Емелянов Фундаменталные симметрии 2008
.pdfвеличина с – скорость света в вакууме. В кратких обозначениях преобразования (1.33) можно представить в виде:
G |
|
rG → L(vt )rG, |
t → L(vz )t. |
|
|
(1.34) |
|||||||||||||||||||||
ориентирован произвольно, обычно используют та- |
|||||||||||||||||||||||||||
Если вектор v |
|||||||||||||||||||||||||||
кой трюк. Пусть R(z → v) |
– |
вращение, переводящее ось OZ в на- |
|||||||||||||||||||||||||
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
правление v . Например, можно выбрать |
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
G |
|
|
G |
G |
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
R(z ® v) = R(α), |
R(α) z = |
|
|
G |
|
|
|
(1.35) |
||||||||||||||||||
с zG – единичным вектором в направлении OZ |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
v3 |
|
|
G |
|
α |
|
|
|
|
G |
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
||||
|
cos α = |
|
|
|
, |
α = |
|
(sin α)[z |
×v |
] . |
(1.36) |
||||||||||||||||
|
|
v |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Обозначив через L( v ) лоренц-сдвиг со скоростью v , определим |
|||||||||||||||||||||||||||
|
L (vG) = R ( zG → vG) L (vGz ) R−1 ( zG → vG) , |
(1.37) |
|||||||||||||||||||||||||
где vGz – вектор длины v вдоль OZ. Используя точные формулы для |
|||||||||||||||||||||||||||
L(vz ) и R, находим |
|
|
|
vG rG |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
G |
G G |
G |
|
|
G |
|
|
v2 −1/2 |
1 G |
G |
G |
||||||||||||||||
r → L |
(v ) r |
= r |
− |
|
v2 |
v |
+ |
1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
r +t |
v, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
v2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 −1/2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.38) |
||||||||
|
|
G |
|
|
|
|
|
G |
|
G |
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
||||||||
t → L (v ) t |
= |
1 |
− |
|
|
|
|
|
v |
r |
+ t |
v. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Параметры vG |
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
не являются «нормальными»: произведение сдвигов |
|||||||||||||||||||||||||||
vG и vG' не дает сдвига v + vG |
' |
(он не существует, если |
|
v + vG' |
|
≥ c ). |
|||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
G |
|
|
||
Удобнее использовать другие параметры ξ, η . Если ξ, η парал- |
|||||||||||||||||||||||||||
лельны, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
G |
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.39) |
|||||||||
G |
|
|
L (ξ) L (η) = L (ξ+ η) . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Выберем ξ вдоль OZ. Если записать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
L (ξ) |
|
z = A(ξ) z + B (ξ) ct, |
|
|
|
|
(1.40) |
||||||||||||||||||
|
|
L (ξG) |
|
t = |
1 |
C (ξ) z + D (ξ)t, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где А, В, С, D – функции, которые необходимо определить и которые удовлетворяют условиям
AB = CD, A2 −C 2 = D2 − B2 =1. |
|
||
Введем функцию ϕ(ξ) |
с помощью соотношений |
|
|
A = D = cosh ϕ(ξ), B = C = sinh ϕ(ξG). |
|||
Эти соотношения подразумевают, что |
G |
G |
|
|
G |
||
cosh (φ(ξ) + φ(η)) = cosh (φ(ξ))cosh (φ(η)) + |
|||
|
G |
G |
|
+sinh (φ(ξ))sinh |
(φ(η)); |
|
|
G |
G |
G |
G |
sinh (φ(ξ) + φ(η)) = cosh (φ(ξ))sinh (φ |
(η)) + |
||
|
G |
G |
|
+sinh (φ(ξ))cosh (φ(η)), |
|
поэтому можно выбрать ϕ(ξ) = ξ = ξ . Окончательно x → x; y → y′;
(1.41)
(1.42)
(1.43)
|
|
z → (cosh ξ) z + (sinh ξ) ct; |
|
|
|
(1.44) |
||||||||||
t → |
1 |
(sinh |
ξ) z + (cosh ξ)t; |
ξG|| OZ. |
|
|
||||||||||
c |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Соотношение между ξ и v определяют выражения |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
vG |
|
|
|
|
1 |
|
G |
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
cosh ξ = |
|
|
|
|
|
; sinh ξ = |
|
|
|
|
|
|
|
, ξ |
|| v . |
(1.45) |
|
|
1− v |
2 |
|
c |
|
|
|
− v |
2 |
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
c |
2 |
|
|
|
Величину ξ обычно называют быстротой. Для произвольного сдви- |
||||||||||||||||||||
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
га ξ находим |
G |
|
|
|
|
|
|
G |
G |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
G |
G |
|
|
|
|
|
G |
G |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
ξ r |
|
||||||||
rG |
|
→ L (ξ) rG = rG − |
ξ 2r |
|
ξ + |
|
(cosh ξ) |
ξ + c (sinh ξ)tξ ; |
|
|||||||||||
|
ξ |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
(1.46) |
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
1 sin ξ G |
G |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
t → L ( |
ξ) |
t = (cosh ξ)t + |
|
|
|
|
|
|
ξ r. |
|
||||||
|
c |
ξ |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
G |
|
<< c |
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
|
v |
|
|
|
|
|
ξ = c |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.47) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поэтому лоренцевский сдвиг совпадает с галилеевым сдвигом.
42
Преобразования Λ набора (r, t ) – вращения и сдвиги |
|
Λ = LR, |
(1.48) |
называются преобразованиями Лоренца. Как будет видно ниже, они образуют группу, называемую группой Лоренца или ортохронной собственной группой Лоренца. Если включить возможные произведения пространственных и временных отражений
Is : r → −rG, t → t; |
It : rG → rG, t → −t, |
(1.49) |
получим полную группу Лоренца. Её элементы имеют вид |
|
|
LR, IsLR, |
It LR, IsIt LR . |
(1.50) |
1.2.2.Пространство Минковского. Полная группа Лоренца
Как было показано выше, лоренцевские сдвиги смешивают пространство и время. Единое трактование релятивистских преобразований требует, чтобы мы работали с набором величин, содержащих как пространственные, так и временные характеристики. Такую возможность дает пространство Минковского. Его элементы (или точки), обозначаются буквами x, у,... называются 4-векторами и
определяются четырьмя координатами xμ (μ = 0, 1, 2, 3)
x0 |
|
|
|
x |
|
, |
(1.51) |
x ~ 1 |
|
||
x2 |
|
|
|
x |
|
|
|
3 |
|
|
j = 1, 2, 3 – про- |
где x0 = ct – временная координата, а x j = rj , |
странственные координаты.
Обычно координаты пространства Минковского обозначают греческими индексами μ, ν = 0,…, 3; латинские индексы i, j изменяются от 1 до 3. Иногда обозначают через r пространственную часть x
ct |
(1.52) |
|
x ~ |
G . |
|
|
r |
|
43
Лоренцевские сдвиги можно представить посредством 4×4 матриц L, x → Lx с элементами Lμν . При этом
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Lx)μ = ∑ Lμνxν . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
В явном виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ν=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(Lx)0 = (cosh ξ) x0 |
+ |
sinh ξ |
∑ξ j x j |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(Lx) |
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
i |
= x |
− |
|
|
|
|
ξ |
j |
x |
|
ξ |
i |
+ |
|
cosh ξ |
|
|
ξ |
j |
x |
|
+ x |
0 |
sinh ξ |
ξ |
. |
|||
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
i |
|
ξ |
|
∑ |
|
|
j |
|
|
ξ |
|
|
∑ |
|
|
j |
|
|
i |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.53)
(1.54)
Вращения, определяющие преобразования пространства Минковского: x → Rx
|
|
(Rx)μ = ∑Rμνxν; |
|
|
(Rx)0 = x0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
ν |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.55) |
|
(Rx) |
|
=(cos θ) x |
|
1−cos θ |
∑ |
|
|
|
|
|
sin θ |
∑ |
|
|
|
|
|||
|
+ |
θ |
|
x |
θ + |
ε |
|
θ |
|
x . |
|||||||||
i |
|
2 |
|
j |
|
|
ikl |
k |
|||||||||||
|
i |
|
θ |
|
|
|
j |
i |
θ |
|
|
l |
|||||||
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
k,l |
|
|
|
|
|
Впоследнее соотношение входит εikl – символ Леви-Чевита. Преобразования L, R оставляют инвариантной квадратичную
форму х у, определенную следующим образом
3 |
|
x y = x0 y0 − ∑ x j y j . |
(1.56) |
j=1
Эта форма известна как (псевдо) скалярное произведение в пространстве Минковского и может быть записана в терминах псевдо-
метрического тензора G с компонентами gμν :
|
gμν = 0, μ ≠ ν; gμν =1, |
|
μ = ν = 0, gμν = −1, μ = ν ≠ 0 |
(1.57) |
|
x y = ∑ gμνxμ yν = ∑ gμνxμ yμ = xT Gy. |
|
|
μν |
ν |
|
В последнем соотношении x, y – матрицы. Если Λ = LR для любых L, R то для каждой пары x, y
44
|
|
(Λх)(Λу) = х у. |
(1.58) |
||||||
В терминах метрического тензора |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
T GΛ = G . |
(1.59) |
||
Λ |
|||||||||
Очевидно, что |
|
образуют группу: легко проверить, что |
|
||||||
Λ |
|
||||||||
|
|
|
|
G |
|
T = G . |
(1.60) |
||
|
|
Λ |
Λ |
Вычислив определители в выражении (1.59), получим, (det Λ)2 =1, следовательно (det Λ) = ±1 .
Рассмотрим обращение пространственных координат в про-
странстве Минковского: (Is x)0 = x0 , (Is x)i = –xi . Очевидно, |
что Is |
||||||||
входит в |
Λ |
и det Is = –1. Если det |
Λ |
|
= –1, то можно записать |
|
|||
|
|
|
|
= Is (Is |
|
). |
(1.61) |
||
|
|
Λ |
Λ |
При это det (IsΛ) = +1. Если обозначить, через L+ подгруппу L , состоящую из матрицы с единичным определителем, то окажется, что L состоит либо из матриц L+, либо из произведений Is и матриц
L+.
Выберем единичный 4-вектор nt вдоль временной оси с компо-
нентами ntμ = δμ0. |
Для заданного |
|
из |
|
мы можем иметь или |
||||||||||||||||||||||||
Λ |
L |
||||||||||||||||||||||||||||
( |
|
nt )0 > 0 или |
|
( |
|
nt )0 < 0 . |
Невозможно иметь |
( |
|
nt )0 = 0 . Более |
|||||||||||||||||||
Λ |
|
Λ |
Λ |
||||||||||||||||||||||||||
того, если ( |
|
n |
) |
|
> 0 и ( |
|
′n |
) |
|
> 0 , то ( |
|
−1n ) |
> 0 и ( |
|
|
|
′n ) |
|
> 0 . |
||||||||||
Λ |
0 |
Λ |
0 |
Λ |
ΛΛ |
0 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
t |
0 |
|
|
|
|
|
|
t |
|
Таким образом, подмножество из L , состоящее из преобразований Λ с (Λnt )0 > 0 , образует группу, называемую ортохронной груп-
пой Лоренца и обозначаемой L↑. Соответствующие ей преобразо- |
|
вания сохраняют направление времени. Если матрица Λ из L та- |
|
кова, что (Λnt )0 < 0 , то можно записать |
|
Λ = I (IΛ), |
(1.62) |
где I – полное обращение I = It Is: Ix = –x. Очевидно, что в этом случае (IΛnt )0 положительно. Любой элемент L является либо
элементом L↑, либо произведением IΛ c Λ L↑.
45
Наконец, собственная ортохронная группа L↑+ (которую обычно
называют просто группой Лоренца) – это группа матриц Λ, таких, что
ΛT GΛ = G, det Λ =1, Λ |
00 |
> 0 . |
(1.63) |
|
|
|
Как было показано выше, любой элемент Λ из L имеет одну из форм
Is Λ, It Λ, IsIt Λ, Λ, |
(1.64) |
где Λ L↑+ .
Преобразования Is, It, I иногда называют несобственными
преобразованиями. Покажем, что если R L и Rnt = nt , то R – вращение.
Условие Rnt = nt подразумевает, что R имеет вид
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
ˆ |
|
(1.65) |
R = |
0 |
|
, |
||
|
|
R |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
T |
GR = G дает |
ˆT ˆ |
|
|||||
где R – матрица 3×3. Условие |
|
|
|
R R =1 , а условие |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
SO(3), т.е. являет- |
|||
det R = +1 означает, что det R = +1. Поэтому R |
||||||||||||||||||
ся 3-мерным вращением. Пусть Λ произвольное вращение из L и |
||||||||||||||||||
пусть u ≡ Λut . Тогда u0 > 0 и u u =1. Выберем вектор |
ξ , такой, |
|||||||||||||||||
|
G |
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что u0 = cosh |
ξ |
, |
u |
= sinh |
ξ |
. Это возможно, поскольку |
|
|||||||||||
1 = u u = (u0 )2 − |
|
uG |
|
2 = cosh2 ξ −sinh2 ξ. |
(1.66) |
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть ξ ориентирован вдоль n |
|
|
|
|
nG |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
G |
= |
|
G |
|
, |
|
(1.67) |
|||||
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||
так что |
u0 = cosh ξ, |
ui |
= |
|
1 (sinh ξ) ξi . |
|
(1.68) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46 |
|
|
|
|
|
Используя точные выражения для L (ξG) , получаем, L (ξ) nt = u .
Таким образом, преобразование L−1 (ξ)Λ , обладающее свойством
L−1 (ξ)Λnt = nt |
(1.69) |
должно быть вращением, характеризуемым некоторым θ.
Иначе говоря, любое ортохронное лоренцевское преобразование
Λ можно представить в виде |
G |
|
|
(1.70) |
|
Λ = L (ξ)R (θ), |
где R – вращение, L – лоренцевский сдвиг (однако такое разложение – не единственное).
ГруппаG ЛоренцаG является 6-мерной группой Ли (три параметра
от θ и три от ξ ). Она очевидным образом некомпактна (параметры
G
ξ могут принимать произвольно большие значения), является про-
стой и дважды связанной группой. Ниже мы найдем её накрывающую группу, котораяG совпадает с SL(2,C). Заметим, что лоренцев-
ский сдвиг L (ξ) может быть записан в виде
R′L (ξz ) R′′, |
(1.71) |
где R′, R′′ = R′−1 – вращения и L (ξz ) |
– ускорение вдоль оси ОZ. |
Таким образом, общие лоренцевские преобразования сводятся к вращениям и ускорениям, которые можно считать происходящими
вдоль оси OZ. |
|
|
|
|
|
|||
Вместо |
G |
параметризации |
лоренцевского преобразования |
|||||
|
G |
|
ξ и |
θ часто используют ковариант- |
||||
Λ = L (ξ)R |
(θ) параметрами |
|||||||
ную параметризацию. Определим набор параметров ωμν |
в терми- |
|||||||
G |
G |
|
|
|
|
|
|
|
нах ξ |
и θ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ε jklωjk = θl, |
ωj0 |
= |
1 |
ξ j, ωαβ = −ωβα . |
(1.72) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
j,k |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда бесконечно малое преобразование Лоренца записывается в виде
47
Λ =1− ∑ωαβX (αβ) + O (ω2 ). |
(1.73) |
Матрицы X (αβ) имеют компоненты |
|
X (αβ) = −(δμαgνβ − δμβgνα ) . |
(1.74) |
Чтобы доказать это утверждение, заметим, что с одной стороны, из определения Х, имеем
(Λ(ω) x)μ = xμ − ∑∑ωαβXμν(αβ)xν . |
(1.75) |
|||||
|
|
α,β |
ν |
|
|
|
С другой стороны, с учетом точных формул для R, L: |
|
|||||
(R (θ) x) |
G |
|
|
= xi − ∑2ωik xk ; |
|
|
= x0 ; (R (θ) x) |
i |
(1.76) |
||||
G |
|
0 |
|
G |
||
(L (ξ) x)0 |
= x0 + ∑2ωj 0 xj ; |
(L (ξ) x)i = xi + 2ωi 0 x0 |
; |
Поэтому, полагая Λ = LR, получим
(Λx)0 ≈ x0 −∑2ω0 j x j; (Λx)i ≈ xi + 2ω0ix0 −∑2ωik xk. . (1.77)
Откуда и следует ожидаемый результат (1.73), (1.74).
Помимо L↑+ , группа симметрии теории относительности вклю-
чает пространственные трансляции |
|
r → rG + aG , |
(1.78) |
и временные трансляции |
|
ct → ct + a0. |
(1.79) |
В 4-векторных обозначениях |
|
xμ → xμ + aμ. |
(1.80) |
Группа, получающаяся при объединении L и трансляций, называется группой Пуанкаре или неоднородной группой Лоренца, и обозначается обычно через L. Её элементы – пары (а, Λ) 4-векторов а и Λ L. Они действуют на произвольный вектор х следующим образом
(а, Λ)x = a + Λx |
(1.81) |
и удовлетворяют условиям
(a, Λ)(a , Λ ) = (a + Λa , ΛΛ ), |
|
|||
′ |
′ |
′ ′ |
(1.82) |
|
(a, Λ)−1 |
= (−Λ−1a, Λ−1 ). |
|||
|
Единичный элемент группы Пуанкаре – преобразование (0,1).
48
1.2.3. Геометрия пространства Минковского
Векторы v пространства Минковского можно релятивистки инвариантным образом разделить на следующие классы: времениподобные, светоподобные и пространственноподобные вектора. Времениподобные – это такие вектора, для которых v v > 0. Если v0 > 0, то о таких векторах говорят как о положительных времениподобных векторах; если v0 < 0 – отрицательных времениподобных
векторах (v0 = 0 – невозможно). Для светоподобных векторов v v = 0. Вектора называют положительными светоподобными, если v0 > 0 и отрицательными, если v0 < 0. Случай v0 = 0 возможен только для нулевого вектора v = 0. Наконец v – пространственноподобен, если v v < 0; знак в этом случае не является инвариантом. Если v – положительный (отрицательный) времениподобный вектор, то существует вектор v(0) и Лоренц преобразование Λ такое,
что v = Λv(0) и v0(0) = ±m, vG0 = 0, m > 0.
Если v – положительный (отрицательный) светоподобный вектор, то существует вектор v и преобразование Λ, для которых v = Λv и v0 = ±1, v1 = v2 = 0, v3 =1.
Если v – пространственноподобный вектор, то существует век-
тор |
v(3) |
и |
преобразование Λ, для которых v = Λv(3) , причем |
|
v(3) = δ |
|
v(3), v(3) > 0 . Эти утверждения означают, что в некоторой |
||
μ |
|
μ3 3 |
3 |
системе отсчета положительный светоподобный вектор может быть выбран в виде
v = (1 0 0 1) . (1.83)
Отличие между евклидовым пространством и пространством Минковского проявляется в двух приведенных ниже утверждениях.
1. Если v и v′ светоподобны и ортогональны, т.е. v v′= 0, то они они параллельны: v′ = αv .
2. Если v v′≥ 0 и v u = 0, то либо v и u пропорциональны, либо u – пространственноподобный вектор.
49
Единственными инвариантными тензорами в пространстве Минковского являются комбинации метрического gμν и символа Леви-Чевита ε:
εμνρσ = 1, если μνρσ – четная перестановка 1230 εμνρσ = –1, если μνρσ – нечетная перестановка 1230 (1.84)
εμνρσ = 0, – если два индекса одинаковы.
Для заданного вектора v пространства Минковского набор лоренцевских преобразований Г, которые оставляют вектор неизменным, называется, как уже отмечалось, малой группой (или стабилизатором) W(v). Малая группа вектора v зависит только от знака v v в том смысле, что если v v > 0 и u u > 0, то малые группы W(v) и W(u) изоморфны. Чтобы доказать это утверждение, заметим, что W(v) и W(Λv) изоморфны для любого Λ. Действительно, если Гv = v, то ГvГ–1 принадлежит W(Λv) и наоборот. Более того, W(v) идентична с W(αv) для любого числа α ≠ 0. Таким образом, оказываются существенными только три малые группы. Точнее, если
v v > 0, малая группа изоморфна W(nt), если же v v = 0, |
малая |
||
группа изоморфна W (v ), v0 = v3, |
v1 = v2 = 0 ; если v v < 0, |
малая |
|
группа изоморфна W(n(3)), n(3) = δ |
μ3 |
. Это обстоятельство упрощает |
|
μ |
|
|
|
изучение малых групп. |
|
|
|
Малая группа W(nt) = SO(3) |
– группа 3-мерных вращений. |
||
W (v) = SO(2) T2 , SO(2) – группа вращений вокруг оси OZ, а Т2 |
|||
будет определена ниже. |
|
|
|
W (n(3)) = Z+↑ (3) , где Z+↑ (3) – «лоренцеподобная» группа в 3-х
измерениях, действующая только на время и на плоскости XOY и оставляющая OZ неизменной. Первое из утверждений нам уже известно. Обратимся ко второму (светоподобному) случаю. Пусть Г – элемент W (v ) и N – подпространство пространства Минковского,
ортогональное к v , т.е. если u N, то u v = 0 . Очевидно, |
что под- |
|||
пространство N инвариантно относительно Г. Базис N образуют три |
||||
вектора v(a), |
a = 1, 2, 3 c v(1) = n(1), v(2) = n(2), n(a) = δ |
aμ |
и |
v(3) = v . |
|
μ |
|
|
|
Поскольку v |
– светоподобный вектор, подпространство, |
ортого- |
||
|
50 |
|
|
|