Кубанский государственный технологический университет
Институт информационных технологий и безопасности
Кафедра компьютерных технологий и информационной безопасности
Учебная дисциплина
Электротехника и электроника
Практическое занятие № 5
Анализ и расчет электрических цепей при несинусоидальных воздействиях
Учебные вопросы:
1. Основные определения и примеры несинусоидальных колебаний в электрических цепях
2. Временной и спектральный анализ несинусоидальных колебаний в цепях переменного тока
3. Определение действующих значений несинусоидальных энергетических величин
Литература:
1. Зевеке Г.В., Ионкин А.В., Страков С.В. Основы теории цепей: Учебник для вузов, - М.: Энергоатомиздат, 2004 г, с. 19 – 71.
2. Бакалов В.П., Игнатов А.Н., Крук Б.И. Основы теории электрических цепей
иэлектроники: Учебник для вузов, - М.: Радио и связь, 1999 г, с. 7 –79.
3. Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника: Учебник для вузов, - М.: Высшая школа, 2003 г, с. 22 – 81.
1. Основные определения и примеры несинусоидальных
колебаний в электрических цепях Периодическими несинусоидальными колебаниями называются токи (напряжения), изменяющиеся по времени по периодическому
несинусоидальному закону
Режимы работы электрических цепей при которых возникают несинусоидальные токи или напряжения
4 режима работы
1. Источник электрической энергии вырабатывает несинусоидальную ЭДС или ток, а все элементы ЭЦ являются линейными (линейные ЭЦ)
Источник электрической энергии вырабатывает синусоидальную ЭДС или
2.ток, но хотя бы один из элементов ЭЦ является нелинейным (нелинейные ЭЦ
– катушка со стальным сердечником, выпрямители)
Источник электрической энергии вырабатывает несинусоидальную ЭДС 3. или ток, а в ЭЦ входят нелинейные сопротивления (НЭЦ)
Источник электрической энергии вырабатывает постоянную или
4.синусоидальную ЭДС или ток, а один или несколько элементов ЭЦ изменяют свои параметры в процессе работы (параметрические ЭЦ)
Источник энергии 
Причина несинусоидальности 
Нагрузка ЭЦ
При рассмотрении периодических несинусоидальных колебаний обычно пользуются математическим аппаратом - рядом Фурье.
Любая периодически изменяющаяся величина может быть представлена в виде суммы постоянной составляющей и ряда синусоидальных составляющих с кратными частотами
i(t) I0
Imk 
sin(k 1
t i k )
Постоянная |
Амплитуда |
Угловая частота |
|
1 2 T |
|||||
составляющая |
k – й гармоники |
k – й гармоники |
|
||||||
Гармоника - синусоидальная |
|
Угловая частота |
|||||||
первой (основной) |
|||||||||
составляющая несинусоидального колебания |
|
гармоники |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(t) U0 |
Um k sin(k 1 t u k ) |
|
|||||
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e(t) E0 |
Em k sin(k 1 t e k ) |
|
|||||
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
Аналитическое выражение несинусоидальной периодической функции (например - тока),можно записать и так
i(t) I0 Im1 sin( 1 t i1 ) Im2 sin(2 1 t i 2 )Im3 sin(3 1 t i3 ) ... Imk sin(k 1 t i k )
Таким образом, сложение синусоидальных колебаний (гармоник) с различными частотами и разными начальными фазами
дает несинусоидальное колебание
i(t) |
i1 |
(t) Im1 sin 1 |
t |
|
|
|
|||
|
T/2 |
T |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
i3 (t) Im3 sin 3 1 t |
|
|
|
Несинусоидальное |
|
i (t) Im1 sin 1 t Im3 sin 3 1 t |
|
||
|
колебание |
||
i (t) Im1 sin 1 t Im3 sin 3 1 t
i(t) 
i1(t) Im1 sin 1 t
|
t |
T/2 |
T |
|
i3 (t) Im3 sin(3 1 t ) |
|
Im3 sin 3 1 t |
Несинусоидальные периодические колебания, которые встречаются на практике, являются симметричными колебаниями относительно:
оси абсцисс (оси времени):
оси ординат (оси величины):
начала координат
оси абсцисс (оси времени) и начала координат:
Периодические колебания симметричные относительно оси абсцисс (оси времени) и начала координат:
q |
T |
2 |
|
Колебание типа «меандр» |
Um ,0 t T / 2 |
|
|
u(t) |
u(t) |
|
|||
|
tИ |
|
|
|
Um ,t / 2 t T |
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
Um |
T/2 |
T |
2T |
t |
|
-T/2 |
|
|
-Um |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
Постоянная |
a0 |
1 |
T |
1 |
T / 2 |
T |
|
составляющая |
|
||||||
2 |
T |
0 u(t)dt T Um t /0 |
Um t /T / 2 0 |
||||
колебания равна «0» |
|||||||
При аппроксимации u(t) системой ортогональных функции
{sinkt} =sint,sin2t,sin3t,…
Колебание типа «меандр» при разложении в ряд Фурье содержит только четные sin гармоники
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(t) sin ktdt |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ck |
0 |
|
|
|
|
( |
sin ktdt |
sin ktdt) |
|||||
sin |
2 |
ktdt |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
, k нечетное |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
( sin ktdt |
sin ktdt) |
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
0, k четное |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
u(t) 
0 |
Um |
T/2 |
T |
2T |
t |
-T/2 |
|
-Um |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Аппроксимирующее выражение ряда Фурье для колебания типа «меандр»
u(t) 4 Um (sin t 13 sin 3 t 15 sin 5 t 17 sin 7 t ... 1k sin k t)
Обобщенное выражение ряда Фурье для колебания типа «меандр»
u(t) 4 Um Umk sin(k t), k 2n 1;n 0,1,2,..
k 1
u(t) Um1 sin t Um3 sin 3 t Um5 sin 5 t ... Umk sin(k t)
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Um1 4 Um |
|
|
Um3 |
4 Um |
|
Um5 4 Um |
|
|
Umk 4 Um |
|
||||||||
амплитуды |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
гармоник |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
k |
|
|||
расчетные выражения для вычисления коэффициентов ряда Фурье |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
T / 2 |
|
|
|
|
2 |
|
T / 2 |
|
|
U0 a0 / 2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Umk ak2 bk2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
ak |
u(t) cos(k t)dt |
|
bk |
|
u(t) sin(k t)dt |
|
||||||||||||
|
|
T |
|
T |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T / 2 |
|
|
|
|
T / 2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Таким образом, амплитудно-частотный спектр колебания типа «меандр»
u(t) 
0 |
Um |
T/2 |
T |
2T |
t |
-T/2 |
|
-Um |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Umk |
|
|
Um1 |
4 U |
|
4 Um |
|
|
|
|
|
|
Um3 |
|
|
4 Um |
|||
|
|
|
|
Um5 |
|
||||
U0=0 |
|
|
|
|
3 |
||||
|
|
|
|
|
5 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
|
|
Амплитудно-частотный спектр колебания типа «меандр» является дискретным (линейчатым) и не содержит постоянной составляющей, а также четных гармоник (т.е гармоник, кратных скважности знакопеременных импульсов исходного колебания)
u(t) Um1 sin t Um3 sin 3 t Um5 sin 5 t ... Umk sin(k t)
Периодические колебания симметричные относительно оси ординат :
u(t) |
|
«Продетектированное» гармоническое колебание: |
||
|
|
T |
||
|
|
|
||
|
|
|
Um |
|
-T/4 0 |
T/4 |
|
t |
|
Um cos t, при T / 4 t T / 4 |
||||
|
|
|||
|
|
u(t) |
0, при Т / 4 t 3T / 4 |
|
|
|
|
||
Ряд Фурье такого колебания состоит из постоянной составляющей и косинусоидальных гармоник (первой и всех четных),(отсутствуют sin гармоники)
|
a0 |
|
|
1 T / 4 |
|
|
|
1 |
T / 4 |
|
|
|
|
Um |
|
T / 4 |
|
Um |
|
|
|
|
|
|
|
Постоянная |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(t)dt |
|
Um cos tdt |
|
|
|
|
sin t |
/ T / 4 |
|
|
|
|
U0 |
|
|
составляющая |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
T |
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
T / 4 |
|
|
|
T / 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
T / 4 |
|
|
|
|
|
2 |
T / 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
T / 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ak |
|
T T / 4 |
u(t) cos k tdt |
T |
Um cos t cos k tdt 0 |
|
|
bk |
|
T |
|
u(t) sin k tdt 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T / 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T / 4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
T / 4 |
u(t) cos tdt |
|
2 |
T / 4 |
|
|
cos2 tdt |
2Um |
1 t |
T / 4 |
|
|
|
Um |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ T / 4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
T 2 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T T / 4 |
|
|
|
|
|
T T / 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
T / 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
T / 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
a2 |
|
u(t) cos 2 tdt 2Um |
|
cos t cos 2 tdt 2Um |
|
|
Umk |
ak2 bk2 ak |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
T |
T / 4 |
|
|
|
|
|
T |
|
T / 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||