Следует обратить внимание, что знак «-» для тока i и напряжения на |
||||||
резисторе R указывает на то, что ток разряда направлен |
||||||
противоположно току заряда, т.е. опорному току емкости |
||||||
|
Е |
u,i |
|
|
|
|
|
uС |
Разряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Скачок тока |
|
|
конденсатора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i(t) |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
uR(t) |
Вывод: |
При |
|
ненулевых |
|
R |
|
начальных условиях емкость |
|||
|
|
ведет |
себя |
как |
источник |
|
|
-Е |
|
||||
|
|
напряжения |
|
|
||
Пример: Известно, что форма тока разряда с тела человека близка к |
||||||
форме переходного процесса RC- цепи с параметрами С = 200 пФ и |
||||||
R = 1 кОм. Если предположить величину статического потенциала на |
||||||
теле человека равным 1000 В, и если произойдет короткое замыкание на |
||||||
тело человека в момент времени t = 0, то величина тока изменится |
||||||
скачком от 0 до 1 А, что очень опасно. Снижение тока до значения 1 мкА |
||||||
|
произойдет не ранее, чем через 276 мкс. |
|
||||
3. Разряд емкости на RLC - цепь.
При наличии в электрической цепи двух независимых накопителей энергии
(L и С) переходные процессы в них описываются дифференциальными |
||||||||||||
уравнениями второго порядка. |
Исходное состояние схемы: емкость до |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
R |
|
i(t |
коммутации была заряжена до напряжения Е |
||||||||
|
|
|
|
Согласно второму закону Кирхгофа: |
|
|||||||
|
|
|
) |
|
|
|
||||||
|
uR(t) |
|
uR (t) uL (t) uC (t) |
|
|
duC |
||||||
Кл |
|
|
|
i C |
||||||||
uL(t) |
L |
|
|
di(t) |
|
|
|
|||||
E |
С |
|
R i(t) L |
uC (t) 0 |
dt |
|||||||
|
|
|
|
dt |
|
|||||||
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
iРАЗ (t) |
|
|
d 2uC (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
uC(t) |
LC |
RC |
duC (t) |
uC (t) 0 |
|||||||
|
|
dt2 |
dt |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
d 2uC (t) |
|
R duC (t) |
1 |
uC (t) 0 |
||
dt2 |
|
|
dt |
|
|
|
L |
LC |
|||||
Вводим
обозначения
|
R |
|
|
02 |
1 |
|
2L |
|
LC |
||||
|
|
|
||||
d 2uC (t) |
2 |
duC (t) |
2 |
Характеристическое уравнение |
|||
|
p2 2 p 02 0 |
|
|||||
dt |
2 |
dt |
0 uC (t) 0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
Характеристическое уравнение |
|
Определим корни этого уравнения |
|
|
||||||
p2 2 p 02 0 |
p |
2 2 |
R |
( R )2 1 |
||||||
|
|
|
1,2 |
|
|
0 |
2L |
2L |
LC |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Общее решение этого |
|
|
uC (t) A e |
p t |
p |
t |
||||
ОЛДУ имеет вид: |
|
|
1 B e |
2 |
|
|||||
|
R |
Коэффициент |
2 |
|
1 |
Резонансная частота |
||||
2L |
затухания |
|
0 |
LC |
|
контура |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Рассмотрим три возможных частных случая
I.Корни действительные и различные 
R 2
II.Корни комплексно сопряженные
III. Корни действительные и равные
R 2 
R 2
В контуре при разряде емкости при нулевых начальных условиях
могут возникнуть различные типы переходных колебаний
Апериодический процесс разрядки конденсатора
1. Корни действительные и различные |
|
|
|
|
2 02 |
||||
R 2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
Решение ОЛДУ |
|
uC (t) uСВ (t) A e p1t B e p2t |
|||||||
|
Для определения А и В запишем еще и уравнение тока в цепи |
||||||||
|
i(t) i (t) C duC (t) C( p A ep1t p |
2 |
B e p2t ) |
|
|||||
|
C |
dt |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Воспользовавшись |
|
uC (0 ) E uC (0 ) A B |
|
|
|
||||||
начальными условиями |
|
i |
(0 |
|
) 0 i |
(0 |
|
) p A p |
B |
|
|
|
|
C |
|
C |
|
1 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A Ep2
p1 p2
Ep1 |
|
B p p |
2 |
1 |
Таким образом, законы изменения тока и напряжений в цепи имеют вид:
|
|
|
|
|
u |
|
(t) |
|
E |
|
( p e p2t p |
|
e p1t ) |
|
||||
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iC (t) |
E |
|
(e p2t e p1t ) |
|
|
uL (t) L di |
|
|
E |
( p2 ep2t p1 ep1t ) |
||||||||
L( p1 |
|
p2 ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
p1 p2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
||||||
Анализ полученных зависимостей, показывает, что каждая из найденных величин iC, uC, uL состоит из двух составляющих, затухающих по
экспоненте с коэффициентами составляющих р1 < 0 и р2 < 0. |
|
|
|||||||
u,i |
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
uC(t) |
|
|
|
1 |
|
|
p1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
t1 |
|
p1 |
p2 |
ln |
p2 |
|||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
t |
t1 |
t2 |
|
i(t) |
t2 2 t1 |
|
|
|
|
|
|
uL(t) |
|
|
|
|
|
|
-E |
В период времени от 0 до t1 энергия WC расходуется на |
||
|
покрытие тепловых потерь в сопротивлении R и |
||
|
создании магнитного поля в катушке индуктивности L. |
||
Отрицательное значение тока свидетельствует о противоположном направлении тока разряда относительно опорного направления.
Колебательный процесс разрядки конденсатора
2. Корни комплексно-сопряженные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
02 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
R 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
p 2 |
|
2 j |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1,2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение ОЛДУ |
|
|
|
|
|
uC (t) uСВ (t) A e t sin( Ct |
) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Закон изменения тока |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
в цепи определяется уравнением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
i(t) C |
duC (t) |
C( A e |
t |
sin( Ct ) |
C A e |
t |
cos( Ct )) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исходя из |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
uC (0 |
) E uC (0 ) Asin |
|
|
|
|
|
A E |
|
0 |
|
|
|
arctg |
C |
|
|||||||||||||||||||||||
начальных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
iC (0 |
) 0 |
iC (0 ) Asin C sin |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
условий |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, законы изменения тока и напряжений в цепи будут иметь вид:
uC (t) E 0 e t sin( C t ) UCme t sin( C t )
C
|
|
|
|
|
|
i (t) E |
1 |
e t sin Ct Ime t sin( Ct ) |
|
|
|
|||
|
C L |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uL (t) E 0 e t sin( Ct )
C
Полученные уравнения показывают, что в данном случае имеет место
колебательный разряд емкости с частотой С , зависящей только от
|
|
от параметров |
RLC - цепи |
|
|
u,i |
. |
||
UCm |
Затухание е- t |
|||
uC(t) |
||||
0 |
|
|
|
|
|
t |
i(t) |
|
|
|
|
|
|
Im |
|
|
|
|
|
|
uL(t) |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
Затухание е |
||
TС -квазипериод |
Быстроту |
затухания |
периодического |
|||
-ULm |
|
|
||||
|
|
|
процесса |
принято |
характеризовать |
|
uC (t) |
e |
TC |
декрементом |
затухания, |
который |
|
определяют как отношение двух соседних |
||||||
uC (t TC ) |
|
амплитуд тока или напряжения одного знака |
||||
Критический процесс разрядки конденсатора
3.Корни действительные и равные 
R 2 
2 02
p1,2 p 2RL
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
C |
(t) u |
СВ |
(t) A e pt A |
t e pt (A |
A t) e pt |
|
||||||||||||||
ОЛДУ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для определения А и В запишем еще и уравнение тока в цепи |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i(t) |
iC (t) |
C |
duC (t) |
C(А1 p1 A2 p2 t)е |
pt |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Воспользовавшись |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
uC (0 ) E uC (0 ) A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
начальными |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 E |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
A Е |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
iC (0 ) 0 iC |
(0 ) А p1 |
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
условиями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Таким образом, законы изменения тока и напряжений в цепи будут иметь вид:
uC (t) E( t 1) e t ) 
iC (t) EL t e t 
uL (t) L dtdi E( t 1)e t )
|
|
|
Критическое сопротивление контура |
|
R 2 |
||
|
|
|
|
Задание на самостоятельную работу
Литература:
1. Зевеке Г.В., Ионкин А.В., Нетушил А.В.,Страков С.В. Основы теории цепей: Учебник для вузов, - М.: Энергоатомиздат, 1999 г, с. 234 – 249
2. Бакалов В.П., Игнатов А.Н., Крук Б.И. Основы теории электрических цепей и электроники: Учебник для вузов, - М.: Радио и связь, 1999 г, с. 103 – 117.
3. Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника: Учебник для вузов, - М.: Высшая школа, 2003 г, с. 37 –83.