3. Определение действующих значений несинусоидальных энергетических величин
Определение: Действующим называют значение несинусоидального тока, эквивалентное постоянному току по тепловому воздействию
I |
I02 I12 |
I22 |
... Ik2 |
|
I |
I02 |
I 2 |
|
I 2 |
... |
I 2 |
или |
m1 |
|
m2 |
mk |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
Действующее значение несинусоидального тока является средней квадратичной величиной постоянной составляющей и действующих (или амплитудных) значений токов гармоник
U U02 |
U12 |
U22 |
... Uk2 |
или U U02 |
Um21 |
Um2 |
2 |
... Umk2 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
Действующее значение несинусоидального напряжения является
средней квадратичной величиной постоянной составляющей и действующих (или амплитудных) значений напряжений гармоник
Действующие значения несинусоидальных токов и
напряжений измеряются амперметрами и вольтметрами
электромагнитной, электродинамической и тепловой систем
Для оценки несинусоидальности периодических величин (тока, напряжения, мощности) вводятся ряд критериальных коэффициентов – коэффициент нелинейных искажений – КНИ и коэффициент гармоник – КГ)
КНИ i |
|
|
I1 |
|
КНИ u |
|
|
|
U1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
I02 I12 I22 ... Ik2 |
|
U02 U12 U22 ... Uk2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Коэффициент нелинейных искажений – КНИ определяется отношением действующего значения основной (первой) гармоники тока или напряжения к действующему значению этих несинусоидальных величин Чем меньше КНИ отличается от единицы, тем ближе к синусоиде данная периодическая кривая (несинусоидальное колебание).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I 2 |
I 2 |
I 2 |
... I 2 |
|
|
U 2 |
U 2 |
U 2 |
... U 2 |
|||||
КГ i |
|
2 |
3 |
4 |
k |
|
КГ u |
2 |
3 |
4 |
k |
|||||
|
|
|
I1 |
|
|
|
|
|
|
|
U1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Коэффициент гармоник – КГ показывает удельный вес высших гармоник относительно первой (основной) гармоники.
Чем меньше КГ, тем ближе к синусоиде данная периодическая кривая
КНИ "SIN" 1 |
|
КГ "SIN" 0 |
Мощность в электрических цепях несинусоидального тока
Под активной мощностью Р несинусоидального тока понимают среднее значение мгновенной мощности за период
|
|
|
1 |
T |
|
1 T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Р |
|
|
u(t)i(t)dt |
|
|
U |
0 |
|
U |
mk |
sin(k t |
uk |
) |
|
I |
0 |
|
I |
mk |
sin(k t ) |
dt |
|||||||||||
|
|
|
Т 0 |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ik |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Выполнив интегрирование, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Р P0 |
P1 P2 ... Pk |
U0 I0 U1I1 cos 1 |
U2 I2 cos 2 ... Uk Ik cos k |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Потребляемая, т.е. активная мощность в цепи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k k k |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
несинусоидального тока определяется суммой |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
постоянной мощности и активных мощностей гармоник |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
Q Q1 |
Q2 ... Qk U1I1 sin 1 U2 I2 sin 2 |
... Uk Ik cos k |
|
S U I |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Реактивная мощность в цепи несинусоидального тока |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
S Р2 |
Q2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
определяется суммой реактивных мощностей гармоник |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
При изучении некоторых свойств цепей несинусоидального тока несинусоидальные токи и напряжения заменяют синусоидальными по критерию эквивалентности
действующих значений тока и напряжения.
cos |
ЭКВ |
Р |
U |
ЭКВ |
I |
ЭКВ |
|
SЭКВ UЭКВ IЭКВ |
|
ЭКВ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача № 1. К линейной цепи приложено несинусоидальное напряжение
u(t) 310 210sin t 176sin(3 t 72 )B
A |
W |
R |
1 |
XL |
A |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
XC1 = 9 |
Ом |
||
u(t) |
|
|
|
|
XC |
||
|
|
|
|
XL1 = 3 Ом |
|||
V1 |
|
|
|
|
V2 |
||
|
|
|
|
R = 4 |
Ом |
||
|
|
|
|
|
R2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
R2 = 6 |
Ом |
Требуется записать мгновенное значение тока i(t) в цепи и определить показания всех приборов, включенных в цепь, а также коэффициент
мощности cos ЭКВ. |
Решение: |
|
1. Постоянная составляющая тока в цепи I0 = 0, так как в цепи включен конденсатор (разрыв цепи для постоянной составляющей напряжения). 2. Определяем реактивные сопротивления цепи для третьей гармоники:
|
|
XC3 |
1 |
|
XC1 |
9 |
3 Ом |
|
X L3 3 L 3X L1 3 3 9 Ом |
||||||||
|
|
|
||||||
|
|
|
3 C |
3 |
3 |
|
||
|
|
|
|
|||||
3. Полные (модули) сопротивления цепи для первой и третьей гармоник:
|
|
|
|
11,65 Ом |
Z1 (R1 R2 )2 (X L1 XC1 )2 |
(4 6)2 (3 9)2 |
|||
Z3 
(R1 R2 )2 (X L3 XC3 )2 
(4 6)2 (9 3)2 11,65 Ом
4. Амплитуды токов первой и третьей гармоник:
Im1 Um1 210 18,03A Z1 11,65
Im3 Um3 176 15,11A Z3 11,65
|
5. Углы сдвига фаз для первой и третьей гармоник тока: |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 arctg |
X L1 |
XC1 |
arctg |
3 9 arctg0,6 31 |
|
||||
|
|
R1 R2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
10 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
72 arctg |
X L3 |
XC3 |
|
72 arctg 9 |
3 72 arctg 0,6 72 31 41 |
|||||
R1 |
R2 |
||||||||||
|
|
|
|
10 |
|
||||||
6.Мгновенное значение несинусоидального тока в цепи будет иметь вид:
i(t) 18,03sin( t 31 ) 15,11sin(3 t 41 )A
7. Вольтметр V1, подключенный ко входу цепи будет показывать действующее значение приложенного к цепи входного напряжения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V 366B |
U |
ВХ |
U 2 |
U 2 |
U 2 |
|
3102 1492 1252 366B |
||||
|
0 |
1 |
3 |
|
|
|
|
1 |
||
так как действующее значение напряжений первой и третьей гармоник:
U1 |
|
U |
m1 |
210 |
149B |
|
U3 |
|
U |
m3 |
176 |
125B |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
1,41 |
|
|
|
2 |
|
1,41 |
|
||||
8. Амперметр A, подключенный на входе цепи будет показывать действующее значение протекающего в цепи тока
|
|
|
|
|
|
A 10,7A |
IВХ I12 I32 12,82 10,72 16,7 A |
||||||
так как действующее значение токов первой и третьей гармоник:
I1 |
|
Im1 |
|
|
18,03 |
12,8A |
|
I3 |
|
Im3 |
|
15,1 |
|
10,7 A |
||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
1,41 |
|
|
|
2 |
1,41 |
|
||||||||
9. Для определения показаний второго вольтметра V2, необходимо вычислить полные сопротивления участка АВ для 1-й и 3-й гармоник
|
|
|
|
10,8 Ом |
|
|
|
|
|
|
6,7 Ом |
ZAB1 R22 XC21 |
62 92 |
|
ZAB3 R22 XC2 |
3 |
62 32 |
||||||
9. На участке АВ падение напряжения для 1-й и 3-й гармоник составит
UAB1 I1 ZAB1 12,8 10,8 138,2B 
U AB3 I3 ZAB3 10,7 6,7 71,7B
10.Так как постоянная составляющая входного напряжения приложена к конденсатору, то следовательно, действующее значение напряжения на участке АВ цепи будет равно:
U AВ 
U02 U AB2 1 U AB2 3 
3102 138,22 71,72 347B 
V2 
366B
11. Ваттметр W измеряет активную мощность цепи, cos 1 cos31 0,86
P P0 P1 P3 U0 I0 U1I1 cos 1 U3I3 cos 1 
cos 3 cos 41 0,75
Следовательно, P 310 0 149 12,8 0,86 125 10,7 0,75 2643,3BA
12. Для определения эквивалентного коэффициента мощности цепи необходимо вычислить полную мощность цепи,
SЭКВ UЭКВ IЭКВ |
|
при :UЭКВ U, IЭКВ I |
|
U I |
366 16,7 6112B A |
|||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
коэффициент мощности |
|
|
|
|
|
ЭКВ 63 54/ |
||||
cos ЭКВ PЭКВ |
2643,3 |
0,44 |
|
|||||||
13. Тогда эквивалентный |
|
|
6112 |
|
|
|
||||
цепи |
|
SЭКВ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||
Экспериментальная модель задачи в программе EWB
u(t) 310 210sin t 176sin(3 t 72 )B
Режим измерения постоянного тока
UВХ 310B
|
|
V 2 U2 310B |
|
A1 IВХ I 0A |
V1 U1 310B |
|
|
Режим измерения переменного тока
u(t) 310 210sin t 176sin(3 t 72 )B 
u(t) 310 210sin t, B
U1 U
m21 1210,41 149B
Измерительные приборы показывают действующие значения I и U 1-й гармоники
V1 U1 149,2B |
|
|
|
A1 I 12,87A |
|
V 2 U2 139,2B |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Осциллограмма напряжений в схеме
uВХ (t) u(t) 310 210sin t, B
Um 310 210 520B