Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002)
.pdf352 |
змбœб 11. йънетеойе жхолгйк зтйоб |
дП УЙИ РПТ НЩ ОЕ ДЕМБМЙ ОЙЛБЛЙИ РТЕДРПМПЦЕОЙК П ŒЕМЙЮЙОЕ ФЕНРЕТБФХТЩ. иПФС ЙОФЕЗТБМ Œ (11.110) ŒЩЮЙУМСЕФУС ЬМЕНЕОФБТОП РТЙ РТПЙЪŒПМШОПК ФЕНРЕТБФХТЕ, НЩ ОБКДЕН УФТХЛФХТОЩК ЖБЛФПТ S(!; q) ФПМШЛП Œ РТЕДЕМЕ ОХМЕŒПК ФЕНРЕТБФХТЩ. рТЙ T = 0 ЖЕТНЙЕŒУЛБС ЖХОЛГЙС ТБУРТЕДЕМЕОЙС РТЙОЙНБЕФ ЪОБЮЕОЙС 0 Й 1. рПЬФПНХ ŒЩТБЦЕОЙЕ (11.110) НПЦОП ЪБРЙУБФШ Œ ŒЙДЕ
|
m |
∞ |
„(p−2 − p2) − „(p+2 |
− p2) pdp ; |
|
|
S(!; q) = |
ıq |
|
|
(11.111) |
||
|
|
| | |
=q |
|
|
|
|
|
m ! |
|
|||
ÇÄÅ |
|
p±2 |
= p02 − q2=4 m! |
|
|
|
|
|
|
(11.112) |
|||
| ЛПТОЙ ХТБŒОЕОЙК ‰± = 0. тБУУНПФТЙН ДМС ПРТЕДЕМЕООПУФЙ УМХЮБК ! > 0. фПЗДБ p− > p+. œ ЪБŒЙУЙНПУФЙ ПФ ФПЗП, ЛБЛ ОЙЦОЙК РТЕДЕМ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС m!=q УППФОПУЙФУС У p+ É p−, ŒПЪНПЦОЩ ТБЪОЩЕ УМХЮБЙ:
Á) œÏ-ÐÅÒŒÙÈ, ÐÒÉ m!=q > p− ЙОФЕЗТБМ (11.111) ПЛБЪЩŒБЕФУС ТБŒОЩН ОХМА. ьФП РТПЙУИПДЙФ РТЙ
(m!=q)2 > p0 + m! − q2=4 : |
(11.113) |
œЩДЕМСС РПМОЩК ЛŒБДТБФ, РПМХЮБЕН ХТБŒОЕОЙЕ ЗТБОЙГЩ ПВМБУФЙ S(!; q) > 0:
|m!=q − q=2| = p0 : |
(11.114) |
ьФБ ЗТБОЙГБ УПУФПЙФ ЙЪ ДŒХИ ОЕУŒСЪОЩИ ЮБУФЕК: |
|
!1;2(q) = ±p0q=m + q2=2m : |
(11.115) |
В) œП-ŒФПТЩИ, РТЙ m!=q < p+ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ Œ (11.111) РТПЙЪŒПДЙФУС ПФ p− ÄÏ
p+, ÞÔÏ ÄÁÅÔ |
= |
m! |
|
m |
|
||
S = 2ıq p+2 − p−2 |
ıq : |
(11.116) |
|
ьФП ŒЩТБЦЕОЙЕ УРТБŒЕДМЙŒП Œ ПВМБУФЙ |
|
|
|
(m!=q)2 < p0 − m! − q2=4 ; |
(11.117) |
||
Ô. Å. ÐÒÉ |
|
|
|
! < !3(q) = p0q=m + q2=2m : |
(11.118) |
||
Œ) оБЛПОЕГ, ЕУМЙ p+ < m!=q < p−, ФП ЙОФЕЗТЙТПŒБФШ РП dp УМЕДХЕФ ПФ p = m!=q ДП p = p−. œ ЬФПН УМХЮБЕ УФТХЛФХТОЩК ЖБЛФПТ ТБŒЕО
S(!; q) = |
m |
p−2 − (m!=q)2 : |
(11.119) |
2ıq |
хДПВОП РЕТЕРЙУБФШ ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ, ŒЩДЕМЙŒ РПМОЩК ЛŒБДТБФ:
S(!; q) = |
m |
p02 − (m!=q − q=2)2 : |
(11.120) |
2ıq |
11.4. теыеойс |
353 |
уПВЙТБС ТЕЪХМШФБФЩ ДМС ТБЪМЙЮОЩИ РТЕДЕМШОЩИ УМХЮБЕŒ ŒНЕУФЕ Й ŒŒПДС ВЕЪТБЪНЕТОЩЕ РЕТЕДБООЩЕ ЬОЕТЗЙА !~ = m!=p20 Й ЙНРХМШУ q~ = q=p0, РТЙИПДЙН Л УМЕДХАЭЕНХ ПФŒЕФХ:
mp0 |
|
0 |
|
ÐÒÉ 0 < !~ < q~2=2 |
|
q~; |
|
||
2ıq~ |
|
0 |
|
ÐÒÉ !~ > q~ + q~2 |
=2 ; |
|
|
||
2!~ |
|
ÐÒÉ 0 < !~ < q~ |
|
q~ =2 ; |
|
||||
|
|
|
2 |
|
− |
|
|
|
|
S(q; !) = |
|
|
|
|
−2 |
|
(11.121) |
||
|
1 − (!=~ q~ − q=~ 2) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ÐÒÉ !~ > q~ − q~2=2 . |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оБ ТЙУ. 11.11 ЙЪПВТБЦЕОЩ МЙОЙЙ ХТПŒОС S(!; q) Й РПЛБЪБОЩ ЗТБОЙГЩ ПВМБУФЙ, ЗДЕ S(!; q) = 0. йЪПВТБЦЕОЩ ФБЛЦЕ ЛТЙŒЩЕ ! = q2=2m É m! = p0q − q2=2.
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
3.5 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2.5 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
1.5 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0.5 |
1 |
1.5 |
2 |
2.5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
òÉÓ. 11.11
зТБОЙГБ ПВМБУФЙ S(!; q) > 0 РЕТЕУЕЛБЕФ РТСНХА ! = 0 РТЙ q = 2p0. œ ЬФПК ЦЕ ФПЮЛЕ ПЛБОЮЙŒБЕФУС ЗТБОЙГБ ПВМБУФЙ m! = p0q −q2=2. фБЛЙН ПВТБЪПН, ФПЮЛБ q = 2p0 ПЛБЪЩŒБЕФУС ПУПВПК ФПЮЛПК УФТХЛФХТОПЗП ЖБЛФПТБ. ьФХ ПУПВЕООПУФШ НПЦОП ЙОФЕТРТЕФЙТПŒБФШ, ТБУУНБФТЙŒБС ТБУУЕСОЙЕ ОЕКФТПОБ ЦЙДЛПУФША ЛБЛ ТПЦДЕОЙЕ РБТЩ ЮБУФЙГБ{ ДЩТЛБ. рТЙ ЬФПН ! | ЬФП ЬОЕТЗЙС РБТЩ, Б q | ЕЕ ЙНРХМШУ. еУМЙ q < 2p0, ФП ЬОЕТЗЙС РБТЩ НПЦЕФ ВЩФШ ЛБЛ ХЗПДОП НБМБ, РПФПНХ ЮФП РБТХ У ФБЛЙН ЙНРХМШУПН НПЦОП УПЪДБФШ, РЕТЕНЕУФЙŒ ЮБУФЙГХ ŒДПМШ ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ Œ УПУФПСОЙЕ У ДТХЗЙН ЙНРХМШУПН, ОП У РПЮФЙ ФПК ЦЕ ЬОЕТЗЙЕК. еУМЙ ЦЕ q > 2p0, ФП ЮБУФЙГХ РТЙДЕФУС РЕТЕŒЕУФЙ Œ УПУФПСОЙЕ У ДТХЗПК ЬОЕТЗЙЕК, РПУЛПМШЛХ ОБ ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ ОЕФ УПУФПСОЙК У ФТЕВХЕНЩН ЙНРХМШУПН. йНЕООП ЬФПФ ЬЖЖЕЛФ Й УПЪДБЕФ ПУПВЕООПУФШ РТЙ q = 2p0.
йОФЕТЕУОП ПФНЕФЙФШ, ЮФП НБЛУЙНХН УФТХЛФХТОПЗП ЖБЛФПТБ S(!; q) РТЙ ЖЙЛУЙТПŒБООПН |q| > p0 ДПУФЙЗБЕФУС РТЙ ! = q2=2m, ЮФП УППФŒЕФУФŒХЕФ ЪБЛПОХ ДЙУРЕТУЙЙ ЮБУФЙГ (УН. (11.120)). рБТБВПМБ ! = q2=2m ЙЪПВТБЦЕОБ ОБ ТЙУ. 11.11.
тЕЫЕОЙЕ 73 В. тБУУНПФТЙН УФТХЛФХТОЩК ЖБЛФПТ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ. еУФЕУФŒЕООП ПЦЙДБФШ, ЮФП ПО ВХДЕФ РПИПЦ ОБ УФТХЛФХТОЩК ЖБЛФПТ ЖЕТНЙ-ЗБЪБ, У ФЕН МЙЫШ
354 |
змбœб 11. йънетеойе жхолгйк зтйоб |
ПФМЙЮЙЕН, ЮФП Œ ОЕН ДПМЦОП ВЩФШ УМБЗБЕНПЕ, ПФŒЕЮБАЭЕЕ РТПГЕУУБН ТБУУЕСОЙС У ЙУРХУЛБОЙЕН ЛŒБОФБ ОХМШ-ЪŒХЛБ.
зБНЙМШФПОЙБО ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ЖЕТНЙПОПŒ ЙНЕЕФ ŒЙД (8.1). дМС РТПУФПФЩ ВХДЕН УЮЙФБФШ, ЮФП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ НЕЦДХ ЮБУФЙГБНЙ УМБВПЕ Й ЛПТПФЛПДЕКУФŒХАЭЕЕ: V (r − r ) = g‹(r − r ). нБГХВБТПŒУЛЙК ЛПТТЕМСФПТ РМПФОПУФШ{РМПФОПУФШ K(!; q), ЮЕТЕЪ ЛПФПТЩК ŒЩТБЦБЕФУС УФТХЛФХТОЩК ЖБЛФПТ, РПМХЮБЕФУС УХННЙТПŒБОЙЕН ĂРХЪЩТШЛПŒЩИĄ ДЙБЗТБНН, ЙЪПВТБЦЕООЩИ ОБ ТЙУ. 11.12.
òÉÓ. 11.12
œЕТЫЙОБ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ОБ ТЙУ. 11.12 У ХЮЕФПН УРЙОПŒПК УФТХЛФХТЩ ЕУФШ
g‹(r − r ) (‹¸˛ ‹¸ ˛ − ‹¸¸ ‹˛˛ ) ; |
(11.122) |
ЗДЕ РЕТŒПЕ УМБЗБЕНПЕ (11.122) РТЕДУФБŒМСЕФ УПВПК ИБТФТЙЕŒУЛЙК ŒЛМБД, Б ŒФПТПЕ | ЖПЛПŒУЛЙК, ЙМЙ ПВНЕООЩК ŒЛМБД. œ УМХЮБЕ ЛПТПФЛПДЕКУФŒЙС ПВБ ЬФЙ ŒЛМБДБ ЙНЕАФ ПДОХ Й ФХ ЦЕ ЛППТДЙОБФОХА ЪБŒЙУЙНПУФШ Й ДПМЦОЩ ВЩФШ ТБУУНПФТЕОЩ ПДОПŒТЕНЕООП.
пФНЕФЙН, ЮФП Œ ЪБДБЮЕ 44 РТЙ ТБУУНПФТЕОЙЙ РПУМЕДПŒБФЕМШОПУФЙ ДЙБЗТБНН ДМС ДЙОБНЙЮЕУЛЙ ЬЛТБОЙТПŒБООПЗП ЛХМПОПŒУЛПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС V (!; |q|) НЩ ПЗТБОЙЮЙМЙУШ ХЮЕФПН ПДОПЗП МЙЫШ ИБТФТЙЕŒУЛПЗП ŒЛМБДБ Œ ŒЕТЫЙОХ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. фБЛПЕ ХРТПЭЕОЙЕ ВЩМП ŒПЪНПЦОП ЙЪ-ЪБ ФПЗП, ЮФП ДМС ЛХМПОПŒУЛПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС РТЙ НБМПН РЕТЕДБООПН ЙНРХМШУЕ |q| p0 ИБТФТЙЕŒУЛЙК ŒЛМБД НОПЗП ВПМШЫЕ ЖПЛПŒУЛПЗП. вПМЕЕ ФПЗП, ЙНЕООП ИБТФТЙЕŒУЛПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ 4ıe2=q2 ТБУИПДЙФУС РТЙ q → 0, ЙЪ-ЪБ ЮЕЗП Й ŒПЪОЙЛБЕФ ОЕПВИПДЙНПУФШ ТБУУНБФТЙŒБФШ ЪБДБЮХ ПВ ЬЛТБОЙТПŒБОЙЙ. œ УМХЮБЕ ЦЕ ЛПТПФЛПДЕКУФŒЙС УЙФХБГЙС УПŒЕТЫЕООП ДТХЗБС. ьФП ŒЙДОП ХЦЕ ЙЪ ФПЗП, ЮФП ИБТФТЙЕŒУЛЙК Й ЖПЛПŒУЛЙК ŒЛМБДЩ РПМОПУФША УПЛТБЭБАФ ДТХЗ ДТХЗБ ДМС ЮБУФЙГ У ПДОПК Й ФПК ЦЕ РТПЕЛГЙЕК УРЙОБ. лПТПФЛПДЕКУФŒХАЭЙК РПФЕОГЙБМ РТЙŒПДЙФ Л ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА ФПМШЛП ДМС ЖЕТНЙПОПŒ У РТПФЙŒПРПМПЦОЩНЙ УРЙОБНЙ. юФПВЩ РТЙОСФШ ŒП ŒОЙНБОЙЕ ЬФП ПВУФПСФЕМШУФŒП ОЕПВИПДЙНП РТПУХННЙТПŒБФШ МЕУФОЙЮОЩЕ ДЙБЗТБННЩ ОБ ТЙУ. 11.12 У ХЮЕФПН УРЙОПŒПК УФТХЛФХТЩ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС (11.122).
дЙБЗТБННБН ОБ ТЙУ. 11.12 УППФŒЕФУФŒХЕФ ЪБРБЪДЩŒБАЭБС ДŒХИЮБУФЙЮОБС ЖХОЛГЙС зТЙОБ
KR(!; q) = −˝(!; q) − g˝2(!; q) − g2˝3(!; q) − : : : = − |
˝(!; q) |
; (11.123) |
1 − g˝(!; q) |
ЗДЕ ˝(!; q) | ЪБРБЪДЩŒБАЭЙК РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ. œПУРПМШЪХЕНУС ОБКДЕООЩН Œ ЪБДБЮЕ (44) ФПЮОЩН ŒЩТБЦЕОЙЕН ДМС ˝(!; q) ЙДЕБМШОПЗП ЖЕТНЙ-ЗБЪБ:
˝(!; q) = |
0 |
(F (s − a) |
− F (s + a)) ; |
|
q |
|
! + i0 |
|
|
|||
8a |
a = |
2p0 |
; s = |
vF k |
; |
(11.124) |
||||||
ÇÄÅ |
F (u) = |
|
u− x dx = 2u + (1 − u2) ln u |
+ |
1 : |
|
(11.125) |
|||||
|
|
|
1 |
1 |
x2 |
|
|
u |
|
1 |
|
|
|
|
|
−1 |
|
− |
|
|
|
− |
|
|
|
356 змбœб 11. йънетеойе жхолгйк зтйоб
ЗДЕ A | ŒЩЮЕФ K(s) Œ РПМАУЕ s = s0, Á KÒÅÇ(s) | ТЕЗХМСТОБС ЖХОЛГЙС, ТБŒОБС ОХМА РТЙ s > 1.
œЕМЙЮЙОХ A ОЕФТХДОП ОБКФЙ, ŒЩЮЙУМСС ŒЩЮЕФ ŒЩТБЦЕОЙС K(s) = −˝(s)=(1 −
g˝(s)). рПМХЮБЕН |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
˝(s0) |
= |
|
2 |
|
|
|
|
|
: |
(11.128) |
|
d˝(s) |
$ |
s |
+ 1 |
2s |
|
1 |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
g |
ds |
g2 0 ln s0 |
|
1 |
− s2 |
|
0 |
|
|
|||
|
|
$s=s0 |
0 |
− |
|
0 |
− |
|
|
|
||
|
|
$ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хЮЙФЩŒБС, ЮФП УЛПТПУФШ ОХМШ-ЪŒХЛБ$ |
s0 ХДПŒМЕФŒПТСЕФ УППФОПЫЕОЙА g˝(s) = 1, ŒЩТБ- |
|||||||||||
ЦЕОЙЕ ДМС A НПЦОП ХРТПУФЙФШ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
s0(s02 − 1) |
|
|
: |
|
|
|
|
(11.129) |
||
|
|
g |
1 − g 0 |
s02 − 1 |
|
|
|
|
|
|
||
йФБЛ, ОХМШ-ЪŒХЛПŒПК РПМАУ Œ (11.127) РТЙŒПДЙФ Л ‹-ЖХОЛГЙПООПК ПУПВЕООПУФЙ Œ УФТХЛФХТОПН ЖБЛФПТЕ. рЙЛ ПЛБЪЩŒБЕФУС ТЕЪЛЙН, РПУЛПМШЛХ Œ МЙОЕБТЙЪПŒБООПК ФЕПТЙЙ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ ОХМШ-ЪŒХЛ ОЕ ЪБФХИБЕФ. œ ДЕКУФŒЙФЕМШОПУФЙ ЦЕ ЫЙТЙОБ РЙЛБ ВХДЕФ ЛПОЕЮОПК, РПТСДЛБ ПВТБФОПЗП ŒТЕНЕОЙ ЪБФХИБОЙС ≈ max [!2; T 2].
рПДЮЕТЛОЕН ЕЭЕ ТБЪ, ЮФП ŒЩТБЦЕОЙЕ (11.127) УРТБŒЕДМЙŒП ФПМШЛП РТЙ ДПУФБФПЮОП НБМЩИ q, Б РТЙ ВПМШЫЙИ q ОХМШ-ЪŒХЛПŒПК РЙЛ УМЙŒБЕФУС У ОЕРТЕТЩŒОЩН ŒЛМБДПН, Й KÒÅÇ(s) ЙУЮЕЪБЕФ. пФНЕФЙН, ЮФП У ЖПТНБМШОПК ФПЮЛЙ ЪТЕОЙС ОБЫЙ ТЕЪХМШФБФЩ ПЗТБОЙЮЕОЩ РТЕДРПМПЦЕОЙЕН П НБМПУФЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС g, РПЪŒПМСАЭЙН ПФВТПУЙФШ ŒУЕ ДЙБЗТБННЩ ЛТПНЕ РХЪЩТШЛПŒЩИ. оБ УБНПН ЦЕ ДЕМЕ ŒУЕ УЛБЪБООПЕ П РПŒЕДЕОЙЙ УФТХЛФХТОПЗП ЖБЛФПТБ Œ ПВМБУФЙ q p0, ! EF ЛБЮЕУФŒЕООП УРТБŒЕДМЙŒП Й ДМС РТПЙЪŒПМШОП УЙМШОПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. дЕМП Œ ФПН, ЮФП Œ ЬФПК ПВМБУФЙ ТБВПФБЕФ ФЕПТЙС ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ Й ДМС ОБИПЦДЕОЙС ЛПТТЕМСГЙПООПК ЖХОЛГЙЙ РМПФОПУФШ{РМПФОПУФШ НПЦОП ŒПУРПМШЪПŒБФШУС ЛЙОЕФЙЮЕУЛЙН ХТБŒОЕОЙЕН (8.7), ТЕЫЕОЙЕ ЛПФПТПЗП ЬЛŒЙŒБМЕОФОП УХННЙТПŒБОЙА РХЪЩТШЛПŒЩИ ДЙБЗТБНН.
тЕЫЕОЙЕ 74 Б. йЪ ЗБНЙМШФПОЙБОБ (11.27) ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ОЕКФТПОПŒ У РМПФОПУФША СДЕТ, ТБУУНПФТЕООПЗП Œ ЪБДБЮБИ (72) Й (73), ОЕФТХДОП РПМХЮЙФШ ŒЙД ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС Œ НПДЕМЙ ДЕВБЕŒУЛПЗП ЦЕМЕ:
|
|
|
Hint = |
|
2ıah— |
2 |
‹j = −j0 div u ; |
|
(11.130) |
||||||
|
|
|
− |
— |
‹j(R; t) ; |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ЗДЕ R | ЛППТДЙОБФБ ОЕКФТПОБ. уППФŒЕФУФŒЕООП, ŒЛМБД ЖПОПОПŒ Œ УФТХЛФХТОЩК ЖБЛ- |
|||||||||||||||
ÅÓÔØ S(!; q) = 2 Im |
K |
R (!; q), ÇÄÅ |
|
|
|
|
|||||||||
ÔÏÒ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
K |
R(r; t) = |
i |
2ıah— |
2 |
|
2 |
|
‹j(r; t)‹j(0; 0) − ‹j(0; 0)‹j(r; t) Ô ; |
t > 0 |
(11.131) |
|||||
|
− |
— |
|
|
0; |
|
|
|
t < 0 |
|
|||||
уТБŒОЙŒБС ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ У ПРТЕДЕМЕОЙЕН ЖПОПООПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ DR(x; x ) = |
|||||||
−i„(t − t ) [’(x); ’(x )] Ô, ÇÄÅ ’(x) = |
c√j0 div u (УН. ŒЩТБЦЕОЙС (6.5) Й (6.7)), РП- |
||||||
|
УППФОПЫЕОЙЕ |
|
|
|
|
|
|
МХЮБЕН |
|
|
ıah2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
KR(r; t) = |
2 —c— |
DR(r; t) : |
(11.132) |
|
11.4. теыеойс |
|
|
|
|
357 |
ъБРБЪДЩŒБАЭБС ЖХОЛГЙС зТЙОБ ДЕВБЕŒУЛЙИ ЖПОПОПŒ ЕУФШ |
|
||||
D |
R |
(!; q) = |
!02(q) |
; !0(q) = c|q| : |
(11.133) |
|
!2 − !02(q) + i0 sign ! |
||||
пФУАДБ Im DR(!; q) = ı2 !0(q) [‹(! − !0(q)) − ‹(! + !0(q))], Й РПЬФПНХ
2ıah—2 2
S(!; q) = ı !0(q) (‹(! − !0(q)) − ‹(! + !0(q))) : (11.134)
—c
пФНЕФЙН, ЮФП ПФТЙГБФЕМШОЩК ЪОБЛ ŒФПТПЗП УМБЗБЕНПЗП Œ (11.134) УПЗМБУХЕФУС У ФТЕВПŒБОЙЕН РПМПЦЙФЕМШОПУФЙ ŒЕТПСФОПУФЙ ТБУУЕСОЙС ОЕКФТПОПŒ. ьФП ПВЕУРЕЮЙŒБЕФУС НОПЦЙФЕМЕН 1=(1 − e−˛! ) Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (11.28) ДМС УЕЮЕОЙС ТБУУЕСОЙС.
лБЛ УМЕДХЕФ ЙЪ (11.134), ŒЕТПСФОПУФШ ТБУУЕСОЙС У РЕТЕДБЮЕК ЛТЙУФБММХ ЬОЕТЗЙЙ ! Й ЙНРХМШУБ q РТПРПТГЙПОБМШОБ
(Nq + 1) ‹(! − !0(q)) + Nq ‹(! + !0(q)) ; |
ÇÄÅ Nq = |
1 |
(11.135) |
e˛!0(q) − 1 |
| ВПЪЕŒУЛБС ЖХОЛГЙС ТБУРТЕДЕМЕОЙС. фБЛЙН ПВТБЪПН, РПМПЦЕОЙЕ РЙЛБ Œ УФТХЛФХТОПН ЖБЛФПТЕ, ТБУУНБФТЙŒБЕНПЕ ЛБЛ ЖХОЛГЙС ! Й q, РПЪŒПМСЕФ ПРТЕДЕМЙФШ УРЕЛФТ ЖПОПОПŒ.
тЕЫЕОЙЕ 74 В. жХОЛГЙС зТЙОБ ЖПОПОБ Œ НЕФБММЕ D0(!; q) = !02(q)=(!2 − !02(q)) РЕТЕОПТНЙТХЕФУС ЪБ УЮЕФ ЬМЕЛФТПО{ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. уПЗМБУОП ФЕПТЙЙ нЙЗДБМБ (УН. ЪБДБЮХ 31), ŒУЕ ОБЙВПМЕЕ УХЭЕУФŒЕООЩЕ ЬЖЖЕЛФЩ НПЦОП ХЮЕУФШ У РПНПЭША РПМСТЙЪБГЙПООПЗП ПРЕТБФПТБ, РТЙЮЕН УБН РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ НПЦЕФ ВЩФШ ОБКДЕО ЮЕТЕЪ РЕТЕОПТНЙТПŒБООЩЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ВЕЪ ХЮЕФБ ŒЕТЫЙООЩИ РПРТБŒПЛ. уППФŒЕФУФŒЕООП
D(!; q) = |
D0(!; q) |
= |
!02(q) |
; !0(q) = c|q| ; |
1 − g2˝(!; q)D0(!; q) |
!2 − !02(q)(1 + g2˝(!; q)) |
(11.136) ЗДЕ РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ ˝(!; q) ДБЕФУС УППФОПЫЕОЙСНЙ (11.124) Й (11.125). рТЙ ЬФПН, ЛБЛ Й Œ ЪБДБЮБИ 31 Й 44, ОБУ ЙОФЕТЕУХЕФ ФПМШЛП ĂИБТФТЙЕŒУЛЙЕĄ ŒЛМБДЩ, ДБАЭЙЕУС ДЙБЗТБННБНЙ, ЛПФПТЩЕ ТБУРБДБАФУС ОБ ОЕУŒСЪОЩЕ ЮБУФЙ РТЙ ТБЪТЕЪБОЙЙ МАВПК ЖПОПООПК МЙОЙЙ (ПУФБМШОЩЕ ДЙБЗТБННЩ НБМЩ Œ УЙМХ ФЕПТЕНЩ нЙЗДБМБ | УН. ЪБДБЮХ 30). рПЬФПНХ Œ ŒЩТБЦЕОЙСИ (11.124) Й (11.125) Œ ДБООПН УМХЮБЕ УМЕДХЕФ ЙУРПМШЪПŒБФШ РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК = 2 0, ХЮЙФЩŒБАЭХА ПВЕ РТПЕЛГЙЙ УРЙОБ.
рПУЛПМШЛХ ИБТБЛФЕТОЩЕ ! Й q, РТЕДУФБŒМСАЭЙЕ ДМС ОБУ ЙОФЕТЕУ, ЕУФШ ! ≈ cq, ВЕЪТБЪНЕТОЩК РБТБНЕФТ s = !=vF q Œ ДБООПН УМХЮБЕ НОПЗП НЕОШЫЕ ЕДЙОЙГЩ. уППФŒЕФУФŒЕООП, РЕТЕИПДС Œ (11.124) Л РТЕДЕМХ s a = k=2p0, НЩ РПМХЮБЕН
|
|
|
|
|
1 |
− |
|
|
|
˝(a)s=0 = − |
4a |
2a + |
1 − a2 |
ln |
1 |
|
a |
: |
(11.137) |
рМПФОПУФШ УПУФПСОЙК Œ (11.137) ДПМЦОБ ВЩФШ ПРТЕДЕМЕОБ У ХЮЕФПН ЬМЕЛФТПО{ ЖПОПООПК РЕТЕОПТНЙТПŒЛЙ, ОБКДЕООПК Œ ЪБДБЮЕ 29. рПМАУ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ (11.136)
