- •1.4. Электротехнические устройства постоянного тока
- •1.2. Элементу электрической цепи постоянного тоид
- •1,3 Положительные направления токов и напряжения
- •1.4. Резистивные элементы
- •1.5. Источники электрической энергии постоянного тока
- •1.6. Источник эдс и источник тока
- •1.7 Применение закона ома и законов кирхгофа для расчетов электрических цепей
- •1.8 Метод двух узлов
- •1.9 Метод контурных токов
- •1.10 Принцип и метод наложения (суперпозиции)
- •1.11 Метод эквивалентного генератора (активного двухполюсника)
- •1.12 Передачи максимальной мощности приемнику
- •1.13 Нелинейные цепи постоянного тока
- •2.1. Электротехнические устройства синусоидального тока
- •1.2. Элементы электрической
- •2.2 Индуктивный элемент
- •2.3 Емкостный элемент
- •2.4 Источники электрической энергии синусоидального тока
- •2.5 Максимальное, среднее и действующее значения синусоидальных эдс. Напряжений и токов
- •2.6. Различные представления синусоидальных величин
- •2.7 Закон ома в комплексной форме для резистивного, индуктивного и емкостного элементов
- •2.8 Законы кирхгофа для цепей синусоидального тока
- •2.9 Комплексный метод анализа цепей синусоидального тока
- •2.10 Неразветвленная цель синусоидального тока
- •2.14 Электрическая цепь с параллельным соединением ветвей
- •5.6. Подключение неразветвленнои цепи с индуктивным, резистивным и емкостным элементами к источнику постоянной эдс
- •1.7. Подключение последовательного соединения индуктивного и резистивного элементов к источнику синусоидальной эдс
- •5.8. Генератор пилообразного напряжения
- •6.1. Элементы магнитной цепи
- •6.1. Закон полного тока для магнитной цепи с постоянной магнитодвижущей силой
- •6.3. Свойства ферромагнитных материалов
- •6.4. Неразветвленная магнитная цепь
- •6.5. Неразветвлённая магнитная цепь с постоянным магнитом
- •6.6, Электромагнитные устройства постоянного тока
- •7.1. Переменный магнитный поток в катушке с магнитопроводом
- •7.1. Процессы намагничивания магнитопровода
2.6. Различные представления синусоидальных величин
Известно несколько способов представления величин, изменяющихся по синусоидальному закону: в виде тригонометрических функций, в виде графиков изменений функций во времени, в виде вращающихся векторов и, наконец, в виде комплексных чисел.
В § 2.4 и 2.5уже применялись представления синусоидально изменяющихся величин в виде тригонометрических функций, например (2.14), (2.15), и в виде графика изменений функций во времени (рис. 2.6).
Теперь рассмотрим представление величин, изменяющихся по синусоидальному закону, в виде вращающихся векторов и комплексных чисел.
Представление синусоидальных величин вращающимися векторами. Для представления синусоидально изменяющейся величины
a=Amsin(wt+¥)
с начальной фазой ¥ вращающимся вектором построим (рис. 2.10, а) радиус-вектор Аm этой величины длиной (в масштабе построения), равной амплитуде Аm, и под углом т|) к горизонтальной оси. Это будет его исходное положение в момент начала отсчета времени t = 0. Из конца радиуса-вектора Аm, находящегося в начальном положении, опустим на горизонтальную ось перпендикуляр, длина которого равна Аmsin¥. Предположим, что радиус-вектор вращается с постоянной угловой частотой w = 2п/Т = 2пf против направления движения часовой стрелки, где Т — период, f— частота вращения.
В момент времени t1 радиус-вектор Am будет повернут относительно начального положения на угол wt1 длина перпендикуляра, опущенного из его конца, будет равна Amsin(wt1+¥).
Очевидно, длина перпендикуляра, опущенного из конца вращающегося радиуса-вектора на горизонтальную ось, будет максимальной в момент временя t2, при котором wt2+¥=п/2
Amsin(wt2+¥).= Amsin (п/2) = Am
Рядом с окружностью, описываемой концом вращающегося радиуса-вектора, можно построить в прямоугольной системе координат график зависимости синусоидальной величины Amsin(wt+¥) от фазы wt или от времени ( (рис. 2.10, б). В момент t2 синусоидальная величина а достигает максимального значения. Далее по мере вращения радиуса-вектора синусоидальная величина a=Amsin(wt+¥), оставаясь положительной, уменьшается, достигая нулевого значения в момент времени t4 a в следующие моменты времени, например t5 и t6 мгновенные значения синусоидальной величины а получаютсяотрицательными, с момента /7 снова положительными и т. д.
Применение вращающихся векторов позволяет компактно представить на одном рисунке совокупность различных синусоидально изменяющихся величин одинаковой частоты при анализе сложной электрической цепи.
Представление синусоидальных величин комплексными числами. От представления синусоидальных величин вращающимися радиусами-векторами нетрудно перейти к представлению синусоидальных величин комплексными числами.
Дня того чтобы представить заданную в тригонометрической форме синусоидальную величину
а= Amsin(wt+¥) (2.20)
с начальной фазой ¥ комплексным числом, проведем на комплексной. плоскости (рис. 2.11) из начала координат под углом ф к оси действительных величин и чисел вектор, длина которого в масштабе построения равна амплитуде Ат синусоидальной величины. Конец этого вектора находится в точке, которой соответствует определенное комплексное число — комплексная амплитуда синусоидальной величины:
Так же обозначается и соответствующий комплексной амплитуде вектор на комплексной плоскости
При увеличении во времени фазы wt+¥ синусоидальной величины угол между век-
тором и осью действительных величин растет, т. е. получается вращающийся вектор
Amei¥ (wt+¥) = Amcos(wt+¥)+i Amsin(wt+¥)
Нетрудно видеть, что мнимая часть вращающегося вектора равна заданной синусоидальной величине (2.20).
По существу представление синусоидальной величины комплексной амплитудой Лт и соответствующим ей вектором на комплексной плоскости геометрически подобно представлению той же синусоидальной величины вращающимся радиусом-вектором Аm в момент времени t = 0 (рис. 2.10, а). Поэтому может создаться впечатление, что оба представления синусоидальных величин практически совпадают. В действительности это не так. В случае представления синусоидальных величин комплексными числами можно применить весьма эффективный комплексный метод анализа электрических цепей синусоидального тока, который в настоящее время завоевал всеобщее признание.
Вектор на комплексной плоскости, длина которого в масштабе построения равна действующему значению синусоидальной величины, и соответствующее комплексное число называются комплексным действующим значением синусоидальной величины:
Так же обозначается и сам вектор на комплексной (рис. 2.11).
Применяются три формы записи комплексного значения синусоидальной величины:
показательная форма
тригонометрическая форма
и алгебраическая форма
Переход от показательной формы к тригонометрической выполняется при помощи формулы Эйлера:
соответствует комплексное значение тока
Взаимное расположение векторов комплексных значений на векторной диаграмме не изменится, если начальные фазы ¥ всех комплексных значений уменьшить (увеличить) на одну и ту же величину. Это означает лишь одновременный поворот всех векторов на один и тот же угол. Часто при анализе электрических цепей векторную диаграмму строят так, чтобы вектор одного комплексного значения был направлен вдоль оси действительных величин. Такой вектор комплексного значения назовем исходным вектором.
Направления синусоидальных величин (ток, напряжение и др.), определяющих режим электрической цепи, периодически изменяются, но одно из двух направлений принимается положительным. Это направление выбирается произвольно и показывается стрелкой на схеме соответствующего участка электрической цепи.