Емелянов Фундаменталные симметрии 2008

уравнением □ϕ(r ,t) = 0 , где □ = c12 ∂t2 −(∂x2 +∂y2 +∂z2 ) – волно-

вой оператор.

Преобразование симметрии физического закона – это такое изменение переменных или пространственно-временных координат, при котором уравнения, описывающие закон, не меняют своего вида в новых переменных и координатах. Говорят, что уравнения сохраняют свою форму, т.е. они ковариантны по отношению к преобразованиям симметрии. Таким образом, реализацию преобразования симметрии невозможно детектировать.

В нашем примере волнового уравненияG можно осуществить ло- ренц-преобразование (сдвиг) скорости V = (V,0,0) . При этом пре-

образовании пространственно – временные координаты трансформируются в следующие значения

−1/ 2

где γ = 1− V . При этих преобразованиях волновой оператор

2c

инвариантен, т.е. □’=□. Результат, установленный Лоренцем, состоит в том, что скалярная функция ϕ имеет одно и то же значение как в трансформированнойG G , так и в первоначальной системе отсчета, т.е. ϕ′(r′,t′) = ϕ(r ,t) . Другими словами, волны распространя-

ются одинаково и с одной скоростью с в двух инерциальных системах отсчета, движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно. Анализируя распространение волн в космическом корабле, наблюдатель не может определить, находится ли этот корабль в покое (или равномерно и прямолинейно двигается).

При дальнейшем рассмотрении ограничимся плоским четырехмерным пространством-временем. Искривленные пространства и симметрии многомерных пространств требуют отдельного рассмотрения.

При классификации симметрий следует различать те, которые действуют на пространственно-временные координаты (геометри-

11

ческие или пространственно – временные), и те, на которые эти преобразования не действуют (внутренние симметрии).

Геометрические (пространственно-временные симметрии). К ним относятся:

Происхождение фундаментальных инвариантностей связано со свойствами пространства (таблица В.1).

Поскольку изменения координат (В2) – непрерывные преобразования симметрии, то применима теорема Нетер:

Ковариантность уравнений движения по отношению к непрерывному преобразованию с n параметрами подразумевает существование n сохраняющихся величин (сохраняющихся зарядов или интегралов движения), т.е. подразумевает закон сохранения.

В нерелятивистских теориях, подобных ньютоновской механике или квантовой механике, уравнения временной эволюции ковариантны по отношению к преобразованиям Галилея

В релятивистских теориях, подобных электромагнетизму, эти преобразования симметрии заменяются преобразованиями Лоренца.

Чтобы обсуждать релятивистские симметрии, с формальной точки зрения, удобно ввести пространство Минковского

(R4 ,(ds)2 ) , т.е. вещественное векторное пространство R4, парамет-

По определению, группа Лоренца L – это набор всех вещественных 4×4 матриц Λ, которые оставляют метрику Минковского (В.4) инвариантной, т.е. все линейные координатные преобразования

x → x′ = Λx , для которых (dx′)2 = (dx)2 . Эти преобразования включают вращения и лоренцевские сдвиги, а также преобразования четности (rG′ → −rG) и обращения времени (t′ → −t) . Последние

преобразования относятся к дискретным, в отличие от непрерывных преобразований.

Пространственно-временные трансляции x → x + a оставляют инвариантной метрику Минковского, поскольку d(x + a) = dx . Они

формируют группу – группу трансляций Tη , т.е. набор отображе-

ний Ta (a = (a0 , aG) R4 ) , определенных следующим образом

T : R4 → R4 ,

Объединяя преобразования Лоренца и трансляции, получаем

чьи элементы (Λ, Ta ) действуют на R4 : x →Λx + a . Эти преобра-

зования являются изометриями пространства Минковского. Обратимся теперь к симметрии «элементарных» частиц.

13

Элементарная частица – это такой объект, природа которого не изменяется, если он транслируется в пространстве и времени, а также вращается или изучается наблюдателем, движущимся относительно частицы равномерно и прямолинейно. На этой основе Вигнер выдвинул постулат о том, что квантовомеханические состояния такой частицы должны принадлежать гильбертову пространству, содержащему представления группы Пуанкаре. Таким образом, определение элементарной частицы основано на про- странственно-временных симметриях, а также на их классификации по массе и спину. Частицы можно рассматривать как квант релятивистского классического поля (А1(х),.., Аn(х)), т.е. набора про- странственно-временных функций Аi (x), имеющих определенные трансформационные свойства по отношению к преобразованиям Пуанкаре. Способ взаимодействия этих полей между собой определяется требованием релятивистской ковариантности уравнений движения.

Итак, группа Пуанкаре – это группа инвариантности всех релятивистских теорий, определяющая общую структуру этих теорий.

Следует отметить, что непрерывные симметрии в физике часто формируются в терминах бесконечно малых, а не конечных преобразований, т.е. рассматриваются алгебры Ли (см. Приложение 1).

Есть ли более общие группы (или алгебраические структуры), которые бы включали группу Пуанкаре как подгруппу и представляли физический интерес? Такие расширения группы Пуанкаре существуют, и мы рассмотрим два из них.

Конформная группа

Конформными преобразованиями пространства Минковского являются координатные преобразования x → x′(x) , которые приво-

где Ω – плавная вещественная функция. Геометрически это означает, что конформное преобразование сохраняет углы по величине и направлению, хотя оно способно локально плавным образом изменять расстояния. Это свойство существенно при построении гео-

14

графических карт. Еще Птолемей осуществил стереографическую проекцию сферы на плоскость как конформное отображение. Набор всех конформных преобразований пространства Минковского образует конформную группу. Очевидно, эта группа содержит группу Пуанкаре, для которой Ω = 0. Однако она содержит дилатации (рескейлинг или масштабные преобразования) с положитель-

ным постоянным фактором eλ

Конформные теории поля, основанные на конформной группе как группе симметрии, интенсивно изучаются в последние десятилетия. Их отношение к физике частиц сильно ограничивается тем фактом, что наличие массивных частиц в таких моделях предполагает существование непрерывного массового спектра. Масштабные преобразования играют важную роль в описании критических явлений (фазовых переходов) в статистической физике. Двумерные конформные теории поля являются неотъемлемой частью струнных теорий, которые рассматриваются как кандидаты на единую теорию фундаментальных взаимодействий.

Пуанкаре супералгебра

Обозначим через Р алгебру Ли, ассоциированную с группой Пуанкаре, – набор инфинитезимальных трансляций , вращений и сдвигов. Под супералгеброй Пуанкаре понимается прямая сумма

Это супералгебра Ли (Z2 – градуированная алгебра Ли). Элементам векторных пространств G0 и G1 – присваивается степень или четность 0 и 1, т.е. они считаются четными и нечетными (бозонными или фермионными) и записываются в виде B =G0 ,

F = G1 . Вместо обычного коммутатора Ли [A, B] = AB – BA вво-

дится Z2 градуированный коммутатор [A, B}, который имеет свойства антикоммутатора {A, B} = AB + BA, если А и В – оба фермионных элемента. В противном случае, { } имеет свойства коммутатора. Схематично можно записать

15

В супералгебре Пуанкаре соотношение [B, B] = B суммирует коммутационные соотношения алгебры Пуанкаре В = Ли Р и

F = {SUSY}, в которую входят генераторы суперсимметрии (Qα ) , α = 1,… 4. Тогда соотношение [F, F] = B имеет вид

ры пространственно-временных трансляций (поскольку pμ = i∂μ в

представлении дифференциальными операторами).

Соотношение (В.11) означает, что генераторы суперсимметрии являются «корнями квадратными» из генераторов трансляций.

Если ввести 4N (N = 2, 3...) генераторов суперсимметрии Qαi (i =1,... N) , то можно определить N-расширенную супералгебру

Пуанкаре.

Суперсимметричная квантовая механика и cуперсимметричные теории поля представляют собой реализации Пуанкаре супералгебры. Суперсимметричные генераторы связывают бозонные и фермионные поля, т.е. характеризуют симметрию между этими полями.

Внутренние глобальные симметрии

Рассмотрим в качестве примера эволюцию в квантовой механике свободной частицы массы m и заряда е. Эта эволюция описывается уравнением Шредингера

волновая функция, ассоциированная с частицей. Очевидно,G что уравнение (В.12) инвариантно относительно глобального (от r и t независящего) фазового преобразования

16

где α R и принимает постоянное значение. Заметим, что eiα – элементы абелевой группы U(1).

Подчеркнем, что инвариантность (В.13) представляет собой внутреннюю симметрию: преобразование действует в пространстве полей Ψ, но на не пространственно-временном многообразии. Согласно теореме Нетер, инвариантность уравнения движения относительно непрерывных преобразований (В.13) подразумевает существование сохраняющегося заряда. Действительно, легко прове-

рить, что интеграл ∫ Ψ(rG,t) 2d 3x , который ассоциируется с элек-

R3

трическим зарядом частицы, не зависит от переменной t, если Ψ – решение уравнения (В.12).

Локальные симметрии

Теперь рассмотрим локальные (зависящие от r и t) или калибровочные преобразования фазы

В этом случае уравнение Шредингера (В.12) уже не будет инвариантным относительно этих преобразований. Чтобы это проверить, введем релятивистские обозначения (а также систему единиц, в которой с = 1) для производных (∂μΨ) ≡ ∂∂Ψxμ = (∂t Ψ, GΨ) по

пространственно-временным координатам (xμ )μ=0..3 = (t, rG) . Тогда

т.е. члены ∂μα присутствуют в «штрихованном» (калибровочно

преобразованном) уравнении Шредингера. Таким образом, чтобы калибровочные преобразования (В.14) являлись симметрией теории, нам следует модифицировать уравнения движения (В.12) так, чтобы они сохраняли свою форму при преобразованиях (В.14). Для

17

этого следует ввести в уравнение движения новые поля, которые бы обеспечили их ковариантность. Простой способ реализации

этой идеи – ввести скалярный φ(r,t) и векторный AG(rG,t) потен-

циалы в уравнение Шредингера с помощью процедуры «минимальной» связи: заменить обычные производные на ковариантные

т.е. ковариантная производная от Ψ преобразуется точно так же, как и само поле Ψ

После применения процедуры «минимальной» связи уравнение Шредингера принимает вид

18

Это дифференциальное уравнение описывает взаимодействие частицы массы m и заряда е с электромагнитным полем, ассоцииро-

По своему построению уравнение Шредингера (В.21) инвариантно относительно калибровочных преобразований Ψ и Aμ (кото-

рые оставляют неизменным EG и BG ).

Таким образом, мы начали обсуждение с уравнения Шредингера для свободной частицы. Это уравнение инвариантно относительно глобальных U(1) и преобразований, подразумевающих, согласно теореме Нетер, сохранение электрического заряда. Требование же локальной U(1) инвариантности подразумевает: 1) введение калиб-

ровочного поля Aμ ; 2) характер взаимодействия между полями ма-

терии и калибровочными полями фиксируется требованием инвариантности. Это проявление калибровочного принципа, играющего важнейшую роль при построении современных моделей элементарных частиц и их взаимодействий. Так, идея неабелевой калибровочной симметрии лежит в основе стандартной модели.

Обратимся теперь к неабелевым калибровочным теориям, основанным на компактных группах Ли G, например, на унитарной группе SU(n). Это группа n × n матриц А с комплексными элемен-

тами, при этом A+ A = 1 и det Λ =1. Как и в случае квантовой механики, будем предполагать следующее:

а) имеется набор полей материи ϕ1(x),...ϕn (x) – скалярных или спинорных полей, которые образуют мультиплет Φ = (ϕ1...ϕn )t ;

19

б) имеется непрерывная группа симметрии G;

в) существует гамильтониан (или лагранжиан), описывающий динамику самовзаимодействия полей ϕi и который инвариантен

относительно глобальных внутренних преобразований симметрии g G , т.е.

a=1

где {ta} a =1,...dimG обозначает базис (генераторы) алгебры Ли

группы G, αa R .

Заметим, что g действует на мультиплет посредством N×N

где λ – константа связи.

Отметим, что для абелевой группы U(1) в выражении (В25) сле-

Калибровочные теории, основанные на группах U(1), SU(2) и SU(3), описывают электромагнитные, слабые и сильные взаимодействия. При этом сохраняющимися зарядами являются электрический заряд, слабый изоспин и барионное число.

Калибруя трансляции (aμ → aμ (x)) , можно построить общую

теорию относительности, которая инвариантна относительно группы общих координатных преобразований x → x′ ≈ x + a(x) . Анало-

гично, калибруя преобразования суперсимметрии, приходим к супергравитации – суперсимметричному расширению общей теории

20