения. Многие, хотя и не все конкретные модели объедине-

ния, предсказывают MνR ~ Mобъединения.

Объединение «стремится сгладить» различие между кварками и лептонами, т.е. предоставить возможность распада протона. Эксперименты определили нижнюю границу на время жизни протона τр > 1034 лет. Трудно представить, чтобы этот процесс был подавлен без очень большого масштаба объединения. Аналогично, трудно избежать идеи объединения, рассматривая связи между различными семействами. Существуют строгие экспериментальные ограничения на процессы FCNC, а также на процессы с нарушением лептонного числа. Для подавления этих процессов надо иметь большой энергетический масштаб. Аксионная физика, уже обсуждавшаяся в главе 5, требует большого масштаба нарушения PQ- симметрии. Существующие наблюдения ограничивают масштаб MPQ > 109 ГэВ. Опять таки большинство конкретных моделей PQ-

симметрии предполагают, что MPQ ~ Mобъединения.

На масштабе объединения становятся реальными связи электрослабого сектора с гравитацией. Поскольку гравитация непосредственно связана с энергией-импульсом, то гравитация проявляет себя тем сильнее, чем короче длина волны её пробников. Как можно ожидать, гравитация становится существенной на масштабах ~ 1018 ГэВ, этот масштаб не слишком отличается от Mобъединения.

12.6. Важность низкоэнергетической суперсимметрии

Как известно, в отсутствие суперсимметрии радиационные поправки к вакуумным средним хиггс-бозона расходятся, и их нужно фиксировать «руками» как ренормируемый параметр. Но тогда становится непонятным, почему эмпирическое значение, скажем,

530