Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002)
.pdf7.4. теыеойс |
171 |
тЕЫЕОЙЕ 42. оБУ ЙОФЕТЕУХЕФ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ БФПНПŒ, ОБИПДСЭЙИУС Œ ТБŒОПŒЕУЙЙ У ФЕРМПŒЩН ТБУРТЕДЕМЕОЙЕН ЖПФПОПŒ. зБНЙМШФПОЙБО ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС БФПНПŒ У ŒОЕЫОЙН ЬМЕЛФТЙЮЕУЛЙН РПМЕН ЕУФШ
|
|
|
=1 2; |
|
|
V |
= −E(r1) d(1) |
− E(r2) d(2) = |
E¸(ri) d¸(i) ; |
(7.154) |
|
|
|
i |
; ¸=x;y;z |
|
|
ÇÄÅ d(1;2) | ПРЕТБФПТЩ ДЙРПМШОПЗП НПНЕОФБ БФПНПŒ, Б E(r) | ПРЕТБФПТ ЬМЕЛФТЙЮЕУЛПЗП РПМС Œ ФПЮЛЕ r.
йЪНЕОЕОЙЕ ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛПЗП РПФЕОГЙБМБ УЙУФЕНЩ, ŒЩЪŒБООПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕН (7.154), НПЦОП ЪБРЙУБФШ ФБЛ:
U ≡ ˙ − ˙0 |
= −T n=1 |
(−n! |
˛ |
˛ |
Tfi V (fi1) : : : V (fin) Ô dfi1 : : : dfin ; |
(7.155) |
|
|
: : : |
||||||
|
∞ |
1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
||
РТЙЮЕН ХУТЕДОЕОЙЕ РТПЙУИПДЙФ ЛБЛ РП ЖМХЛФХБГЙСН ДЙРПМШОЩИ НПНЕОФПŒ, ФБЛ Й РП ЖМХЛФХБГЙСН ЬМЕЛФТЙЮЕУЛПЗП РПМС. оБУ ЙОФЕТЕУХЕФ УМБЗБЕНПЕ Œ (7.155), ПФŒЕЮБАЭЕЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА ДŒХИ БФПНПŒ. рПУЛПМШЛХ УТЕДОЙК ДЙРПМШОЩК НПНЕОФ БФПНБ ТБŒЕО ОХМА, ПЮЕŒЙДОП, ЮФП ЙОФЕТЕУХАЭЙЕ ОБУ ЮМЕОЩ ДПМЦОЩ УПДЕТЦБФШ ЛБЦДЩК ЙЪ ДЙРПМШОЩИ НПНЕОФПŒ d(1) É d(2) ЮЕФОПЕ ЮЙУМП ТБЪ. рПЬФПНХ ОБЙНЕОШЫЙН РПТСДЛПН ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК, ДБАЭЙН ПФМЙЮОЩК ПФ ОХМС ŒЛМБД, ПЛБЪЩŒБЕФУС ЮЕФŒЕТФЩК:
˛ |
˛ |
Tfi |
V (fi1) : : : V (fi4) Ô dfi1 : : : dfi4 : |
(7.156) |
|
U = −4! |
: : : |
||||
T |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
||
дМС ŒЛМБДБ Œ ˙−˙0 РПТСДЛБ n ЙНЕЕФУС (n −1)! ЛПНВЙОБФПТОЩИ ŒПЪНПЦОПУФЕК ДМС ПВТБЪПŒБОЙС ОЕРТЙŒПДЙНПЗП УТЕДОЕЗП. œ ОБЫЕН УМХЮБЕ n = 4, Й ЛПНВЙОБФПТОЩК НОПЦЙФЕМШ ТБŒЕО 3! = 6. лТПНЕ ФПЗП, ЮФПВЩ ЙУЛМАЮЙФШ ЬЖЖЕЛФЩ УБНПДЕКУФŒЙС БФПНПŒ, НЩ ДПМЦОЩ ŒЩДЕМЙФШ УМБЗБЕНЩЕ, УПДЕТЦБЭЕЕ ЛБЦДЩК ЙЪ ДЙРПМШОЩИ НПНЕОФПŒ d(1) É d(2) РП ДŒБ ТБЪБ. ьФП ДБЕФ ЕЭЕ ДŒЕ ŒПЪНПЦОПУФЙ ДМС ЛБЦДПЗП ЙЪ ХЮФЕООЩИ ОЕРТЙŒПДЙНЩИ УТЕДОЙИ. œ ТЕЪХМШФБФЕ РПМОПЕ ЮЙУМП ŒЛМБДПŒ ЙОФЕТЕУХАЭЕЗП ОБУ ŒЙДБ ТБŒОП 3! ·2 = 12. лТПНЕ ФПЗП, ХУТЕДОЕОЙС РП ЖМХЛФХБГЙСН ДЙРПМШОЩИ НПНЕОФПŒ ТБЪМЙЮОЩИ БФПНПŒ УФБФЙУФЙЮЕУЛЙ ОЕЪБŒЙУЙНЩ, Б ХУТЕДОЕОЙЕ РП ЖМХЛФХБГЙСН ЬМЕЛФТЙЮЕУЛПЗП РПМС НПЦОП ŒЩРПМОЙФШ РП ФЕПТЕНЕ œЙЛБ. фБЛЙН ПВТБЪПН,
U12 |
= − 2 |
˛ |
˛ |
Tfi d¸(1)(fi1) d˛(1)(fi2) Ô Tfi d‚(2)(fi3) d‹(2)(fi4) Ô × |
|||
|
: : : |
||||||
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
||||
×
Tfi E¸(r1; fi1) E‚ (r2; fi3) Ô Tfi E˛ (r1; fi2) E‹ (r2; fi4) Ôdfi1 : : : dfi4 :
œŒЕДЕН ПВПЪОБЮЕОЙС ДМС ЛПТТЕМСФПТБ ДЙРПМШОЩИ НПНЕОФПŒ:
¸¸˛(j)(fi ) = Tfi d¸(j)(0) d˛(j)(fi ) Ô ; |
j = 1; 2 ; |
(7.157) |
172змбœб 7. дйбзтбннобс феиойлб ртй лпоеюощи фенретбфхтби
Й ЬМЕЛФТЙЮЕУЛЙИ РПМЕК: |
|
D¸˛E (r; fi ) = Tfi E¸(0; 0) E˛ (r; fi ) Ô : |
(7.158) |
дМС РТПУФПФЩ ВХДЕН УЮЙФБФШ, ЮФП БФПНЩ ОБИПДСФУС Œ УЙОЗМЕФОПН УПУФПСОЙЙ. фПЗДБ
|
|
|
¸¸˛(j)(fi ) = ¸j (fi ) ‹¸˛ ; |
(7.159) |
|
Й ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ U12 РТЙОЙНБЕФ УМЕДХАЭЙК ŒЙД: |
|
||||
U12 = − 2 |
˛ |
˛ |
¸1(fi1 −fi2) ¸2(fi3 −fi4) D¸˛E (r; fi1 −fi3) D¸˛E |
(r; fi4 −fi2) dfi4 : : : dfi1 : (7.160) |
|
|
· · · |
||||
T |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
рЕТЕКДЕН Л НБГХВБТПŒУЛПНХ ЮБУФПФОПНХ РТЕДУФБŒМЕОЙА: |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¸(fi ) = T |
e−i!nfi ¸(i!n) : |
(7.161) |
!n
йОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ РП fi ДЕМБЕФ ŒУЕ ЮБУФПФЩ Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (7.160) ТБŒОЩНЙ, Й НЩ РПМХ-
ÞÁÅÍ |
T |
|
2 |
|
|
|
|||
|
!n ¸1(i!n) ¸2(i!n) D¸˛E (i!n; r) |
|
||
U12 = − |
2 |
: |
(7.162) |
(ъДЕУШ НЩ ŒПУРПМШЪПŒБМЙУШ ЮЕФОПУФША НБГХВБТПŒУЛЙИ ЛПТТЕМСГЙПООЩИ ЖХОЛГЙК РП ЮБУФПФЕ.)
жХОЛГЙА D¸˛E (i!n; r) НПЦОП МЕЗЛП УŒСЪБФШ У ЖХОЛГЙЕК зТЙОБ (7.39), РТЙŒЕДЕООПК Œ ХУМПŒЙЙ. рПУЛПМШЛХ Œ ŒЩВТБООПК ОБНЙ ЛБМЙВТПŒЛЕ ˘ = 0, ФП E = −A_ =c. рПЬФПНХ
!2
D¸˛E (i!n; r) = c2n D¸˛ (i!n; r) (7.163) Й ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ЬОЕТЗЙЙ РЕТЕРЙЫЕФУС ЛБЛ
T |
|
!n4 |
2 |
|
|
U12 = − 2 |
c4 ¸1(i!n) ¸2(i!n) [D¸˛ (i!n; r12)] |
|
: |
(7.164) |
|
!n |
|
||||
|
|
|
|
|
юФПВЩ ОБКФЙ ЖХОЛГЙА D¸˛ (i!n; r), РЕТЕКДЕН ЙЪ ЙНРХМШУОПЗП РТЕДУФБŒМЕОЙС Œ ЛППТДЙОБФОПЕ, ЪБНЕОСС Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (7.39) ЛПНРПОЕОФЩ ŒЕЛФПТБ k ОБ РТПУФТБОУФŒЕООЩЕ РТПЙЪŒПДОЩЕ РП РТБŒЙМХ: k¸ → −i@=@x¸ . рПМХЮБЕН
D¸˛ (i!n; r) = −4ı ‹¸˛ − |
c2 |
@2 |
eikr |
d3k |
|
|
|||
!n2 @x¸@x˛ |
k2 + !n2=c2 |
(2ı)3 |
: |
(7.165) |
|||||
œЩЮЙУМЙН ЙОФЕЗТБМ |
|
= 2ı2 |
|
kr k2 + a2 = |
|
|
|
||
I = |
k2 + a2 |
(2ı)3 |
|
|
|
||||
|
eikr |
d3k |
1 |
∞ sin kr |
k2 dk |
|
|
|
|
0
7.4. теыеойс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
173 |
= − |
1 |
@ |
∞ cos kr |
dk = − |
1 |
@ ı |
1 |
|
||
2ı2r @r |
k2 + a2 |
2ı2r @r 2a e−ar = |
4ır e−ar : |
(7.166) |
||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
оБЛПОЕГ, ДЙЖЖЕТЕОГЙТПŒБОЙЕ ДБЕФ |
|
− |
|
|
|
|
|
|||
kn2r3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
D¸˛ (i!n; r) = e−knr |
‹¸˛ |
1 + knr + kn2 r2 |
|
n¸ n˛ |
3 + 3knr + kn2r2 ; |
(7.167) |
||||
ÇÄÅ kn = |!n|=c. рПМХЮБЕН, ЮФП ŒЕМЙЮЙОБ, ŒИПДСЭБС Œ ŒЩТБЦЕОЙЕ (7.164) ДМС U12 ÅÓÔØ
K(!n; r) = kn4 [D¸˛ (i!n; r)]2 = |
r6 |
3 + 6knr + 5kn2 r2 + 2kn3 r3 + kn4 r4 : (7.168) |
|
2e−2knr |
|
рЕТЕД ФЕН, ЛБЛ ОЕРПУТЕДУФŒЕООП РТЙУФХРЙФШ Л ŒЩЮЙУМЕОЙА U12, УŒСЦЕН НБГХВБТПŒУЛЙЕ ЖХОЛГЙЙ ¸(1;2)(i!n) У РПМСТЙЪХЕНПУФША БФПНПŒ. ьФП ŒПЪНПЦОП, РПУЛПМШЛХ ПРТЕДЕМСЕНБС РП ЖПТНХМЕ лХВП РПМСТЙЪХЕНПУФШ ЕУФШ
¸¸˛ (!) = i ∞ei!t [d¸(t); d˛ (0)] Ô dt : |
(7.169) |
0 |
|
œЩТБЦЕОЙЕ (7.169) РТЙ БОБМЙФЙЮЕУЛПН РТПДПМЦЕОЙЙ ОБ ŒЕТИОАА НОЙНХА РПМХПУШ ДБЕФ ЛБЛ ТБЪ НБГХВБТПŒУЛХА ЖХОЛГЙА ¸(i!n). œПУРПМШЪПŒБŒЫЙУШ ЬФЙН, ŒЩТБЪЙН ¸(i!n) ЮЕТЕЪ ¸(!). рТЙ !n > 0 РП ЖПТНХМЕ лТБНЕТУБ{лТПОЙЗБ ЙНЕЕН
|
1 |
∞ |
¸ (!) |
2 |
∞ |
!¸ (!) |
|
|
||
¸(i!n) = |
ı |
|
! |
− |
i!n d! = |
ı |
|
!n2 + !2 |
d! ; |
(7.170) |
|
|
−∞ |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
ЗДЕ ¸ (!) | НОЙНБС ЮБУФШ РПМСТЙЪХЕНПУФЙ (НЩ ŒПУРПМШЪПŒБМЙУШ ЪДЕУШ ЕЕ ОЕЮЕФОПУФША). фБЛЙН ПВТБЪПН, РПМХЮБЕН ПЛПОЮБФЕМШОЩК ТЕЪХМШФБФ:
|
2T |
|
∞ ∞ |
!1 !2 ¸1(!1) ¸2(!2) |
|
− |
ı !n |
|
(!n + !1) (!n + !2) |
|
|
U12 = |
2 |
|
0 0 |
2 2 2 2 d!1 d!2 : |
(7.171) |
|
K(!n; r) |
||||
пВЭЕЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ (7.171) УРТБŒЕДМЙŒП РТЙ РТПЙЪŒПМШОПН ТБУУФПСОЙЙ НЕЦДХ БФПНБНЙ. ьФП ŒЩТБЦЕОЙЕ ХРТПЭБЕФУС Œ ОЕУЛПМШЛЙИ ЙОФЕТЕУОЩИ РТЕДЕМШОЩИ УМХЮБСИ. пРТЕДЕМЙН ИБТБЛФЕТОЩЕ ДМЙОЩ
–0 = c=!0 ; –T = c=T ; |
(7.172) |
ÇÄÅ !0 | ЮБУФПФБ, ПРТЕДЕМСЕНБС ЮБУФПФОПК ДЙУРЕТУЙЕК РПМСТЙЪХЕНПУФЙ (ЖБЛФЙЮЕУЛЙ, Œ БФПНОЩИ ЕДЙОЙГБИ ŒУЕЗДБ !0 1). рПУЛПМШЛХ –0 НОПЗП ВПМШЫЕ ТБДЙХУБ БФПНПŒ, Б
–T , Œ УŒПА ПЮЕТЕДШ, НОПЗП ВПМШЫЕ –0, ЙНЕЕФУС ФТЙ ТБЪМЙЮОЩЕ ПВМБУФЙ,
á: r –0; â: –0 r –T ; œ: –T r. тБУУНПФТЙН РП ПФДЕМШОПУФЙ ЛБЦДЩК ЙЪ ЬФЙИ УМХЮБЕŒ.
174змбœб 7. дйбзтбннобс феиойлб ртй лпоеюощи фенретбфхтби
б: œ ЬФПН УМХЮБЕ knr 1, Ф. Е. ЪБРБЪДЩŒБОЙЕ ЬМЕЛФТПНБЗОЙФОПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС РТЕОЕВТЕЦЙНП НБМП. уПЗМБУОП (7.168), РТЙ ЬФПН K(!n; r) = 6=r6.
рПУЛПМШЛХ Œ ЬФПК ПВМБУФЙ kn–T 1, НБГХВБТПŒУЛХА УХННХ НПЦОП ЪБНЕОЙФШ ОБ ЙОФЕЗТБМ РП !:
12h— |
∞ |
∞ ∞ |
!1 !2 ¸ (!1) ¸ (!2) |
|
|
||||
U (r) = −ı3 r6 |
|
|
|
(!2 + !12) (!2 + !22) d!1 d!2 d! : |
(7.173) |
||||
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
йОФЕЗТЙТХС РП !, РПМХЮБЕН: 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U (r) = − |
6h— |
|
∞ ∞ |
¸ (!1) ¸ (!2) |
|
|
|
||
ı2 r6 |
|
|
!1 + !2 |
d!1 d!2 |
: |
(7.174) |
|||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
œ ПВМБУФЙ r –0 ŒБО-ДЕТ-ŒББМШУПŒП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ НПЦОП ŒЩŒЕУФЙ Й ВЕЪ ЙУРПМШЪПŒБОЙС ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛЙ. юФПВЩ РПМХЮЙФШ ŒЩТБЦЕОЙЕ (7.174), ОБДП ОБКФЙ УДŒЙЗ ЬОЕТЗЙЙ ПУОПŒОПЗП УПУФПСОЙС ДŒХИ БФПНПŒ РП ЛŒБОФПŒПНЕИБОЙЮЕУЛПК ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК:
|
0 |
|
− m=0 |
E|m |
E0 |
|
|
|
|
|
|
− |
|0 |2 |
|
|
‹E |
= |
|
m H12 |
; |
(7.175) |
||
ÇÄÅ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
||||
H12 |
= |
r3 |
[p1p2 |
− 3(p1n)(p2n)] |
(7.176) |
||
| ЗБНЙМШФПОЙБО ДЙРПМШОПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ДŒХИ БФПНПŒ Œ РТЕОЕВТЕЦЕОЙЙ ЪБРБЪДЩŒБОЙЕН.
в: œ ЬФПН УМХЮБЕ kn–0 1 Й, ЪОБЮЙФ, ОЕПВИПДЙНП ХЮЙФЩŒБФШ ЪБРБЪДЩŒБОЙЕ ЬМЕЛФТПНБЗОЙФОПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. œ ФП ЦЕ ŒТЕНС, РПУЛПМШЛХ kn–T 1, ФЕНРЕТБФХТБ РП-РТЕЦОЕНХ ЬЖЖЕЛФЙŒОП НБМБ, Й НБГХВБТПŒУЛХА УХННХ Œ (7.171) НПЦОП ЪБНЕОЙФШ ОБ ЙОФЕЗТБМ. ьФПФ ЙОФЕЗТБМ ПРТЕДЕМСЕФУС ПВМБУФША ЮБУФПФ !n ≈ c=r !0 (ЙЪ-ЪБ ЬЛУРПОЕОГЙБМШОПЗП НОПЦЙФЕМС Œ K(!; r)), ŒУМЕДУФŒЙЕ ЮЕЗП НПЦОП РТЕОЕВТЕЮШ !n Œ ЪОБНЕОБФЕМСИ (7.171). œ ТЕЪХМШФБФЕ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ РП !1;2 ÄÁÓÔ ¸1;2(0) Œ УЙМХ УППФОПЫЕОЙК лТБНЕТУБ{лТПОЙЗБ. пУФБАЭЙКУС ЙОФЕЗТБМ РП ! Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ ДМС ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС,
U (r) = − |
¸ |
(0) ¸ |
(0) |
∞ |
|
|
||
1 |
2ı 2 |
|
|
K(!; r) d! ; |
(7.177) |
|||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
ŒЩЮЙУМСЕФУС У ЙУРПМШЪПŒБОЙЕН ЖПТНХМЩ |
|
|
|
|
|
|||
∞ |
|
|
|
|
|
m! |
|
|
|
xm e−ax dx = |
am+1 |
: |
(7.178) |
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
11уППФОПЫЕОЙС (7.174) Й (7.179) ВЩМЙ РПМХЮЕОЩ мПОДПОПН (1930) Й рПМШДЕТПН Й лБЪЙНЙТПН (1948) | РПДТПВОЕЕ УН. [1], ЗМ. VI; [9], § 85.
7.4. теыеойс |
175 |
œ ТЕЪХМШФБФЕ РПМХЮБЕН ФБЛ ОБЪЩŒБЕНПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ лБЪЙНЙТБ:
U (r) = − |
23hc— ¸1(0) ¸2(0) |
: |
(7.179) |
4ır7 |
пФНЕФЙН, ЮФП Œ ПВМБУФЙ r –0 УХЭЕУФŒЕООП ЪБРБЪДЩŒБОЙЕ ЬМЕЛФТПНБЗОЙФОПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС Й ЛŒБОФПŒПНЕИБОЙЮОПУФШ ЖПФПОПŒ. жПТНБМШОП ЬФП РТПСŒМСЕФУС Œ ФПН, ЮФП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ (7.179) СŒОП ЪБŒЙУЙФ ПФ УЛПТПУФЙ УŒЕФБ Й РПУФПСООПК рМБОЛБ. жЙЪЙЮЕУЛЙ УЙМБ лБЪЙНЙТБ (7.179) ŒПЪОЙЛБЕФ ЙЪ-ЪБ ЛŒБОФПŒЩИ ЖМХЛФХБГЙК ЬМЕЛФТПНБЗОЙФПЗП ЙЪМХЮЕОЙС Œ ŒБЛХХНЕ РТЙ T = 0.
œ: ðÒÉ r –T ŒУЕ ЮМЕОЩ Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (7.168) У !n = 0 ПЛБЪЩŒБАФУС ЬЛУРПОЕОГЙБМШОП НБМЩНЙ. рПЬФПНХ Œ НБГХВБТПŒУЛПК УХННЕ Œ (7.171) ДПУФБФПЮОП ПУФБŒЙФШ МЙЫШ ЮМЕО У n = 0. фПЗДБ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП !1;2 ДБДХФ, ЛБЛ Й ТБОШЫЕ, УФБФЙЮЕУЛХА РПМСТЙЪХЕНПУФШ, Б Œ K(r)!n=0 ДПУФБФПЮОП ХДЕТЦБФШ МЙЫШ РЕТŒЩК ЮМЕО 6=r6. рПМХЮБЕН
U (r) = −3 T ¸1(0) ¸2(0)=r6 : |
(7.180) |
œЩТБЦЕОЙЕ (7.180), УППФŒЕФУФŒХАЭЕЕ РТЕДЕМХ ĂŒЩУПЛПКĄ ФЕНРЕТБФХТЩ T c=r, РП УХЭЕУФŒХ ЬМЕНЕОФБТОП. еЗП НПЦОП РПМХЮЙФШ Œ ТБНЛБИ ЛМБУУЙЮЕУЛПК УФБФЙУФЙЮЕУЛПК ЖЙЪЙЛЙ, ТБУУНБФТЙŒБС ŒЪБЙНПДЕКУФЙЕ ЛМБУУЙЮЕУЛЙИ ДЙРПМЕК (7.176). фЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛПЕ УТЕДОЕЕ ŒЩТБЦЕОЙС (7.176) ТБŒОП ОХМА. рПЬФПНХ ЬОЕТЗЙС ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ДБЕФУС ŒФПТЩН РПТСДЛПН ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛПК ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК:
U (r) = − |
1 |
H122 Ô : |
(7.181) |
2T |
уТЕДОЕЛŒБДТБФЙЮОЩЕ ЖМХЛФХБГЙЙ ДЙРПМШОПЗП НПНЕОФБ НПЦОП ОБКФЙ У РПНПЭША ЖМХЛФХБГЙПООП-ДЙУУЙРБГЙПООПК ФЕПТЕНЩ (ЙМЙ ДБЦЕ У РПНПЭША ФЕПТЕНЩ П ТБŒОПТБУРТЕДЕМЕОЙЙ):
d¸ d˛ Ô = T ¸(0) ‹¸˛ : |
(7.182) |
œ ТЕЪХМШФБФЕ РПМХЮБЕФУС ЛМБУУЙЮЕУЛПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ (7.180).
юБУФШ II
нЕФПДЩ ФЕПТЙЙ НОПЗЙИ ФЕМ
177
çÌÁŒÁ 8.
фЕПТЙС ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ
фЕПТЙС ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ ЙЪХЮБЕФ УЙУФЕНХ, УПУФПСЭХА ЙЪ НБЛТПУЛПРЙЮЕУЛЙ ВПМШЫПЗП ЮЙУМБ ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ЖЕТНЙПОПŒ. зБНЙМШФПОЙБО ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ H = H0+Hint ЬОЕТЗЙЙ ЙИ ŒЪБЙНП-
ЕУФШ УХННБ ЛЙОЕФЙЮЕУЛПК ЬОЕТЗЙЙ ЖЕТНЙПОПŒ Й РПФЕОГЙБМШОПК |
|
||||||||||||||
ДЕКУФŒЙС. œЩТБЦЕОЙС ДМС H0 |
É |
Hint |
, ЪБРЙУБООЩЕ Œ ЙНРХМШУОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ЮЕТЕЪ |
||||||||||||
|
|
+ |
a |
|
|
|
|
|
|||||||
ПРЕТБФПТЩ ŒФПТЙЮОПЗП ЛŒБОФПŒБОЙС a |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p; É |
p; , ЙНЕАФ ФБЛПК ŒЙД: |
|
||||
|
H0 = p; |
‰(p)ap+; ap; ; |
Hint = |
1 |
|
|
Vkjkj−k ; |
(8.1) |
|||||||
|
2 |
k |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ÇÄÅ ‰(p) = p2=2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
− |
— | УРЕЛФТ УŒПВПДОЩИ ЮБУФЙГ, V |
k |
| ЖХТШЕ-ПВТБЪ РПФЕОГЙБМБ |
||||||||||||
|
|
r ), Á jk |
= |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
||||
ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС V (r |
− |
|
|
ap+k; ap; | ЖХТШЕ-ЗБТНПОЙЛЙ ПРЕТБФПТБ РМПФ- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
p; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ОПУФЙ ЖЕТНЙПОПŒ. лБЛ РТБŒЙМП РТЕДРПМБЗБЕФУС, ЮФП ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФШ ПДОПТПДОБ Й ЙНЕЕФ ЖЙЛУЙТПŒБООХА РМПФОПУФШ.
зМБŒОБС ЪБДБЮБ ФЕПТЙЙ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ | ŒЩСУОЙФШ ИБТБЛФЕТ ПУОПŒОПЗП УПУФПСОЙС Й ŒПЪВХЦДЕОЙК УЙУФЕНЩ, ПРЙУЩŒБЕНПК ЗБНЙМШФПОЙБОПН (8.1). œППВЭЕ ЗПŒПТС, ИБТБЛФЕТ ПУОПŒОПЗП УПУФПСОЙС ŒЕУШНБ УЙМШОП ЪБŒЙУЙФ ПФ УŒПКУФŒ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС НЕЦДХ ЖЕТНЙПОБНЙ. œ ОЕЛПФПТЩИ УМХЮБСИ НПЦЕФ ŒПЪОЙЛБФШ УŒЕТИРТПŒПДСЭЕЕ ЙМЙ ЖЕТТПНБЗОЙФОПЕ УПУФПСОЙЕ, ŒЙЗОЕТПŒУЛЙК ЛТЙУФБММ, ŒПМОБ ЪБТСДПŒПК ЙМЙ УРЙОПŒПК РМПФОПУФЙ, Й Ф. Р. пДОБЛП ВПМШЫЙОУФŒП ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ЖЕТНЙ-УЙУФЕН ХУФТПЕОП
ПФОПУЙФЕМШОП РТПУФП | ЙИ УŒПКУФŒБ Œ ПУОПŒОПН РПДПВОЩ УŒПКУФŒБН ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЕЗП ЖЕТНЙ-ЗБЪБ. œ ФБЛЙИ УМХЮБСИ РТЙОСФП ЗПŒПТЙФШ П ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФОПН
УПУФПСОЙЙ. ьМЕНЕОФБТОЩЕ ŒПЪВХЦДЕОЙС ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ | ЬФП ЬМЕЛФТПО-ДЩТПЮОЩЕ РБТЩ Œ ПЛТЕУФОПУФЙ ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ. ьЖЖЕЛФЩ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС РТПСŒМСАФУС МЙЫШ Œ РЕТЕОПТНЙТПŒЛЕ ОЕУЛПМШЛЙИ ЛПОУФБОФ, ПРТЕДЕМСАЭЙИ ФЕРМПЕНЛПУФШ, УЦЙНБЕНПУФШ Й ДТХЗЙЕ УŒПКУФŒБ. лТПНЕ ФПЗП, Œ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ ЙНЕАФУС УРЕГЙЖЙЮЕУЛЙЕ ŒЕФŒЙ ЛПММЕЛФЙŒОЩИ ŒПЪВХЦДЕОЙК | ОХМШ-ЪŒХЛ, РМБЪНПОЩ, УРЙОПŒЩЕ ŒПМОЩ.
уХЭЕУФŒХЕФ ОЕУЛПМШЛП РПДИПДПŒ Л РТПВМЕНЕ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ, ПФМЙЮБАЭЙИУС УФЕРЕОША ĂЛŒБОФПŒПНЕИБОЙЮОПУФЙĄ. œП-РЕТŒЩИ, ЙНЕЕФУС ЛŒБЪЙЛМБУУЙЮЕУЛБС (ЙМЙ ЖЕОП-
НЕОПМПЗЙЮЕУЛБС) ФЕПТЙС ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ (УН. ТБЪДЕМЩ 8.1 Й 8.2). уХЭЕУФŒХЕФ ФБЛЦЕ ВПМЕЕ НЙЛТПУЛПРЙЮЕУЛБС ФЕПТЙС, ПУОПŒБООБС ОБ ФБЛ ОБЪЩŒБЕНПН РТЙВМЙЦЕОЙЙ УМХ-
ЮБКОЩИ ЖБЪ (УН. ТБЪД. 8.3). й, ОБЛПОЕГ, ОБЙВПМЕЕ УФТПЗБС НЙЛТПУЛПРЙЮЕУЛБС ФЕПТЙС
179
180 |
змбœб 8. фептйс жетнй-цйдлпуфй |
УФТПЙФУС У РПНПЭША ЖХОЛГЙК зТЙОБ (УН. ТБЪД. 8.7). иПФС ТЕЪХМШФБФЩ ŒУЕИ ФТЕИ ФЕПТЙК, РП УХЭЕУФŒХ, ПДЙОБЛПŒЩ, ЛБЦДБС ЙЪ ОЙИ ЙНЕЕФ УŒПЙ НЕФПДЙЮЕУЛЙЕ ДПУФПЙОУФŒБ. рПЬФПНХ Œ ЪБДБЮБИ ЬФПК ЗМБŒЩ НЩ ХДЕМЙН ТБŒОПЕ ŒОЙНБОЙЕ ŒУЕН ФТЕН НЕФПДБН Й РПУФБТБЕНУС РТПДЕНПОУФТЙТПŒБФШ УŒСЪЙ НЕЦДХ ОЙНЙ.
йЪŒЕУФОП НОПЗП ТБЪОППВТБЪОЩИ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФОЩИ УЙУФЕН. лМБУУЙЮЕУЛЙЕ РТЙНЕТЩ | ОХЛМПОЩ Œ БФПНОПН СДТЕ, Б ФБЛЦЕ ЦЙДЛЙК 3He. оП ОБЙВПМЕЕ ŒБЦОЩЕ ДМС ОБУ РТЙНЕОЕОЙС ФЕПТЙЙ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ ПФОПУСФУС Л ЬМЕЛФТПОБН Œ НЕФБММБИ. пУОПŒОПЕ ТБЪМЙЮЙЕ НЕЦДХ ЬФЙНЙ ŒЙДБНЙ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ ЪБЛМАЮБЕФУС Œ ИБТБЛФЕТЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. œЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ НЕЦДХ ОХЛМПОБНЙ, Б ФБЛЦЕ НЕЦДХ БФПНБНЙ 3He, | ЛПТПФЛПДЕКУФŒХАЭЕЕ, Œ ФП ŒТЕНС ЛБЛ ЬМЕЛФТПОЩ ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАФ РП ЪБЛПОХ лХМПОБ. œ РЕТŒПН УМХЮБЕ ЖХТШЕ-ПВТБЪ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС Vk Œ (8.1) ŒЕУШНБ УМБВП ЪБŒЙУЙФ ПФ k, Œ ФП ŒТЕНС ЛБЛ ŒП ŒФПТПН УМХЮБЕ ЪБŒЙУЙНПУФШ ПФ k ЙНЕЕФ УЙОЗХМСТОЩК ИБТБЛФЕТ:
Vk = 4ıe2=k2.
дМС НБФЕНБФЙЮЕУЛЙ ЛПТТЕЛФОПЗП ПРЙУБОЙС ЛХМПОПŒУЛПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС Œ НЕФБММЕ ПВЩЮОП ЙУРПМШЪХЕФУС ФБЛ ОБЪЩŒБЕНБС НПДЕМШ ЦЕМЕ: ЬМЕЛФТПОЩ, ДŒЙЦХЭЙЕУС Œ РПФЕОГЙБМЕ ТБŒОПНЕТОП ТБЪНБЪБООПЗП УФБФЙЮЕУЛПЗП РПМПЦЙФЕМШОПЗП ЪБТСДБ, ПВЕУРЕЮЙŒБАЭЕЗП ЬМЕЛФТПОЕКФТБМШОПУФШ. рТЙ ЬФПН РТЕОЕВТЕЗБАФ ДЙОБНЙЛПК ЙПОПŒ Й ŒУЕНЙ ЬЖЖЕЛФБНЙ, УŒСЪБООЩНЙ У ЖПОПОБНЙ. нПДЕМШ ЦЕМЕ ŒЕУШНБ ОЕРМПИП ПРЙУЩŒБЕФ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФОЩЕ УŒПКУФŒБ ЬМЕЛФТПОПŒ Œ НЕФБММБИ.
8.1. лŒБЪЙЮБУФЙГЩ
оБЙВПМЕЕ РТПУФПЕ ПВПУОПŒБОЙЕ ФЕПТЙЙ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ НПЦОП РПМХЮЙФШ, УМЕДХС ЛŒБЪЙЛМБУУЙЮЕУЛПК БТЗХНЕОФБГЙЙ мБОДБХ. пУОПŒОБС ЙДЕС ЬФПЗП РПДИПДБ ФБ ЦЕ, ЮФП Й Œ ФЕПТЙЙ НОПЗПЬМЕЛФТПООПЗП БФПНБ фПНБУБ{жЕТНЙ. оБРПНОЙН, ЮФП Œ НОПЗПЬМЕЛФТПООПН БФПНЕ ТБУРТЕДЕМЕОЙЕ ЬМЕЛФТПОПŒ РП ЙНРХМШУБН Œ ЛБЦДПК ФПЮЛЕ РТПУФТБОУФŒБ ПРЙУЩŒБЕФУС ЖЕТНЙ-УЖЕТПК, ТБДЙХУ ЛПФПТПК p0(r) ЕУФШ ЖХОЛГЙС ЛППТДЙОБФ. œЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ХЮЙФЩŒБЕФУС ЪБНЕОПК РПФЕОГЙБМБ СДТБ, Œ РПМЕ ЛПФПТПЗП ДŒЙЦХФУС ЬМЕЛФТПОЩ, ОБ ЬЖЖЕЛФЙŒОЩК РПФЕОГЙБМ, ŒЛМАЮБАЭЙК УТЕДОЕЕ ЬМЕЛФТЙЮЕУЛПЕ РПМЕ, УПЪДБŒБЕНПЕ ЬМЕЛФТПОБНЙ. œ УŒПА ПЮЕТЕДШ, ЛХМПОПŒУЛЙК РПФЕОГЙБМ РПМС ЬМЕЛФТПОПŒ ОБИПДЙФУС РП ЬМЕЛФТПООПК РМПФОПУФЙ j(r) = p30(r)=(3ı2) Й, ФБЛЙН ПВТБЪПН, ЛБТФЙОБ ПЛБЪЩŒБЕФУС УБНПУПЗМБУПŒБООПК. фЕПТЙС фПНБУБ{жЕТНЙ РПЪŒПМСЕФ ОБКФЙ ТБУРТЕДЕМЕОЙЕ ЪБТСДБ Œ НОПЗПЬМЕЛФТПООПН БФПНЕ, ЬОЕТЗЙА УŒСЪЙ, Й Ф. Р.
фЕПТЙС ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ мБОДБХ СŒМСЕФУС УŒПЕЗП ТПДБ ПВПВЭЕОЙЕН ФЕПТЙЙ фПНБУБ{жЕТНЙ, ПРЙУЩŒБАЭЙН ДЙОБНЙЛХ ЮБУФЙГ Œ ВЕУЛПОЕЮОПК ПДОПТПДОПК УЙУФЕНЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ЖЕТНЙПОПŒ. рТЕДРПМБЗБЕФУС, ЮФП ТБŒОПŒЕУОПЕ ТБУРТЕДЕМЕОЙЕ РП ЙНРХМШУБН ЕУФШ ЖЕТНЙ-УЖЕТБ ТБДЙХУБ p0 = (3ı2n)1=3, ЗДЕ n | РМПФОПУФШ ЮБУФЙГ.
фЕПТЙС ХФŒЕТЦДБЕФ, ЮФП ДЙОБНЙЛХ ФБЛПК УЙУФЕНЩ НПЦОП ТБУУНБФТЙŒБФШ РТЙ РПНПЭЙ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ, ПРЙУЩŒБАЭЙИ МПЛБМШОЩЕ ПФЛМПОЕОЙС ТБУРТЕДЕМЕОЙС РП ЙНРХМШУБН
ПФ ЖЕТНЙ-УЖЕТЩ. уМБВП ОЕТБŒОПŒЕУОЩЕ УПУФПСОЙС ПРЙУЩŒБАФУС ТБУРТЕДЕМЕОЙЕН ЛŒБЪЙЮБУФЙГ РП ЙНРХМШУБН Й ЛППТДЙОБФБН, ВМЙЪЛЙН Л ЖЕТНЙЕŒУЛПНХ Œ ЛБЦДПК ФПЮЛЕ РТПУФТБОУФŒБ.