1.8 Метод двух узлов

Часто исследуемая электрическая цепь содержит только два узла или легко может быть преобразована в подобную цепь. Наиболее простым методом расчета в этом случае является метод двух узлов (узлового напряжения).

На рис. 1.10 показана схема цепи с двумя узлами а и Ь, состоящая п ветвей.

Так как ветви между узлами а и & соединены параллельно, то разность потенциалов или напряжение между этими узлами можно выразить через ЭДС Е_К, ток /_е и сопротивление резистивного элемента /> любой из ветвей. По обобщенному закону Ома .

I_R=(U_ba+E_R)/r_R=( E_R - U_ba) /r_R

откуда

U_ba=ф_а-ф_b= E_R- r_R I_R

где U_ba — узловое напряжение цепи.

На основании этих соотношений ток

I_R=(E_R - U_ba) q_R (1.19)

где q_R = 1 /r_R — проводимость R-й ветви.

В схеме цепи (рис. 1.19) было принято, что все ЭДС направлены к одному из узлов цепи (к узлу а) и положительное направление каждого тока совпадает с направлением ЭДС в ветви, т. е. все токи направлены к тому же узлу. В действительности, конечно, некоторые ЭДС могут быть направлены к узлу Ь. В этом случае при расчете токов в ветвях с теми же положительными направлениями (к узлу о) по (1.19) значения ЭДС, действующих к узлу Ъ, должны быть записаны со знаком минус.

По первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов в узле цепи равна нулю, т. е.

I₁+I₂ +…+I_R+…+ I_n=∑ⁿ_R=1 I_R=0

и, следовательно,

∑ⁿ_R=1 (E_R - U_ba) q_R=0,

откуда узловое напряжение определяет­ся через параметры элементов цепи:

рис 1.13

U_ba=∑ⁿ_R=1 E_RqR/∑ⁿ_R=1 q_n (1.20)

здесь со знаком плюс записываются ЭДС, действующие к узлу а.

Зная напряжение между узлами, по (1.19) легко определить ток в любой ветви.

1.9 Метод контурных токов

Этот метод может быть применен для расчета любой линейной ш?пи. Его применение позволяет уменьшить число совместно решае­мых уравнений по сравнению с числом уравнений, составляемых по законам Кирхгофа.

Для расчета методом контурных токов в сложной электрической Цепи (рис. 1.14 а) независимые контуры выбираются так же как и при составлении уравнений по второму закону Кирхгофа, например кон­туры-ячейки (рис. 114 б). Затем в каждом из контуров произвольно выбирается положительное направление контурного тока (один и тот же ток во всех ветвях соответствующего контура). Расчетную величину — контурный ток обозначим по номеру контура с двойным индексом, например I_RR. Токи в общих для двух или более контуров ветвях определяются на основании первого закона Кирхгофа как ал­гебраические суммы соответствующих контурных токов.

Алгебраическая сумма ЭДС всех ветвей, входящих в каждый из выбранных независимых контуров, называется контурной ЭДС еьь (с двойным индексом номера контура), т. е. для любого R-го контура

Е_RR = ∑Е. (1.21)

В выражении (1.21) все ЭДС ветвей, направление которых совпа­дает (не совпадает) с направлением обхода контура, записываются со знаком плюс (минус).

Арифметическая сумма сопротивлений всех резистивных элемен­тов, входящих в каждый из выбранных контуров, называется собст­венным контурным сопротивлением r_RR, (с двойным индексом контура), т. е.

r_RR=∑r (1.22)

Рис 1.14

Арифметическая сумма сопро­тивлений резистивных элементов, находящихся в общих ветвях двух контуров т и I, называется общим сопротивлением этих контуров, причем, очевидно,

r_ml= r_lm

Для контурных токов, как и для токов в ветвях, должен выпол­няться второй закон Кирхгофа. Поэтому составим систему контурных уравнений для контурных токов по второму закону Кирхгофа для электрической цепи, у которой п независимых контуров:

r₁₁I₁₁+ r₁₂I₁₂ +…+ r_1nI_nn =E₁₁

r₂₁I₁₁+ r₂₂I₂₂ +…+ r_2nI_nn =E₂₂

…………………………… (1.20)

r_n1I₁₁+ r_n2I₁₂ +…+ r_nnI_nn =E_nn

Система уравнений (1.23) является математической формулиров­кой метода контурных токов. Так как число контурных токов (рис, 1.14 б) всегда меньше числа токов в ветвях (рис. 1.14 а), то примене­ние метода контурных токов уменьшает число неизвестных величин в решаемой системе уравнений, что весьма существенно при анализе сложных электрических цепей.

Решение системы уравнений (1.23)может быть записано для кон­турных токов в общей форме с введением определителей:

(1.24)

здесь определитель системы уравнений

(1.25)

а А_Rp (р = 1,2, .„, п) —алгебраические дополнения, получаемые из определителя Д посредством вычеркивания R-й строки и р-го столбца" и умножения полученного определителя на (—1)^R+р.

Метод контурных токов можно применить и для расчета режима цепи в том случае, если ее схема содержит не только источники ЭДС, но и источники тока. В этом случае ток каждого контура, который содержит источник тока, известен и равен току источника. Поэтому для таких контуров составлять уравнения в системе (1.82) не нужно. Уравнения составляются для всех остальных независимых контуров.

Вторым универсальным методом расчета сложных электрических цепей с любым числом узлов является метод узловых потенциалов (называемый также методом узловых напряжений). Для цепей с двумя узлами этот метод был рассмотрен.