Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002)
.pdf12.6. теыеойс |
381 |
бОБМПЗЙЮОП, ДМС МЕŒЩИ ЮБУФЙГ ОБИПДЙН |
|
’2(x; t) = ch „ ’~2(x; t) − sh „ ’~1(x; t) ; |
(12.107) |
лБЛ Й ŒЩЫЕ Œ (12.29), (12.31), ФЙМШДБ Œ (12.106), (12.107) ПВПЪОБЮБЕФ РТЕДУФБŒМЕОЙЕ, Œ ЛПФПТПН ЗБНЙМШФПОЙБО ДЙБЗПОБМЕО.
юФПВЩ ОБКФЙ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ У РПНПЭША (12.106) Й (12.107), ЪБНЕФЙН УМЕДХАЭЕЕ. œ ДЙБЗПОБМЙЪПŒБООПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ПРЕТБФПТЩ ’~1(x; t) É ’~2(x ; t ) ЛПННХФЙТХАФ, Й РПЬФПНХ УТЕДОЕЕ Œ (12.50) ТБУРБДБЕФУС ОБ РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ УТЕДОЙИ ПФ ЬЛУРПОЕОФ МЕŒЩИ Й РТБŒЩИ ŒЕМЙЮЙО. лБЦДПЕ ЙЪ ЬФЙИ УТЕДОЙИ РТБЛФЙЮЕУЛЙ УПŒРБДБЕФ У ЖХОЛГЙЕК зТЙОБ УŒПВПДОЩИ ЮБУФЙГ, ОБКДЕООПК ŒЩЫЕ, ПФМЙЮБСУШ МЙЫШ НОПЦЙФЕМСНЙ ch „ Й sh „ Œ РПЛБЪБФЕМСИ ЬЛУРПОЕОФ. рПЬФПНХ ХУТЕДОЕОЙЕ НПЦОП ЪБОПŒП ОЕ РТПŒПДЙФШ Й УТБЪХ ЪБРЙУБФШ ПФŒЕФ:
2 |
2 |
|
G10(x; t) |
ch2 |
„ |
G20(x; t) |
sh2 |
„ |
|
|
G1(x; t) = (2ıa)ch |
„+sh |
„−1 |
ch |
2 |
„ |
2 |
; |
(12.108) |
||
2 |
2 |
„−1 |
G20(x; t) |
|
G10(x; t) |
sh |
„ |
|
||
G2(x; t) = (2ıa)ch |
„+sh |
|
|
|
|
: |
(12.109) |
|||
рПДУФБŒМСС Œ (12.108) ŒЩТБЦЕОЙС (12.103) Й (12.104) ДМС G01(x; t) É G02(x; t), РПМХЮБЕН (12.51).
тЕЫЕОЙЕ 80 В. жХОЛГЙС зТЙОБ РТЙ ЛПОЕЮОПК ФЕНРЕТБФХТЕ НПЦЕФ ВЩФШ ОБКДЕОБ ФЕН ЦЕ НЕФПДПН, ЮФП Й ЖХОЛГЙС зТЙОБ РТЙ T = 0. уОБЮБМБ НЩ ТБУУНПФТЙН УЙФХБГЙА, ЛПЗДБ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ПФУХФУФŒХЕФ. рПУМЕ ЬФПЗП УППФОПЫЕОЙС (12.106) Й (12.107) РПЪŒПМСФ УŒСЪБФШ ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙК Й ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙК УМХЮБЙ.
œ ПФУХФУФŒЙЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ŒЩЮЙУМЕОЙЕ РТПЙЪŒПДЙФУС ФБЛ. рТЕПВТБЪХЕН РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ ПРЕТБФПТПŒ Œ ПРТЕДЕМЕОЙЙ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ (12.50) РП ЖПТНХМЕ (12.100) Й ХУТЕДОЙН РПМХЮЙŒЫЕЕУС ŒЩТБЦЕОЙЕ РП НБФТЙГЕ РМПФОПУФЙ РТЙ ЛПОЕЮОПК ФЕНРЕТБФХТЕ. ьФП ХУТЕДОЕОЙЕ ЗБХУУПŒП, РПЬФПНХ ЙНЕЕН
ei’j (x;t)e−i’j (0;0) = e− 21 (’j (x;t)−i’j (0;0))2 e 21 [’j (x;t);’j (0;0)] : |
(12.110) |
тБУУНПФТЙН РТБŒЩЕ ЮБУФЙГЩ (j = 1). œЩЮЙУМСЕН УТЕДОЕЕ Œ (12.110), РПМШЪХСУШ (12.36):
|
|
0 |
|eikx(t) − 1|2 ; |
|
(’j (x; t) − i’j (0; 0))2 = |
–k2Le−ak (2nB (k) + 1) |
(12.111) |
||
k>
ÇÄÅ x(t) = x −vt, Á nB (k) | ВПЪЕŒУЛБС ЖХОЛГЙС ТБУРТЕДЕМЕОЙС. лПННХФБФПТ Œ РТБŒПК ЮБУФЙ (12.110) ЕУФШ
|
|
|
|
0 |
|
|
[’j (x; t); ’j (0; 0)] = |
–k2Le−ak (eikx(t) − e−ikx(t)) : |
(12.112) |
||
|
|
|
|
k> |
|
рПЬФПНХ ŒЩТБЦЕОЙЕ (12.110) НПЦОП РЕТЕРЙУБФШ Œ ŒЙДЕ eA, ÇÄÅ |
|
||||
A = 2ı k>0 |
k |
(nB (k) + 1) |
eikx(t) − 1 + nB (k) e−ikx(t) − 1 : |
(12.113) |
|
|
e−ak |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.6. теыеойс |
383 |
Œ (11.14) ПФ ЙНРХМШУОПЗП РТЕДУФБŒМЕОЙС Л ЛППТДЙОБФОПНХ, Б ŒЩРПМОЙФШ ŒЩЮЙУМЕОЙЕ ЪБОПŒП.
йФБЛ, РПДБООПЕ ОБ ФХООЕМШОЩК ЛПОФБЛФ НЕЦДХ УЙУФЕНБНЙ A Й B ОБРТСЦЕОЙЕ eV РТЕДУФБŒМСЕФ УПВПК ТБЪОПУФШ ИЙНЙЮЕУЛЙИ РПФЕОГЙБМПŒ: eV = —B − —A. хДПВОП УДЕМБФШ ЛБМЙВТПŒПЮОПЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ, РТЙŒПДСЭЕЕ ЗБНЙМШФПОЙБО Л ŒЙДХ Htot =
HA |
+ |
HB |
+ |
Htun |
(t), ЗДЕ ЗБНЙМШФПОЙБО ФХООЕМЙТПŒБОЙС СŒОП ЪБŒЙУЙФ ПФ ŒТЕНЕОЙ УМЕ- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ДХАЭЙН ПВТБЪПН: |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Htun(t) = w e− |
ieV t |
+ |
A$ |
x=x0 |
+ h:c: : |
(12.121) |
|
|
|
|
|
|
B |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
$ |
|
|
|
пРЕТБФПТ ФХООЕМШОПЗП ФПЛБ ПРТЕДЕМСЕФУС ЛБЛ РТПЙЪŒПДОБС РП ŒТЕНЕОЙ ПФ ПРЕТБФПТБ |
|||||||||
ЪБТСДБ: |
|
|
|
|
$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
I = ie [Htot; QA] ; |
|
QA = |
A+(x) |
A(x)dx : |
(12.122) |
||||
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
œЩЮЙУМСС ЛПННХФБФПТ Œ (12.122), РПМХЮБЕН |
|
|
|
|
|
||||
I |
= ie w e− |
ieV t |
+ |
A − w e |
ieV t + |
B x=x0 |
: |
(12.123) |
|
|
B |
A |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нЩ ВХДЕН ЙУЛБФШ ФХООЕМШОЩК ФПЛ У РПНПЭША ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК РП (НБМПК) БНРМЙФХДЕ ФХООЕМЙТПŒБОЙС w. рПЬФПНХ ТБЪХНОП РЕТЕКФЙ Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС
РП ПФОПЫЕОЙА Л ĂŒПЪНХЭЕОЙАĄ
Htun(t):
I(t) = U −1 |
(t)I(t)U (t) 0 ; |
U (t) = T exp |
−i t |
Htun(t )dt |
|
: |
(12.124) |
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
тБЪМБЗБС ( ) Œ ТСД РП УФЕРЕОСН , ХВЕЦДБЕНУС, ЮФП ЗМБŒОЩК ŒЛМБД ДБЕФУС ЮМЕОПН
U t w
ТБЪМПЦЕОЙС РЕТŒПЗП РПТСДЛБ. уППФŒЕФУФŒХАЭЙК ПРЕТБФПТ РПД ЪОБЛПН ХУТЕДОЕОЙС::: 0 Œ (12.124) ÅÓÔØ
e|w|2 |
|
t |
[ |
B (t ) |
A(t ); |
A (t) B (t)]e− |
( − − [ A (t ) B (t ); |
B (t) A(t)]e |
( − |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
+ |
ieV t t) |
+ |
+ |
ieV t |
t) |
−∞
(12.125) дŒБ ЙЪ ЮЕФЩТЕИ УМБЗБЕНЩИ, РПМХЮБАЭЙИУС РТЙ ТБУРЙУЩŒБОЙЙ ЛПННХФБФПТПŒ Œ (12.125), НПЦОП РТЕПВТБЪПŒБФШ, УДЕМБŒ ЪБНЕОХ t − t → t − t. рТЙ ЬФПН (12.125) РТЙПВТЕФБЕФ ЖПТНХ, Œ ЛПФПТПК ПВМБУФЙ t < t Й t > t ПЛБЪЩŒБАФУС ТБŒОПРТБŒОЩНЙ. œ ТЕЪХМШФБФЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ФХООЕМШОПЗП ФПЛБ (12.124) РТЙПВТЕФБЕФ ŒЕУШНБ ХДПВОЩК ŒЙД:
I(t) = e|w|2 |
∞ |
KBA(t − t )e−ieV (t −t) |
− KAB (t − t )eieV (t −t) |
dt ; |
(12.126) |
|||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
ÇÄÅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
KBA(t − t ) = |
B+(t ) |
B (t) |
A(t ) |
A+(t) ; |
|
(12.127) |
|
|
KAB (t − t ) = |
A+(t ) |
A(t) |
B (t ) |
B+(t) : |
|
(12.128) |
384 змбœб 12. впъпойъбгйс й мбффйоцетпœулбс цйдлпуфш
уТЕДОЙЕ Œ (12.127) ВЕТХФУС УППФŒЕФУФŒЕООП РП ПУОПŒОЩН УПУФПСОЙСН УЙУФЕН A ЙМЙ B. пФНЕФЙН, ЮФП РПМХЮЕООПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ (12.126) ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ ЛПОЛТЕФОЩИ ДЕФБМЕК ЖЙЪЙЛЙ ФХООЕМЙТПŒБОЙС Й ЙНЕЕФ ŒЕУШНБ ПВЭЙК ИБТБЛФЕТ.
оБУ ЙОФЕТЕУХЕФ УЙФХБГЙС, ЛПЗДБ УЙУФЕНЩ A Й B РТЕДУФБŒМСАФ УПВПК МБФФЙОЦЕТПŒУЛЙЕ ЦЙДЛПУФЙ. œЩТБЪЙН ПРЕТБФПТЩ ТПЦДЕОЙС Й ХОЙЮФПЦЕОЙС ЬМЕЛФТПОБ Œ (12.126) ЮЕТЕЪ ПРЕТБФПТЩ Œ ВПЪПООПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ. дМС ПРТЕДЕМЕООПУФЙ ТБУУНПФТЙН ПРЕТБФПТЩ A+(x) É A(x) ТПЦДЕОЙС Й ХОЙЮФПЦЕОЙС ЬМЕЛФТПОБ Œ УЙУФЕНЕ A. оБЙВПМЕЕ ПВЭЕЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ЬФЙИ ПРЕТБФПТПŒ, УРТБŒЕДМЙŒПЕ РТЙ УЛПМШ ХЗПДОП УЙМШОПН ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЙ, ЙНЕЕФ УМЕДХАЭЙК ŒЙД:
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(x) = |
=1 |
Am;m ei(m−m )p0xeim’1 |
(x)+im ’2 |
(x) ; |
(12.129) |
||||
m |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
||
+(x) = |
=1 |
A |
e−i(m−m )p0xe−im’1 |
(x)−im ’2 |
(x) : |
(12.130) |
|||
A |
m;m |
|
|
|
|
|
|
||
m |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
жЙЪЙЮЕУЛЙК УНЩУМ ЬФПЗП ŒЩТБЦЕОЙС Œ ФПН, ЮФП ФХООЕМЙТХАЭЙК Œ УЙУФЕНХ A ЬМЕЛФТПО ПРЙУЩŒБЕФУС УХРЕТРПЪЙГЙЕК ОЕУЛПМШЛЙИ ŒПЪНПЦОЩИ УПУФПСОЙК. ьМЕЛФТПО НПЦЕФ РТЕŒТБФЙФШУС Œ РТБŒХА ЙМЙ Œ МЕŒХА ЮБУФЙГХ, Б НПЦЕФ | Œ ДŒЕ РТБŒЩИ ЮБУФЙГЩ Й МЕŒХА ДЩТЛХ, Й Ф. Р. оЙЦЕ НЩ ТБУУНПФТЙН ЪБДБЮХ, ОЕ ХЮЙФЩŒБС ŒЛМБДЩ УПУФБŒОЩИ ПРЕТБФПТПŒ. вХДЕН УЮЙФБФШ, ЮФП A(x) = (2ıa)−1=2ei’1(x), A+(x) = (2ıa)−1=2e−i’1(x). лБЛ ВХДЕФ ŒЙДОП ЙЪ ДБМШОЕКЫЕЗП, ТЕЫЕОЙЕ ВЕЪ ФТХДБ ПВПВЭБЕФУС ОБ ВПМЕЕ УМПЦОЩЕ УМХЮБЙ.
лПТТЕМСГЙПООЩЕ ЖХОЛГЙЙ ПРЕТБФПТПŒ e±i’1(x) РТЙ РТПЙЪŒПМШОПК ФЕНРЕТБФХТЕ ВЩМЙ ОБКДЕОЩ Œ ЪБДБЮЕ 80. тБУУНПФТЙН УОБЮБМБ ВПМЕЕ РТПУФПК УМХЮБК T = 0. рПДУФБŒМСС ŒЩТБЦЕОЙЕ (12.51) ДМС ЖХОЛГЙК зТЙОБ Œ (12.127), ОБИПДЙН
KBA(t − t ) = (2ıa)−2 |
a~ − i(t − t) |
; KAB (t − t ) = KBA(t − t) ; |
(12.131) |
|
a~ |
¸ |
|
|
|
|
|
ÇÄÅ |
|
|
|
a~ = a=vF É ¸ = 2(1 + sh2 „A + sh2 „B ) : |
(12.132) |
||
œЩТБЦЕОЙЕ (12.127) ХДПВОП ŒЩЮЙУМЙФШ У РПНПЭША ЙЪŒЕУФОПЗП РТЕДУФБŒМЕОЙС ЗБННБ-ЖХОЛГЙЙ:
∞ |
|
bz−1 |
|
|
e(a+it)b (a + it)−z dt = 2ı |
`(z) ; |
(12.133) |
−∞
ŒЕТОПЗП РТЙ b > 0 Й z > 0. оБИПДЙН, ЮФП РТЙ V > 0 ŒЛМБД Œ ЙОФЕЗТБМ РП ŒТЕНЕОЙ Œ (12.127) ДБЕФ ФПМШЛП РЕТŒЩК ЮМЕО, Б РТЙ V < 0 | ФПМШЛП ŒФПТПК ЮМЕО. уППФŒЕФУФŒЕООП, ФХООЕМШОЩК ФПЛ ЕУФШ
I = e|w|2 |
a~¸ |
(eV )¸−1 |
ÐÒÉ V > 0 |
, |
(12.134) |
2ıa2`(¸) % |
( eV )¸−1 |
ÐÒÉ V < 0 |
. |
||
|
|
− − |
|
|
|
рПМХЮБЕН, ЮФП ФХООЕМШОЩК ФПЛ РТЙ T = 0 ЕУФШ УФЕРЕООБС ЖХОЛГЙС I V ¸−1, РТЙЮЕН РПЛБЪБФЕМШ УФЕРЕОЙ ЪБŒЙУЙФ ПФ УЙМЩ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС Œ УЙУФЕНБИ A Й B. пФНЕФЙН
