Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002)
.pdf
3.3. теыеойс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51 |
хДПВОП РЕТЕРЙУБФШ ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ, ŒŒЕДС ПРЕТБФПТ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
йНЕЕН |
|
|
F = V + V G0V + V G0V G |
0V + : : : |
|
|
|
|
(3.20) |
|||||||||
|
|
|
| |
|
|
k(r) = r|G0F |k : |
|
|
|
|
|
(3.21) |
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
НОПЗПЛТБФОПЕ ТБУУЕСОЙЕ РБДБАЭЕК ŒПМОЩ |
||||||||||
уНЩУМ ЬФПК ЪБРЙУЙ Œ ФПН, ЮФП |
F |
ПРЙУЩŒБЕФ |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ОБ РПФЕОГЙБМЕ V (r), Б G |
|
|
УŒПВПДОПЕ ДŒЙЦЕОЙЕ РПУМЕ РПУМЕДОЕЗП ТБУУЕСОЙС. |
|
||||||||||||||
œ ЛППТДЙОБФОПН |
РТЕДУФБŒМЕОЙЙ G |
|
ЙНЕЕФ ŒЙД: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
" |
|
|
0 |
|
|
(2ı)3 |
= − |
2ıh—2 |
r |
| |
−r |
| ; |
(3.22) |
|
G0("; r; r ) = |
|
p2=2m + i‹ |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
eip(r−r ) |
|
d3p |
|
m |
eiκ r |
r |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
− |
| |
|
||
√
ЗДЕ h—κ = 2m". оБ НБУУПŒПК РПŒЕТИОПУФЙ κ = k.
уМБЗБЕНПЕ i‹ Œ ЪОБНЕОБФЕМЕ (3.22) ŒŒЕДЕОП ДМС ФПЗП, ЮФПВЩ ŒЩВТБФШ ЪБРБЪДЩŒБАЭЕЕ ТЕЫЕОЙЕ. у ФЕН ЦЕ ХУРЕИПН НПЦОП ВЩМП ВЩ ŒЩВТБФШ ЪОБЛ −i‹, ЮФП РТЙŒЕМП ВЩ Л ТСДХ ДМС f (k ; k). лПНРМЕЛУОП-УПРТСЦЕООБС БНРМЙФХДБ УППФŒЕФУФŒХЕФ ПРЕТЕЦБАЭЕНХ ТЕЫЕОЙА ЪБДБЮЙ П ТБУУЕСОЙЙ.
оБУ ЙОФЕТЕУХЕФ БУЙНРФПФЙЛБ (r), РПЬФПНХ ЪБРЙЫЕН r = Rn Й ВХДЕН УЮЙФБФШ R ВПМШЫЙН. фПЗДБ |r−r | = R −|r | cos „ + O(1=R), ЗДЕ „ | ХЗПМ НЕЦДХ n Й r (ТЙУ. 3.3).
r
n 
1100
θ
k
r
òÉÓ. 3.3
рПДУФБŒМСЕН G0 Œ ŒЙДЕ (3.22) Œ ŒЩТБЦЕОЙЕ (3.21) Й ТБЪМБЗБЕН |r − r |:
(r) = − |
2ıh— |
2 eR |
|
e−iκ|r | cos „ r |F |k d3r : |
(3.23) |
|
m |
iκR |
|
|
|
|
|
|
|
|
уТБŒОЙŒБС ЬФПФ ПФŒЕФ У ПРТЕДЕМЕОЙЕН БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС, РПМХЮБЕН ФТЕВХЕНПЕ
УППФОПЫЕОЙЕ: |
m |
k2|F |k1 ; |
|
|
f (k1; k2) = − |
(3.24) |
|||
2ıh—2 |
52 змбœб 3. лœбофпœбс неибойлб пдопк юбуфйгщ
ÇÄÅ k2 = |k1|n.
рЕТЕКДЕН Л ŒЩŒПДХ ЙОФЕЗТБМШОПЗП ХТБŒОЕОЙС. тСД ДМС НПЦЕФ ВЩФШ РТЕДУФБŒМЕО
F
ЗТБЖЙЮЕУЛЙ, ЛБЛ РПЛБЪБОП ОБ ТЙУ. 3.1. ъБРЙЫЕН УХННХ
F = V + V G0V + V G0V G0V + : : :
Œ ЙНРХМШУОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ: F (k1; k2) = F (1)(k1; k2) + F (2)(k1; k2) + : : : ;
F(1)(k1; k2) = V (k2 − k1) ;
F(2)(k1; k2) = V (k2 − q)2V (q − k1) (d3q) ;
"− q =(2m) + i‹
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : |
|
=(2m) + i‹ |
|
|
|
" qn2 1=(2m) + i‹ : : : " q12 |
|
||
F (n)(k1; k2) = : : : |
V (k2 −qn−1): : :V (q1 |
−k1) (d3qn−1) : : : (d3q1) |
; |
|
: : : : : : : : : : : : : : : : |
: : −: : : :−: : : |
− |
|
|
(3.25)
(3.26)
ÇÄÅ (d3qi) = d3qi=(2ı)3, " = h—2k21=(2m).
уŒСЪШ ЬФЙИ ŒЩТБЦЕОЙК У ТСДПН ОБ ТЙУ. 3.1 ПЮЕŒЙДОБ: ŒПМОЙУФЩН МЙОЙСН УППФŒЕФУФŒХАФ НБФТЙЮОЩЕ ЬМЕНЕОФЩ РПФЕОГЙБМБ, РТСНЩН МЙОЙСН | ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ. рП ŒУЕН ŒОХФТЕООЙН ЙНРХМШУБН ОБДП РТПЙОФЕЗТЙТПŒБФШ, Б ŒИПДСЭЙК Й ŒЩИПДСЭЙК ЙНРХМШУЩ ŒЪСФШ ОБ НБУУПŒПК РПŒЕТИОПУФЙ.
рПМХЮБЕН ЙОФЕЗТБМШОПЕ ХТБŒОЕОЙЕ ДМС :
F
|
|
0( + |
0 + ) = + |
0 |
|
|||
F |
= V |
+ V G0V |
+ V G0V G0V |
+ |
: : : = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.27) |
|
= V + V G V |
|
V G V : : : |
|
V |
V G F |
|||
зТБЖЙЮЕУЛЙ ЬФП НПЦОП ЙЪПВТБЪЙФШ, ЛБЛ РПЛБЪБОП ОБ ТЙУ. 3.4.
0101 = |
+ |
0101 |
òÉÓ. 3.4
œ ЙНРХМШУОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ЙОФЕЗТБМШОПЕ ХТБŒОЕОЙЕ РТЙОЙНБЕФ ŒЙД
|
− |
h—2 |
|
k12 |
− q2 + i‹ |
|
(2ı)3 |
|
|
F (k1; k2) = V (k2 |
|
k1) + 2m |
|
V (k2 |
− q)F (k1 |
; q) |
d3q |
: |
(3.28) |
тЕЫБС ЬФП ХТБŒОЕОЙЕ РПУМЕДПŒБФЕМШОЩНЙ РТЙВМЙЦЕОЙСНЙ, ŒОПŒШ РПМХЮБЕН ТСД ДМС
F . тЕЫЕОЙЕ 12. |
рПМАУЩ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ G(") ДБАФ УРЕЛФТ УЙУФЕНЩ. рТЙ ЬФПН, |
|||||
УПУФПСОЙА |
|
|
|
|
|
, ЛБЦДПНХ УŒСЪБООПНХ |
РПУЛПМШЛХ |
G |
É F |
УŒСЪБОЩ УППФОПЫЕОЙЕН G = |
G0 |
+ G0F G0 |
|
ПФŒЕЮБЕФ РПМАУ
F (").
3.3. теыеойс |
53 |
оБЮОЕН УП УМХЮБС D = 1. тБУУНПФТЙН ПДОПНЕТОХА СНХ ЗМХВЙОЩ U0 Й ЫЙТЙОЩ a. ъБНЕОСС РПФЕОГЙБМ ОБ ‹-ЖХОЛГЙА V (x) = −U0a ‹(x), РПМХЮБЕН ЖХТШЕ-ЛПНРПОЕОФХ V (q) = −U0a = const. рТЙ ЬФПН ХТБŒОЕОЙЕ ДМС F (k; k ) РТЙОЙНБЕФ ŒЙД
F (k; k ) = −U0a + U0a |
" − q2=2m + i‹ 2ı : |
||||
|
F (k; q) |
|
dq |
||
йЪ (3.29) ŒЙДОП, ЮФП F (k; k ) ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ k . рПЬФПНХ |
|
|
|||
|
+∞ |
|
k2 |
|
i‹ ; |
F (k) = −U0a − 2ı F (k) q2 |
|
|
|||
U0a |
|
2m dq |
|
||
|
−∞ |
− |
|
− |
|
ÞÔÏ ÄÁÅÔ F −1 + (U0a)−1 = −im=k = −i m=2", ÇÄÅ " = k2=(2m). рПМХЮБЕН
(3.29)
(3.30)
U0a 2(" + i‹)=m |
|
F (") = − 2(" + i‹)=m + iU0a : |
(3.31) |
бНРМЙФХДБ ТБУУЕСОЙС F (") ЙНЕЕФ РПМАУ РТЙ "0 = −mU02a2=(2h—2), ЮФП УПŒРБДБЕФ У ЙЪŒЕУФОЩН ПФŒЕФПН ДМС ПДОПНЕТОПК ‹-СНЩ.
рХУФШ ФЕРЕТШ D = 2. уОПŒБ УЮЙФБЕН ЖХТШЕ-ЛПНРПОЕОФХ РПФЕОГЙБМБ ОЕЪБŒЙУСЭЕК ПФ k: V (k) = −U0a2. хТБŒОЕОЙЕ ДМС F ЙНЕЕФ ŒЙД
F (") = −U0a2 + U0a2 |
h—2 |
|
F (") q2 |
2k2 |
i‹ (2ı)2 ; |
(3.32) |
|
2m |
|
|
ıq |
dq |
|
− −
ЗДЕ F УОПŒБ ЕУФШ ЖХОЛГЙС ФПМШЛП ". йОФЕЗТБМ
∞ dq2
(3.33)
q2 − k2 − i‹
0
МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛЙ ТБУИПДЙФУС ОБ ŒЕТИОЕН РТЕДЕМЕ. оП ЬФП ОЕ УФТБЫОП: РТЙ q a−1 ЖХТШЕ-ЛПНРПОЕОФБ V (k) ОБЮЙОБЕФ ВЩУФТП ПУГЙММЙТПŒБФШ, Й ЙОФЕЗТБМ У V (k) УИПДЙФ-
УС. уМЕДПŒБФЕМШОП, НПЦОП РПМШЪПŒБФШУС ŒЩТБЦЕОЙЕН (3.33), ПВТЕЪБŒ ЕЗП ĂŒТХЮОХАĄ РТЙ q ≈ a−1:
a−2 |
|
dq2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
i‹ = ıi + ln a2(k21+ i‹) : |
(3.34) |
|||||
q2 |
− |
k2 |
− |
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
éÔÁË, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (") ≈ − |
|
|
|
U0a2 |
k2a2) = |
|
|||
|
|
|
ma2U = ıh2)ln( |
|
|||||
|
|
|
1 + (2 |
0 4 — 2 |
− |
|
|||
|
= − |
|
|
|
U0a |
|
|
||
|
1 + (mU0a2=2ıh—2)ln(−"ma2=h—2) : |
(3.35) |
|||||||
54 |
змбœб 3. лœбофпœбс неибойлб пдопк юбуфйгщ |
|||
дЙУЛТЕФОЩК ХТПŒЕОШ |
h—2 |
2ıh—2 |
: |
|
|
|
|||
|
"0 ≈ −ma2 exp |
−ma2U0 |
(3.36) |
|
пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ, ЮФП ЙЪ-ЪБ ОЕЙЪŒЕУФОПЗП НОПЦЙФЕМС РПТСДЛБ ЕДЙОЙГЩ, РПСŒЙŒЫЕЗПУС РТЙ ПВТЕЪБОЙЙ Œ БТЗХНЕОФЕ МПЗБТЙЖНБ, ХТПŒЕОШ "0 ДБЕФУС ŒЩТБЦЕОЙЕН (3.36) ФПМШЛП РП РПТСДЛХ ŒЕМЙЮЙОЩ.
œ ТБЪНЕТОПУФЙ D > 2 ЙОФЕЗТБМ
a−1 qD−1dq
(3.37)
q2 − k2 − i‹
0
ПУФБЕФУС ЛПОЕЮОЩН РТЙ k → 0. рПЬФПНХ ДМС УМБВПЗП РПФЕОГЙБМБ F (") ОЕ ЙНЕЕФ РПМАУПŒ РТЙ |k| a−1, ЮФП ПЪОБЮБЕФ ПФУХФУФŒЙЕ УŒСЪБООПЗП УПУФПСОЙС.
тЕЫЕОЙЕ 13. рТПЙЪŒПДОХА @F=@" НПЦОП УŒСЪБФШ У F Œ ПВЭЕН ŒЙДЕ, ФБЛ, ЮФП РПМХЮЙФУС ŒЩТБЦЕОЙЕ, УРТБŒЕДМЙŒПЕ РТЙ РТПЙЪŒПМШОПН РПФЕОГЙБМЕ. дМС ЬФПЗП ОБДП РТПДЙЖЖЕТЕОГЙТПŒБФШ ТСД ОБ ТЙУ. 3.1 РПЮМЕООП (ТЙУ. 3.5).
dF |
= |
10 10 + 10 01 01 + 10 10 10 +... |
dE |
|
|
òÉÓ. 3.5
мЙОЙС У ЛТЕУФЙЛПН ПВПЪОБЮБЕФ:
@ |
= − |
1 |
= −G02 : |
|
@" G0 |
(" − p2=2m + i‹)2 |
(3.38) |
зТХРРЙТХС ЮМЕОЩ ЗТБЖЙЮЕУЛПЗП ТСДБ Й РПМШЪХСУШ ЗТБЖЙЮЕУЛЙН РТЕДУФБŒМЕОЙЕН БНРМЙФХДЩ F (УН. ТЙУХОЛЙ 3.1, 3.4), ОБИПДЙН (ТЙУ. 3.6):
dF |
= |
01 |
111000 |
|
|
|
dE |
|
|
|
|||
01 |
1100 |
|
|
|
||
|
01 |
1100 |
|
|
|
|
òÉÓ. 3.6 |
|
|
|
|
|
|
пФУАДБ: |
|
|
|
(" − q2=2m + i‹)2 |
(2ı)2 : |
(3.39) |
@" F"(k1; k2) = − |
||||||
@ |
|
|
|
F"(k1; q)F"(q; k2) |
d2q |
|
еЭЕ ТБЪ ПВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ФП, ЮФП (3.39) | ФПЮОЩК ТЕЪХМШФБФ, Б ОЕ РТЙВМЙЦЕООЩК.
юФПВЩ РТЙНЕОЙФШ УППФОПЫЕОЙЕ (3.39) Œ ОЙЪЛПЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛПК ПВМБУФЙ, ЪБНЕФЙН, ЮФП ЪБŒЙУЙНПУФШ F"(k1; k2) ÏÔ k1 É k2 ЙНЕЕФ ИБТБЛФЕТОЩК НБУЫФБВ k1;2 ≈ a−1. рПЬФПНХ
3.3. теыеойс |
55 |
РТЙ НБМЩИ ЬОЕТЗЙСИ |"| "a = h—2=(ma2) ЙОФЕЗТБМ РП q Œ (3.39) УИПДЙФУС Œ ПВМБУФЙ, ЗДЕ ЪБŒЙУЙНПУФШ F ПФ q ОЕУХЭЕУФŒЕООБ. œЩЮЙУМСС ЙОФЕЗТБМ, РПМХЮБЕН
@ |
m |
|
@" F = − |
2ıh—2" F 2 : |
(3.40) |
тЕЫЕОЙЕ ЬФПЗП ХТБŒОЕОЙС ЕУФШ:
F (") = m ln((" + i‹)="0) ; |
(3.41) |
ÇÄÅ "0 | ОЕЙЪŒЕУФОБС ЛПОУФБОФБ. фПЮЛБ ŒЕФŒМЕОЙС МПЗБТЙЖНБ РТЙ " = 0 УНЕЭЕОБ Œ ОЙЦОАА РПМХРМПУЛПУФШ, РПУЛПМШЛХ ŒНЕУФП " УФПЙФ " + i‹. лПОУФБОФБ "0 ŒЕЭЕУФŒЕООБ Й ПФТЙГБФЕМШОБ, РПУЛПМШЛХ РТЙ " < 0 БНРМЙФХДБ F ŒЕЭЕУФŒЕООБ. (юФПВЩ Œ ЬФПН ХВЕДЙФШУС, НПЦОП ЪБРЙУБФШ ЮМЕОЩ ТСДБ ДМС F , РПЛБЪБООЩЕ ОБ ТЙУ. 3.1, Œ ЛППТДЙОБФОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ, ЗДЕ ЖХОЛГЙС зТЙОБ ЙНЕЕФ ŒЙД G"(r) = −(m=2ır) exp(−κr), κ2 = 2m". ьФП ŒЩТБЦЕОЙЕ ŒЕЭЕУФŒЕООП РТЙ " < 0.)
åÓÌÉ "0 ОБИПДЙФУС Œ ОЙЪЛПЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛПК ПВМБУФЙ, |"0| "a, ФП РПМАУ РТЙ " = "0 ЙНЕЕФ ТЕБМШОЩК УНЩУМ, Й ЕНХ УППФŒЕФУФŒХЕФ ДЙУЛТЕФОЩК ХТПŒЕОШ. œ РТПФЙŒОПН УМХЮБЕ РПМАУ ОБИПДЙФУС ŒОЕ ПВМБУФЙ ЬОЕТЗЙК, ЗДЕ РТЙНЕОЙНП УДЕМБООПЕ РТЙВМЙЦЕОЙЕ, Й РПЬФПНХ УНЩУМБ ОЕ ЙНЕЕФ. фБЛБС УЙФХБГЙС ŒПЪОЙЛБЕФ, ОБРТЙНЕТ, ДМС ТБУУЕСОЙС ОБ УМБВПН ПФФБМЛЙŒБАЭЕН РПФЕОГЙБМЕ, ЛПЗДБ "0 ДБЕФУС ŒЩТБЦЕОЙЕН (3.36) У ПФТЙГБФЕМШОЩН U0.
тЕЫЕОЙЕ 14 a. уПЗМБУОП ЪБДБЮЕ 11 ЖХОЛГЙС зТЙОБ ЕУФШ G = G0 + G0F G0, ЗДЕ БНРМЙФХДБ F ОБКДЕОБ Œ ЪБДБЮЕ 13. œ ЙНРХМШУОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ
G("; p; p ) = (2ı)2 ‹(2) |
(p − p ) |
+ |
F (") |
: (3.42) |
" − p2=(2m) + i‹ |
|
[" − p2=(2m) + i‹][" − p 2 |
=(2m) + i‹] |
|
рПМПЦЙФЕМШОЩК ЪОБЛ НОЙНПК ЮБУФЙ i‹ ПЪОБЮБЕФ, ЮФП УПУФПСОЙС ОЕРТЕТЩŒОПЗП УРЕЛФТБ РХУФЩ. рТЙ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЙ РП " ЬФЙ РПМАУЩ ОБДП ПВИПДЙФШ УŒЕТИХ. пУФБМПУШ ŒЩВТБФШ ПВИПД РПМАУБ Œ F (") РТЙ " = "0. ьФП УПУФПСОЙЕ ЪБРПМОЕОП, РПЬФПНХ УДŒЙЗБЕН РПМАУ ŒŒЕТИ: "0 → "0 + i‹. рПМХЮБЕН F (") = 2ıh—2=(m ln("="0)), РТЙЮЕН ПВИПД РПМАУБ " = "0 Й ФПЮЛЙ ŒЕФŒМЕОЙС " = 0 ФБЛПК, ЛБЛ РПЛБЪБОП ОБ ТЙУ. 3.7.
E = E0 |
E = |
p 2 |
|
2m |
|||
|
|||
01 |
01 |
|
òÉÓ. 3.7
тЕЫЕОЙЕ 14 В. œЩТБЦБЕН ДЙРПМШОЩК НПНЕОФ ЮЕТЕЪ ЖХОЛГЙА зТЙОБ:
P = e r n(r) d2r = −ie lim r G(t; r; r) d2r =
t→−0
56 |
r |
змбœб 3. лœбофпœбс неибойлб пдопк юбуфйгщ |
||||||||||||
= |
|
|
· t→−0 |
|
( p1 |
|
p2) 2ıi |
(2ı)4 |
= |
|||||
|
e |
|
ei(p1−p2)r d2r |
lim |
e−i!t |
G !; |
; |
|
d! |
d2p1d2p2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
− |
ie |
|
‹ |
(p1 − p2) |
Res G(!; p ; p |
d2p1d2p2 |
; |
|
(3.43) |
||||
|
1 |
|
! |
1 |
2) |
(2ı)2 |
|
|
|
|||||
ЗДЕ УХННБ ŒЩЮЕФПŒ ВЕТЕФУС РП ŒУЕН РПМАУБН ! ЖХОЛГЙЙ G Œ ŒЕТИОЕК РПМХРМПУЛПУФЙ ", ЮФП УППФŒЕФУФŒХЕФ ЪБРПМОЕООЩН ХТПŒОСН. йОФЕЗТЙТХС РП ЮБУФСН, РПМХЮБЕН
P = |
p |
! |
$p =p (2ı)2 |
|
|
|
|
|
|
$ |
d2p |
|
|
|
ie |
Res G(!; p; p ) |
$ |
|
: |
(3.44) |
|
|
|
$ |
|
|
|
дТХЗХА (ЬЛŒЙŒБМЕОФОХА) ЖПТНХ ЪБРЙУЙ НПЦОП РПМХЮЙФШ, ЕУМЙ ЪБНЕОЙФШ p ÎÁ p Й ЙЪНЕОЙФШ ЪОБЛ.
тЕЫЕОЙЕ 14Œ. œЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ У ЬМЕЛФТЙЮЕУЛЙН РПМЕН W = −eEx НЕОСЕФ ЖХОЛГЙА зТЙОБ:
GW = G + GW G + GW GW G + : : : ; |
(3.45) |
ÇÄÅ | ФПЮОБС ЖХОЛГЙС зТЙОБ РТЙ = 0. зТБЖЙЮЕУЛЙ ЬФП НПЦОП РТЕДУФБŒЙФШ ФБЛ
G E
(ÒÉÓ. 3.8):
GW = 
+
|
W |
|
W |
W |
|
+ |
|
10 |
+... |
01 |
|
01 |
10 |
|
01 |
|
|
|
|
F(E)
= 
+ 
0011
òÉÓ. 3.8
œ ЙНРХМШУОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА W , МЙОЕКОПНХ РП ЛППТДЙОБФБН, УППФŒЕФУФŒХЕФ РТПЙЪŒПДОБС ‹-ЖХОЛГЙЙ:
W (p) = − |
eExe−ipr d2r = −ie(2ı)2E |
@ |
‹(2)(p) : |
(3.46) |
@px |
дМС ŒЩЮЙУМЕОЙС РПМСТЙЪХЕНПУФЙ ОХЦЕО МЙОЕКОЩК РП РПМА ЮМЕО ТСДБ (3.45). у ХЮЕФПН
3.3. теыеойс |
57 |
УФТХЛФХТЩ G, УПЗМБУОП (3.42), ЙНЕЕН 4 УМБЗБЕНЩИ (ТЙУ. 3.9): |
|
δ G |
W |
W |
F(E) |
= |
01 |
+ 10 |
1100 |
F(E) |
W |
+ 10 |
F(E) W |
F(E) |
+ 10 |
|
10 |
10 |
|
10 |
10 |
10 |
10 |
10 |
òÉÓ. 3.9
ðÅÒŒÏÅ ÉÚ ÎÉÈ ÅÓÔØ G0W G0. пОП ОЕ ЙНЕЕФ ПУПВЕООПУФЕК ОБД ЛПОФХТПН ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП ЬОЕТЗЙЙ Й, РПЬФПНХ, ДБЕФ ОХМЕŒПК ŒЛМБД. œЩЮЙУМЙН ПУФБМШОЩЕ ЮМЕОЩ.
œЩТБЦЕОЙЕ G W G F G |
(p; p ), УППФŒЕФУФŒХАЭЕЕ ŒФПТПК ДЙБЗТБННЕ ТЙУ. 3.9, ЕУФШ: |
||||||||||
|
0 |
|
0 0 |
|
(2) |
|
|
(" − p12=2m + i‹)(" − p 2=2m + i‹) |
= |
||
|
(" − p2=2m + i‹) |
|
|||||||||
|
−ieE @=@px ‹ |
|
(p − p1) |
F (") |
|
d2p1 |
|||||
|
|
= |
‹(p1 − p) @p1x (" |
|
−p2=2m(+ i‹) × |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
@ |
|
ie E F ") |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
ieE |
× (" − p12=2m + i‹) (" − p 2=2m + i‹) d2p1 |
= |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
px |
|
|
|
|
= − m |
F (") (" − p2=2m + i‹)3(" − p 2=2m + i‹) |
: |
|
(3.47) |
|||||||
фТЕФШЕ УМБЗБЕНПЕ РПМХЮБЕФУС ЙЪ ŒФПТПЗП ЛПНРМЕЛУОЩН УПРТСЦЕОЙЕН Й РЕТЕУФБОПŒЛПК p Й p :
G0F G0W G0 |
(p; p ) = |
|
|
ieEp F (")=m |
: |
|
(" − p2=2m + i‹)(" − p 2=2m + i‹)3 |
||||||
|
|
|
|
|
x |
|
d p1 d p2 |
(p; p ) ÒÁŒÅÎ ÎÕÌÀ: |
|
||||
рПУМЕДОЙК ЗТБЖЙЛ G0F G0W G0F G0 |
|
|||||
ieEF 2(") |
(2ı)2 G0("; p)G0("; p2)G0("; p1)G0("; p ) 1x ‹(p2 |
|||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
= −ieEF 2(")G0("; p)G0("; p ) |
(2ı)2 |
(" − p12=2m + i‹)3 = 0 ; |
|
|||
|
|
|
|
d2p1 |
p1;x=m |
|
ЛБЛ ЙОФЕЗТБМ ПФ ОЕЮЕФОПК ЖХОЛГЙЙ. рПЬФПНХ
(3.48)
− p1) =
(3.49)
|
G |
!; |
; |
Res F (") ie E[p |
G |
" |
; |
p) |
G3 |
" |
; |
|
p |
G3 |
" |
; |
p) |
G |
|
" |
; |
|
: (3.50) |
|
Res |
( |
|
p p ) = |
"0 |
m x |
|
0( 0 |
|
0 |
( 0 |
|
p ) − |
x |
0 |
( 0 |
|
|
0 |
( 0 |
|
p )] |
|
||
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
йЪ-ЪБ ПФНЕЮЕООПК ŒЩЫЕ УЙННЕФТЙЙ РП ПФОПЫЕОЙА Л РЕТЕУФБОПŒЛЕ p Й p ПВБ УМБЗБЕНЩИ ДБАФ ПДЙОБЛПŒЩК ŒЛМБД Œ РПМСТЙЪХЕНПУФШ, РПУЛПМШЛХ Й Œ ŒЩТБЦЕОЙЕ (3.44)
58 |
змбœб 3. лœбофпœбс неибойлб пдопк юбуфйгщ |
ДМС ДЙРПМШОПЗП НПНЕОФБ P ЙНРХМШУЩ p Й p ŒИПДСФ УЙННЕФТЙЮОП. уМЕДПŒБФЕМШОП, ДПУФБФПЮОП ŒЪСФШ ФПМШЛП РЕТŒПЕ УМБЗБЕНПЕ Й ХДŒПЙФШ ПФŒЕФ:
Px = −2 m2 |
|
|
("0 |
− p2=2m + i‹)5 |
"0 |
(2ı)2 |
|
e2 |
E |
|
|
px2 |
Res F (") |
d2p : |
(3.51) |
л ФБЛПНХ ŒЩТБЦЕОЙА НПЦОП РТЙКФЙ ОЕУЛПМШЛП ВЩУФТЕЕ, ЕУМЙ ЪБНЕФЙФШ, ЮФП ŒЕТЫЙОБ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС У ЬМЕЛФТЙЮЕУЛЙН РПМЕН ХУФТПЕОБ ФПЮОП ФБЛ ЦЕ, ЛБЛ Й ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ДЙРПМШОПЗП НПНЕОФБ (3.44). (œ ЛППТДЙОБФОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ (3.50) ЕУФШ УŒЕТФЛБ РТПЙЪŒПДОПК ‹-ЖХОЛГЙЙ У ЖХОЛГЙЕК зТЙОБ РП ЕЕ БТЗХНЕОФБН.) рПЬФПНХ ŒУЕ ŒЛМБДЩ Œ РПМСТЙЪХЕНПУФШ НПЦОП РТЕДУФБŒЙФШ ЗТБЖЙЮЕУЛЙ ФБЛ (ТЙУ. 3.10):
χ = |
δ G |
òÉÓ. 3.10
ъДЕУШ ‹G ДБЕФУС УХННПК ЮЕФЩТЕИ УМБЗБЕНЩИ, РПЛБЪБООЩИ ОБ ТЙУ. 3.9, Б ЫФТЙИПŒБС МЙОЙС ПВПЪОБЮБЕФ ‹(p) Œ ЙНРХМШУОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ, ЙМЙ r | Œ ЛППТДЙОБФОПН. рЕТŒЩК ЗТБЖЙЛ ОБ ТЙУ. 3.9 ДБЕФ ОХМШ РТЙ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЙ РП ЬОЕТЗЙСН, Б ЮЕФŒЕТФЩК, ЙЪ-ЪБ ОЕЮЕФОПУФЙ r, | ПВТБЭБЕФУС Œ ОХМШ РТЙ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЙ РП ЙНРХМШУБН. œФПТПК Й ФТЕФЙК ЗТБЖЙЛЙ ПФМЙЮОЩ ПФ ОХМС Й ТБŒОЩ Œ УЙМХ УЙННЕФТЙЙ.
йФБЛ, РПМСТЙЪХЕНПУФШ
|
|
|
¸˛ |
m2 |
(p2 + κ2)5 |
"0 |
|
(2ı)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2e2 |
p¸p˛ (2m)5 |
Res F (") |
d2p |
; |
|
|
|
|
||
ÇÄÅ κ2 = 2m|"0|. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
œЩЮЙУМЙН Res F ("). рПМПЦЙŒ " = "0 + z, ТБЪМБЗБЕН |
|
|
|
|
|
|
||||||||
"0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F " |
) = |
|
|
2ı |
|
2ı"0 ; |
ПФЛХДБ |
Res |
= |
2ı"0 : |
|
|||
( |
m ln(1 + z="0) |
≈ mz |
|
|
"0 |
|
m |
|
|
|||||
оБИПДЙН |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
26ı ‹¸˛ p3 dp |
16e2m2"0 |
+∞ x dx |
|
e2‹¸˛ |
|
|||||||
¸˛ = e2m2"0 |
|
(p2 + κ2)5 2ı |
|
= ‹¸˛ (2m"0)3 |
|
(x + 1)5 |
= |
6m"02 |
: |
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
(3.52)
(3.53)
(3.54)
œПУУФБОБŒМЙŒБС h— РП ТБЪНЕТОПУФЙ, РПМХЮБЕН = e2h—2=(6m"20).
тЕЫЕОЙЕ 15. уХННЙТХЕН ДЙБЗТБННЩ, ЙЪПВТБЦЕООЩЕ ОБ ТЙУ. 3.2. у ПДОПК УФПТП-
|
|
R |
|
A |
− |
F (k ; k), РПУЛПМШ- |
|
ОЩ, ТБУЛТЩŒБС РП МЙОЕКОПУФЙ Й ЗТХРРЙТХС ЮМЕОЩ, ЙНЕЕН F (k; k ) |
|
||||||
ЛХ ŒУЕ ПУФБМШОЩЕ ЮМЕОЩ, УПДЕТЦБЭЙЕ G |
|
Й G ПДОПŒТЕНЕООП, ŒЪБЙНОП УПЛТБЭБАФУС. |
|||||
у ДТХЗПК УФПТПОЩ, |
" − p2=2m − i‹ = −2ıi‹ " − p2=2m : |
|
|||||
GR − GA = " − p2=2m + i‹ − |
(3.55) |
||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
3.3. теыеойс
й ŒДПВБŒПЛ, РТЙ УПВЙТБОЙЙ ŒУЕИ ЗТБЖЙЛПŒ, УМЕŒБ ПФ GR − GA
F (k; k ), Á ÓÐÒÁŒÁ | F (k ; k): |
‹ " − q2 |
|
|
||
−2ıi |
F (k; q) F (k ; q) (2ı)3 |
=2m = |
|
||
= −2ıi |
d3q |
|
|
|
|
|
|
|
|||
F (k; q) F (k ; q) q |
‹(|q| − |k|) do (2ı)3 |
= −(2ı)2 |
|||
|
|
m |
q2 dq |
imk |
|
59
ŒПЪОЙЛБЕФ ŒЩТБЦЕОЙЕ
(3.56)
F (k; q) F (k ; q) do :
уТБŒОЙŒБС, РПМХЮБЕН ФЕПТЕНХ ХОЙФБТОПУФЙ ДМС БНРМЙФХДЩ F :
F (k; k ) − F (k ; k) = −(2ı)2 |
|
F (k; q)F (k ; q) do : |
(3.57) |
imk |
|
|
|
уŒСЪШ У ЛŒБОФПŒПНЕИБОЙЮЕУЛПК БНРМЙФХДПК ТБУУЕСОЙС, F = −(2ıh—2=m) f , ВЩМБ ОБКДЕОБ Œ ЪБДБЮЕ 11. œЩТБЦБС F ЮЕТЕЪ f , РТЙИПДЙН Л ФЕПТЕНЕ ХОЙФБТОПУФЙ (3.15).
рПŒФПТСС ŒЩŒПД Œ ДŒХНЕТОПН УМХЮБЕ, РПМХЮБЕН
F (k; k ) − F (k ; k) = −2ı |
F (k; q)F (k ; q) d„ : |
(3.58) |
im |
|
|
œ ТБЪНЕТОПУФЙ D = 2 УŒСЪШ F Й ЛŒБОФПŒПНЕИБОЙЮЕУЛПК БНРМЙФХДЩ f ДТХЗБС. юФПВЩ ЕЕ РПМХЮЙФШ, РПУФХРЙН ЛБЛ Œ ЪБДБЮЕ 11. œПЪШНЕН ŒЩТБЦЕОЙЕ (3.21) ДМС ТБУИПДСЭЕКУС ŒПМОЩ, k(r) = r|G0F |k , ŒЕТОПЕ Œ МАВПК ТБЪНЕТОПУФЙ, Й ОБКДЕН БУЙНРФПФЙЮЕУЛПЕ РПŒЕДЕОЙЕ ЖХОЛГЙЙ G0:
G0("; r) = |
" − h— |
2p2=2m + i‹ (2ı)2 |
≈ −h—2 |
2ık|r|eik|r|+iı=4 |
(3.59) |
|
|
|
eipr |
d2p |
|
m |
|
ÐÒÉ k|r2|√→ ∞ (УН. ЪБДБЮХ 6 Л § 126 [2]). рПЬФПНХ РТЙ D = 2 БНРМЙФХДБ f = |
|||||
−(m=h— |
2ık) F . |
|
|
|
|
рПЬФПНХ ФЕПТЕНБ ХОЙФБТОПУФЙ РТЙ D = 2 ЗМБУЙФ: |
|
||||
|
f (k; k ) |
− |
f (k ; k) = i k |
f (k; q) f (k ; q) doq : |
(3.60) |
|
|
2ı |
|
|
|
пФНЕФЙН, ЮФП Œ ТБЪНЕТОПУФЙ D = 2 ВПМЕЕ ХДПВОП ŒЛМАЮБФШ НОПЦЙФЕМШ eiı=4 Œ ПРТЕДЕМЕОЙЕ ТБУИПДСЭЕКУС ŒПМОЩ, ЛБЛ ЬФП УДЕМБОП ŒЩЫЕ, Б ОЕ Œ БНРМЙФХДХ ТБУУЕСОЙС, ЛБЛ Œ [2]. рТЙ ФБЛПН ПРТЕДЕМЕОЙЙ f , УППФОПЫЕОЙЕ ХОЙФБТОПУФЙ РТЙОЙНБЕФ ОБЙВПМЕЕ РТПУФПК ŒЙД. рПУЛПМШЛХ БНРМЙФХДБ f ЕУФШ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ РТЙ ТБУИПДСЭЕКУС ŒПМОЕ, ŒЛМАЮБФШ ЖБЪПŒЩК НОПЦЙФЕМШ Œ ПРТЕДЕМЕОЙЕ f ЙМЙ Œ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ТБУИПДСЭЕКУС ŒПМОЩ | ДЕМП ŒЛХУБ.
œПУРПМШЪХЕНУС УМХЮБЕН, ЮФПВЩ ЕЭЕ ТБЪ ПФНЕФЙФШ УХЭЕУФŒЕООХА ТБЪОЙГХ НЕЦДХ ПВЩЮОПК БНРМЙФХДПК f Й БНРМЙФХДПК ТБУУЕСОЙС Œ ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛПК ОПТНЙТПŒЛЕ F (ĂХЦЙТОЕООПК ŒЕТЫЙОПКĄ). пРТЕДЕМЕОЙЕ БНРМЙФХДЩ F ОЕ ДПРХУЛБЕФ ОЙЛБЛПЗП РТПЙЪŒПМБ, РПУЛПМШЛХ ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ ŒЩВПТБ ŒЩТБЦЕОЙС ДМС ТБУИПДСЭЕКУС ŒПМОЩ.