Кубанский государственный технологический университет
Институт информационных технологий и безопасности
Кафедра компьютерных технологий и информационной безопасности
Учебная дисциплина
Электротехника и электроника
Лекция № 10
Классический метод анализа переходных процессов
Учебные вопросы:
1. Причины возникновения переходных процессов. Законы коммутации.
2. Переходные процессы в цепи постоянного тока с одним реактивным элементом.
3. Разряд емкости на RLC - цепь.
Литература:
1. Зевеке Г.В., Ионкин А.В., Нетушил А.В.,Страков С.В. Основы теории цепей: Учебник для вузов, - М.: Энергоатомиздат, 1999 г, с. 234 – 249
2. Бакалов В.П., Игнатов А.Н., Крук Б.И. Основы теории электрических цепей и электроники: Учебник для вузов, - М.: Радио и связь, 1999 г, с. 103 – 117.
3. Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника: Учебник для вузов, - М.: Высшая школа, 2003 г, с. 37 –83.
1. Причины возникновения переходных процессов. Законы коммутации.
При анализе процессов в ЭЦ приходится иметь дело с
двумя режимами их работы: установившимся (стационарном) и переходном (динамическом).
Физической причиной возникновения переходных процессов в цепях является наличие реактивных элементов, в которых накапливается энергия магнитного и электрического поля.
При различного рода воздействиях (подключении к цепи или отключении источников энергии, изменении параметров цепи) изменяется энергетический режим работы цепи, причем эти изменения не могут осуществляться мгновенно в силу непрерывности изменения энергии электрического и магнитного полей, что и приводит к возникновению переходных процессов.
Ключ замкнут R = 0 |
Кл Ключ разомкнут R = |
Переходные процессы в цепи описываются однородными (если цепь не содержит источников энергии) или неоднородными (если цепь содержит
источник энергии) линейными дифференциальными уравнениями (ЛДУ).
Методы расчета переходных процессов
Классический |
Операторный |
Частотный |
|
Сводится к решению |
Сводится к решению |
Используются |
|
алгебраических операторных |
частотные методы |
||
НЛДУ (ОЛДУ) |
|||
|
уравнений цепи |
анализа ЭЦ |
Классический метод обладает наглядностью и удобен для анализа и расчета простых цепей, операторный – упрощает расчет сложных цепей.
Методика расчета переходных процессов
классическим методом
1. Составить ЛДУ n – го порядка (в общем случае – неоднородное ЛДУ) относительно независимой переменной (в качестве которой может быть выбран ток iL или напряжение uC), описывающей
состояние цепи после коммутации.
a |
d n y |
a |
d n 1 y |
... a |
dy |
a |
y f (t) |
|
n dtn |
n 1 dtn |
|
|
|||||
|
|
|||||||
|
|
1 |
1 dt |
0 |
|
|||
где аn – постоянные коэффициенты, f(t) – внешнее воздействие (ЭДС, ток), n – порядок ЛДУ (равен числу разнородных реактивных элементов ЭЦ).
2. Составить общее решение неоднородного ЛДУ в виде суммы общего решения однородного ЛДУ и частного решения неоднородного ЛДУ.
y(t) yСВ (t) yУСТ (t)
yСВ(t) – свободная составляющая искомой функции, т.е.
общее решение однородного ЛДУ, полученного при f(t) = 0
(содержит постоянные интегрирования).
yУСТ (t) – установившаяся составляющая, т.е. частное
решение, представляющее собой вынужденный режим,
задаваемый в цепи внешним источником.
3. В общем решении yСВ(t) – следует найти постоянные интегрирования из начальных условий, т.е. условий цепи
в начальный момент времени после ее коммутации на
основании законов коммутации.
Законы коммутации утверждают, что ток в индуктивности
и напряжение на емкости не могут изменяться скачком.
Первый закон коммутации связан с непрерывностью изменения магнитного поля катушки индуктивности WL = Li2/2 и гласит: в начальный момент
времени t = 0+ непосредственно после коммутации ток в |
индуктивности имеет то же значение, что и в момент времени |
t = 0- , до коммутации и с этого момента плавно изменяется |
iL (0 ) iL (0) iL (0 ) |
Второй закон коммутации связан с непрерывностью изменения электрического |
поля емкости WC = Cu2/2 и гласит: в начальный момент времени
непосредственно после коммутации напряжение на емкости
имеет то же значение, что и в момент времени t = 0- |
до |
||||||
коммутации и с |
этого момента плавно изменяется |
|
|
|
|||
|
|
|
|
uC (0 ) uC (0) uC (0 ) |
|
|
|
|
uL (t) L |
di |
|
Производные могут |
iC (t) C |
du |
|
|
dt |
|
изменяться скачком |
dt |
|||
|
|
|
|
||||
2. Переходные процессы в цепи постоянного тока с одним
реактивным элементом
2.1. Подключение источника постоянной ЭДС к RL - цепи
|
|
|
|
|
|
|
Кл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
В момент времени t = 0 коммутация и |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
начало переходного процесса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В качестве независимой переменной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uR(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u (t) |
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
выберем ток |
i(t) = i |
(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
di |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uR (t) uL (t) E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iR L dt |
E |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i,u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u (t) |
|
Свободная составляющая – общее решение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
diСВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pt |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
RiCВ |
0; iСВ А e , p |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
E/R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
L |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частное решение – постоянный ток iУ =Е/R |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
E/e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uL(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Общее решение – неоднородного ЛДУ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
i(t) iСВ (t) iУ (t) A e |
|
E |
|
|
А |
Е |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
di |
|
|
E 1 |
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
i(t) |
|
|
(1 e |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
(1 |
e ) |
|
|
uL (t) L |
|
L |
e E e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uR (t) E(1 |
e |
|
|
|
) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
dt |
|
R |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
, c |
Чем больше постоянная времени , тем медленнее |
|
|
R |
|
затухает переходный процесс и наоборот. |
Постоянная времени служит практической мерой продолжительности переходного процесса, так как теоретически переходный процесс длится бесконечно долго и позволяет сравнивать различные цепи в отношении времени стационарного (установившегося) режима.
На практике считают переходный процесс законченным при t = 3 , при этом напряжение или ток достигают 95% от своего установившегося значения. Графически может быть определена как интервал времени
на оси t от 0 до точки пересечения касательной к uL , при этом напряжение на uL уменьшится в e (е = 2,7 ) раз.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d n y |
|
d n 1 y |
|
dy |
|
|
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
di |
|
|
|
|
|
|||||||
|
L dt |
Ri E |
|
|
an dtn |
an 1 |
dtn 1 |
... a1 |
|
a0 y f (t) |
|
|
a0 |
|
|
|
dt |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вывод: В цепях постоянного тока при нулевых начальных условиях в
момент времени t = 0+ индуктивность ведет себя как бесконечно
большое сопротивление (аналог – разрыва цепи), а при t = как бесконечно малое сопротивление (короткое замыкание цепи).
|
|
|
2.2. Короткое замыкание RL - цепи |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
R0 |
|
R |
i(t) |
К |
моменту |
|
коммутации |
в |
|
цепи |
|
была |
||||||
|
|
запасена энергия магнитного поля W =Li2/2. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
Ненулевые |
|
|
|||||
|
E |
Кл |
uR(t) uL(t) |
L |
i(0) R0 |
R |
начальные условия |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Однородное ЛДУ |
|
L di Ri 0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
i(t) iСВ (t) A e |
Постоянную интегрирования А находим из |
|||||||||||||||||
|
|
начальных условий и закона коммутации. |
|||||||||||||||||
|
Решение ОЛДУ |
|
i(0 ) i(0) |
|
E |
|
i(0 ) A; A |
R0 |
E |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
R0 R |
|
|
|
|
|
R |
|||||||
|
E R |
u,i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
R0 R |
|
|
|
|
|
|
|
iL (t) |
|
|
e |
|
|
|
||||
|
|
Ток в цепи после коммутации |
E |
|
; L |
||||||||||||||
|
E |
|
uR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R R |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
R0 R |
i(t) |
|
|
|
|
|
Ток в катушке индуктивности после |
||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
t |
коммутации поддерживается за счет |
|||||||||||
|
|
uL(t) |
|
|
|
|
запасенной магнитной энергии |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вывод: При ненулевых |
|
|||||||||
|
|
|
|
di |
|
|
E |
t |
|
|
|
||||||||
|
E R |
|
uL (t) L |
|
|
|
|
начальных условиях |
|
|
|||||||||
|
|
dt |
|
R0 R |
e |
|
индуктивность ведет себя как |
||||||||||||
|
R0 R |
|
|
|
|
|
|
|
источник тока |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2.3 Подключение источника постоянной ЭДС к RC - цепи
|
В качестве переменной выберем напряжение на конденсаторе u(t) = uC(t) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Кл |
|
|
|
R |
|
|
|
i(t |
|
|
|
|
|
В момент времени t = 0 коммутация |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и начало переходного процесса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
duC (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i(t) iC (t) C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
uR(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
E |
uC(t) |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uR (t) uС (t) E |
|
|
|
|
|
RC |
duC |
uC E |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свободная составляющая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
i,u |
|
|
|
|
|
|
|
|
uC(t) |
|
|
|
|
|
|
– общее решение |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RC |
СВ |
uCВ 0; uСВ А ept , p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RC |
||||||||||||||||||||||||||||||
E/R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частное решение – постоянный ток |
uУ = Е |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
uR(t) |
|
|
А Е |
|
Общее решение – неоднородного ЛДУ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
E/e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
i(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uC (t) uСВ (t) uУ (t) A e |
|
t |
E |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iC (t) C duC E e |
t |
|
|
uR (t) E e |
|
t |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
u (t) E E e RC E(1 e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
RC, c |
|
Чем больше постоянная времени , тем медленнее |
|||||||
|
нарастает напряжение на емкости и спадает ток. |
||||||||
|
|
|
|||||||
Вывод: |
В цепях постоянного тока при нулевых начальных условиях в |
||||||||
момент времени t = 0+ емкость ведет себя как бесконечно малое |
|||||||||
сопротивление ( аналог - короткое замыкание цепи), а при t = как |
|||||||||
бесконечно большое сопротивление (аналог – разрыва цепи). |
|||||||||
R0 |
|
2.4 |
Короткое замыкание RС - цепи |
|
|||||
Кл |
R |
iЗАР(t) |
|
uC (0) E |
Ненулевые начальные |
||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
+ |
|
|
условия |
||
E |
|
u (t) |
С |
Однородное |
RC |
duC (t) |
uC (t) 0 |
||
|
R uС(t) |
|
ЛДУ |
dt |
|||||
|
|
iРАЗ(t) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
Постоянную интегрирования А находим из |
||||||
Решение ОЛДУ |
|
|
начальных условий и закона коммутации. |
||||||
uC (t) uСВ (t) A e t |
uC (0 ) uC (0) E uC (0 ) A; A E |
||||||||
Законы изменения напряжений и тока в цепи после коммутации |
|||||||||
|
|
|
t |
|
i (t) С duC (t) |
|
E |
e |
t |
|
|
|
|
t |
|||
uС (t) Е e |
|
|
|
|
|
|
uR (t) Еe |
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
С |
dt |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|