Емелянов Фундаменталные симметрии 2008

Требование, чтобы физические состояния имели положительную энергию (за исключением вакуума, имеющего нулевую энер-

гию) означает, что импульсы в фурье-преобразовании F (n,τ) при-

надлежат переднему световому конусу. Чтобы это увидеть, опустим все индексы и рассмотрим матричный элемент скалярного поля, поскольку носитель в импульсном пространстве зависит только от подгруппы трансляций группы Пуанкаре

Вычисляя это среднее либо с помощью оператора трансляции,

либо путем вставки единичного оператора по полному набору про-

q j , α j

Из последнего соотношения следует, что физические импульсы

причем импульсы qj лежат на переднем световом конусе. Фурье-

преобразование оказывается аналитической функцией, когда внешняя переменная становится комплексной. Появляется фактор подавления, трансформирующий фурье-преобразование в преобразо-

102

ласть аналитичности не содержит вещественных точек. Назовем эту область, которая имеет форму трубки с произвольными Re ζi и

Im ζi V− , трубкой Tn−1 . Восстановим нумерацию полей и пред-

ставим

W (n,τ) (Λζ1, Λζ2 ,..., Λζn−1 ) =

ское продолжение на область Tn′−1 , которую будем называть расширенной трубкой. Область Tn′−1 есть объединение всех ΛTn−1 для комплексных матриц Λ L+ (C ) . Это расширение области аналитичности приводит к весьма существенным результатам. Прежде

103

всего, в отличие от Tn−1 , новая расширенная область аналитично-

сти Tn′−1 содержит вещественные точки аналитичности (ρj ), кото-

рые мы будем обсуждать ниже. Во-вторых, поскольку Tn′−1 инвари-

антна относительно комплексных преобразований Лоренца, одно из которых – пространственно-временная инверсия, то

где L = ∑li в области Tn′−1 . Чтобы увидеть, откуда возникает фак-

тор (−1)L , снова подчеркнем, что для Λ L↑+ Λ зависит от матриц

A и A из SL(2,C) . Однако теперь мы имеем расширение на

L+ (C ) , и Λ зависит от двух независимых матриц A и B из

SL(2,C) , и оказывается возможным непрерывное преобразование от единичного элемента до пространственно-временной инверсии. Матрицы S(k ,l) для пространственно-временной инверсии являют-

(2k +1)×(2k +1) единичной матрицы и (2l +1)×(2l +1) единич-

ной матрицы. Отметим, что пространственно-временная инверсия является элементом комплексной группы Лоренца, причем унитарным элементом.

Иост нашел точную характеристику вещественных точек (ρj ) в

n−1

области Tn′−1 : ∑λρi ~ 0 для всех λi , удовлетворяющих условию

1

n−1

∑λi ≥ 0 . Эти условия означают, что каждый ρi ~ 0 . Этот резуль-

1

тат Иоста выглядит особенно просто для функции W (2) скалярного

104

поля. Тогда имеется только один комплексный разностный вектор ζ . Так как W (2) (Λζ) =W (2) (ζ) , то оказывается возможным опре-

делить трубку T1′ путем выбора величин ζ2 , которые можно получить из Λζ с ζ = ξ+iη, η V− . Тогда ζ2 = ξ2 −η2 + 2iξ η. Вещественные точки – это те точки, для которых ξ η = 0 , η V− . Это пространственноподобные точки ξ ~ 0 , в согласии с общим результатом, полученным Иостом.

2.5. Общая формула для CPT

Если записать соотношение между функциями Вайтмана в точках Иоста, которое следует из пространственно-временной инверсии, то соотношение (2.5) в терминах вакуумных средних примет вид:

Каждую часть этого уравнения можно аналитически продолжить: левую часть – на комплексные ζi с η = Im ζ V+↓ , правую на

комплексные ζi с η = Im ζ V+↑ . Для получения соотношений между вакуумными матричными элементами от произведения полей мы не можем рассматривать предел ηi → 0 , поскольку, как отмечено выше, если ζi имеет мнимую часть в заднем конусе, то −ζi

имеет мнимую часть в переднем конусе. Поэтому аналитические продолжения обеих частей соотношения (2.5) нельзя осуществить в одной области. С другой стороны, если рассматриваются вакуумные матричные элементы полей в противоположном порядке:

что соответствует

в терминах разности переменных ( iτ означает ( pn ... p2 p1 ) ), то обе функции имеют одинаковую область аналитичности Tn′−1 . Чтобы обратить порядок всех полей, предположим, что в точке Иоста два вакуумных матричных элемента связаны знаком (−1)I , где I – чис-

ло транспозиций фермиевских полей, необходимых для обращения порядка полей. Если имеется F фермиевских полей, то

I = (F −1) +(F − 2) +... +1 = F (F −1)2 . Поскольку число фермиевских полей в отличном от нуля матричном элементе должно

в точках Иоста называется условием «слабой локальной коммутативности». Очевидно, что локальная коммутативность (иногда называемая микропричинностью) подразумевает слабую локальную коммутативность. Объединяя пространственно-временную инверсию, слабую локальную коммутативность и собирая фазы, получаем:

Тогда для вакуумных матричных элементов

106

Восстановим первоначальный порядок полей в правой части, воспользовавшись эрмитовостью скалярного произведения

(Ψ, Ξ) = (Ξ, Ψ) . Появление комплексного сопряжения очень

кстати, т. к. известно, что преобразование CPT антиунитарно. Тогда

Если включить это выражение в произвольный вакуумный матричный элемент и воспользоваться инвариантностью вакуума

θ 0 = 0 , то в точности получим соотношение (2.26). Оказывается,

что слабой локальной коммутативности в окрестности точки Иоста необходимо и достаточно для CPT-инвариантности. Заметим, что,

например, часть φ(1,0) дираковского спинового поля отображается на iφ(1,0) , а часть φ(0,1) – на −iφ(0,1) . Как векторные, так и аксиаль-

но-векторные поля, имеют вид φ(1,1) , поэтому эти поля не различаются по отношению к преобразованию θ, и оба получают при этом

107

преобразовании фазу (−1) . Аналогичное утверждение справедливо для скалярных и псевдоскалярных полей φ(0,0) , получающих фазу (+1) . Антисимметричное тензорное поле T μν второго ранга

φ(2,0) + φ(0,2) также получает фазу (+1) , как и симметричный тен-

зор второго ранга φ(2,2) .

CPT-оператор θ заменяет неточечные индексы на точечные, т. е.

При преобразовании θ частица заменяется на античастицу (хотя некоторые частицы могут быть идентичны своим античастицам). При этом энергии и импульсы не меняются, меняются лишь спиновые компоненты и спиральности. При двойном действии оператора θ находим:

Очевидно, что θ2 коммутирует с Бозе-полями и антикоммутирует с Ферми-полями.

2.6. CPT для S-матрицы

Поскольку преобразование θ обращает время, то in- и out-состояния тоже переходят друг в друга. Имея в виду антиунитарность θ, получаем для S-матрицы:

где αˆ – это состояние, в котором частицы заменены на античас-

тицы, спиновые компоненты и спиральности изменяют знак, а энергии и импульсы остаются неизменными.

В терминах S-оператора

Иостовское общее доказательство CPT-теоремы непосредственно приводит к CPT-симметрии полей, относящихся к произвольно-

108

му неприводимому представлению группы SL(2,C) – накрываю-

щей группы вещественной собственной группы Лоренца L↑+ . В ве-

щественной группе Лоренца пространственно-временная инверсия не связана с единичным преобразованием. В комплексной же группе Лоренца x → −x преобразование связано с единичным преобразованием. Функции Вайтмана – аналитические продолжения вакуумных матричных элементов от произведения полей – допуска-

ют аналитические продолжения с L↑+ на комплексную группу Лоренца L+ (C ) , допускающую пространственно-временную инвер-

сию. В расширенной области аналитичности имеются вещественные точки аналитичности (точки Иоста). Однако мы не можем получить общее соотношение между матричными элементами в первоначальных точках и точках, полученных в результате простран- ственно-временной инверсии. Однако, если обратить порядок полей, то такое соотношение получить можно. На этом пути мы должны предположить слабую локальную коммутативность в точках Иоста и возможность изменения порядка полей. Первоначальный порядок полей восстанавливается, если воспользоваться эрмитовостью скалярного произведения.

После рассмотрения общих симметрийных свойств квантовых теорий поля обсудим симметрии стандартной модели.

109

Глава 3 СИММЕТРИИ СТАНДАРТНОЙ МОДЕЛИ

3.1. Введение

Стандартная модель (СМ) элементарных частиц является квантовой калибровочной теорией, основанной на прямом произведении групп SU(3)c×SU(2)L×U(1)Y и описывающей сильные, слабые и электромагнитные взаимодействия как результат обмена калибровочными бозонами со спином единица: восемью безмассовыми глюонами и одним безмассовым фотоном в сильных и электромаг-

нитных взаимодействиях и тремя массивными бозонами W±, Z в слабых взаимодействиях. Фермионный сектор СМ образуют три семейства:

где каждый кварк способен находиться в трёх цветовых состояниях, причём

плюс соответствующие античастицы. Таким образом, левые компоненты полей образуют SU(2)L-дублеты, а правые компоненты – синглеты.

Три семейства имеют одинаковые калибровочные взаимодействия, они отличаются массами и квантовыми числами. В этой главе будут рассмотрены симметрии в кварковом, лептонном и хиггсовском секторах СМ. Начнём с обсуждения симметрий теории сильных взаимодействий – квантовой хромодинамики.

3.2. Симметрии КХД

Рассмотрим сначала упрощённый вариант КХД, описываемый лагранжианом

110