2.14 Электрическая цепь с параллельным соединением ветвей

На рис. 2.33 представлена схема электрической цепи, состоящей из параллельного соединения резистивного, индуктивного и емкостного элементов. Будем считать заданными проводимость резистивного элемента комплексные проводимости ипдуктив и емкостного И элементов и одинаковое напряжение на каждом из элементов

о первому закону Кирхгофа определим комплексное значение общего тока, равного току источника ЭДС:

где учтено, что по [закону Ома I_г = qU; I_ь =-jb_lU комплексы токов в резистивиом, индуктивном и емкостном элементах. Сумма комплексных проводимостей всех параллельных ветвей в выражении (2.61) равна комплексной проводимости данной цепи (в алгебраической форме):

Обратная величина комплексной проводимости 1/Y = Z = Rе-это комплексное сопротивление. Поэтому в показательной форме комплексная проводимость

и в тригонометрической форме

где

цепи или 'полная проводимость цепи;

На комплексной плоскости (рис. 2.34) слагаемые комплексной про-,_Мост1 цепи изображены в виде векторов для двух случаев: Ь, >• Ь_с (рис2 34 а) Ь, >• Ь (рис. 2.34, б). В первом случае комплексная проводимость цепи индуктивный характер, во втором емкостный.

Подставив значение комплексной проводимости цепи в показа­тельной форме (2.63а) в (2.61), получим комплексное значение тока в виде

Из (2.64) следует, что действующее значение тока в неразветвленной части цепи

На рис. 2.35 приведены векторные диаграммы напряжения и токов рассматриваемой цепи дли двух случаев: Ь,. > Ь_с (рис. 2.35, и) и. (рис. 2.35, 6) при одинаковом напряжении 0 . Если комплексная проводимость цепи имеет индуктивный характер, то общий ток (в неразветвленной части цепи) отстает по фазе от напря­жения, так как гр;. Если комплексная проводимость цепи имеет емкостный характер, то общий ток опережает по фазе на­пряжение, так как Заметим, что, как и ранее, положительные значения угла ф отсчитываются против направления Движения стрелки часов от вектора комплексного значения тока I. Комплексная мощность анализируемой цепи

|Если электрическая цепь содержит несколько резистивных, индуктивных и емкостных элементов, включенных параллельно, то комплекс-

ЭДС Е источника, а тока в индуктивном элементе не было. Поэтому

Откуда

Подставим эти значения в (5.32а) а учтем, что по формуле Эйлера (2.25}

В результате получим зависимость изменения напряжения на емкостном эле­менте от времени в виде

Сумму косинусоидальной и синусоидальной функций можно заменить одной синусоидальной функцией. Для этого положим, что отношение w₀/ б =tqф т.е.- будем считать, что w и б — катеты прямоугольного треугольника (рис. 5.7), гипо­тенуза которого

Разделив и умножив (5.33) на 1/LC, получим:

и по (5.27) разрядный ток

Зависимости (5.34) и (5.35) показывают, что напряжение емкостного элемента И разрядный ток можно рассматривать как синусоидально изменяющиеся во вре­мени величины, но с амплитудами, умень­шающимися по экспоненциальному закону при постоянной времени т= 1/6= 21./г.

Для построения соответствующих за­висимостей можно сначала построить вспомогателыне экспоненты

Рис. 5.7.

Кривые изменения напряжения и тока (рис. 5.И) должны вписаться в пределы, ограниченные указанными вспомогательными экспонентами. Для нахождения ха­рактерных точек кривой изменения напряжения на емкостном элементе, таких как и_с (0) = Е и «_с (0 = 0, на рисунке показана точками вспомогательная кривая —

синусоида.

Рассмотрим теперь случай действительных отрицательных корней р_1Л характе­ристического уравнения (5.29).

Если г²/ 4L² > 1/LС, то действительные корни имеют различные значения, причем р₂ < р₁< 0. Для нахождения А₁ к А₂ в общем решении (5.30) восполь­зуемся аналогично предыдущему законами коммутации для емкостного и индук­тивного элементов:

Подставив найденные значения постоянных интегрирования в (5.30), получим

зависимости напряжения на ёмкостном эле­менте:

тока разрядки:

Кривые изменения напряжения и тока "по-

казаны на рис. 5.9, где пунктиром нанесены также вспомогательные экспоненты. В течение всего переходного процесса напряжение и ток не изменяют знака, т. е. разрядка емкостного элемента апериодическая.

Для предельного случая апериодического процесса, если г²/ 4L²=1/LС, ха­рактеристическое уравнение имеет два одинаковых действительных корня р1=р₂=р= —г/2L (кратные корни). При кратных корнях общее решение диффе­ренциального уравнения (5.28) отличается от (5.30) и имеет вид:

где постоянные А₁ и А₂ определяются на основании законов коммутации. Зависи­мости напряжения на емкостном элементе и тока для предельного апериодического процесса разрядки