Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002)
.pdf10.5. теыеойс |
301 |
||
уОПŒБ ТБУУНПФТЙН РТЕДЕМШОЩЕ УМХЮБЙ. |
|
||
Á) T |
→ |
d! |
|
|
0. рТЙ ПЮЕОШ ОЙЪЛПК ФЕНРЕТБФХТЕ НБГХВБТПŒУЛБС УХННБ T |
: : : ИПТПЫП |
|
!n
БРРТПЛУЙНЙТХЕФУС ЙОФЕЗТБМПН : : : 2ı . рПРТБŒЛЙ ОЕФТХДОП ОБКФЙ, РЕТЕКДС ПФ УХННЩ
Л ЙОФЕЗТБМХ РП ЖПТНХМЕ рХБУУПОБ, Й ХДЕТЦБŒ Œ ОЕК ФПМШЛП РЕТŒЩЕ ФТЙ ЮМЕОБ: |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
f (n) = |
f (x)dx + |
e2ıix f (x)dx + |
e−2ıixf (x)dx + : : : |
(10.99) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ъДЕУШ |
f (x) = '(2ıT x)2 |
|
´2 |
|
|
||
|
+ ´2 + |
− 4ıT |x| : |
(10.100) |
||||
|
(2ıT x)2 + ´2 |
||||||
|
|
|
|
' |
|
|
|
(ъБНЕФЙН, ЮФП ОЕБОБМЙФЙЮОПУФШ |x| ОЕ НЕЫБЕФ ЙУРПМШЪПŒБФШ ЖПТНХМХ рХБУУПОБ, РПУЛПМШЛХ ДМС РПУМЕДОЕЗП УМБЗБЕНПЗП УХННХ Œ ЖПТНХМЕ рХБУУПОБ НПЦОП ŒЩЮЙУМЙФШ СŒОП, ОЕ ДЕМБС ОЙЛБЛЙИ РТЙВМЙЦЕОЙК.) рПУМЕ ЗТПНПЪДЛЙИ ŒЩЮЙУМЕОЙК, РТЙŒЕДЕООЩИ Œ ЛПОГЕ ТЕЫЕОЙС, РПМХЮЙН
˙s = |
− |
V 0 ´2 |
1 + 2( |
2ı T e−´=T |
1 + |
15 T |
|
|
: |
(10.101) |
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
´ |
|
|
8 ´ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
рПДУФБŒМСС УАДБ ´(T ) ЙЪ (10.89), ОБИПДЙН |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
− |
|
2 |
|
1 + 4( |
´0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
T 3 |
e−´0=T : |
|
|
|
|
|||
|
˙s = |
|
0 V |
´0 |
2ı 3 |
|
|
|
(10.102) |
||||||
пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ РТПЙУИПДСЭЕЕ ЪДЕУШ УПЛТБЭЕОЙЕ ЗМБŒОПЗП ФЕНРЕТБФХТОПЪБŒЙУСЭЕЗП ЮМЕОБ. йЪ (10.102) ОБКДЕН ФЕРМПЕНЛПУФШ, ДЙЖЖЕТЕОГЙТХС ЬОФТПРЙА РП
T : |
@S |
|
|
|
@2˙ |
= 2 0 V ( |
2 |
ı ´5 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
Cs = T |
|
s |
= |
T |
@T |
2s |
T |
3 |
0 |
e−´0=T : |
(10.103) |
||
|
@T |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Â) T → Tc. œ ЬФПН УМХЮБЕ ДПУФБФПЮОП РТПУФП ТБЪМПЦЙФШ (10.98) ДП ЮЕФŒЕТФПЗП
РПТСДЛБ РП ´ (ЮМЕО ŒФПТПЗП РПТСДЛБ ПВТБЭБЕФУС Œ ОХМШ): |
|
||||||||
˙s − ˙n = |
ı |
´4 T |
| |
|
1 |
| |
: |
(10.104) |
|
V |
− |
0 |
!n |
!n 3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уХННБ, ЛБЛ Й Œ ЪБДБЮЕ 59, ŒЩТБЦБЕФУС ЮЕТЕЪ “ -ЖХОЛГЙА: |
|
||||||||
˙s − ˙n |
= |
− |
7“ (3) 0 ´4 |
: |
|
|
(10.105) |
||
V |
|
16ı2 |
Tc2 |
|
|
|
|
|
|
рПДУФБŒМСС УАДБ ´ ЙЪ (10.94), РПМХЮЙН |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4ı2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
˙s − ˙n = −7“ (3) V 0 (T − Tc)2 : |
(10.106) |
||||||||
302 |
|
|
|
|
|
змбœб 10. уœетиртпœпдйнпуфш |
||||
дЙЖЖЕТЕОГЙТХС РП ФЕНРЕТБФХТЕ, ОБИПДЙН ФЕРМПЕНЛПУФШ: |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
8ı2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cs − Cn = 7“ (3) 0 Tc V : |
|
|
(10.107) |
|||
оБРПНОЙН, ЮФП ФЕРМПЕНЛПУФШ ОПТНБМШОПЗП НЕФБММБ ЕУФШ |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2ı2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cn = 3 |
0 V T ; |
|
|
(10.108) |
|
РПЬФПНХ |
|
|
|
|
Cs − Cn = 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
(10.109) |
||
|
|
|
|
|
Cn |
7“ (3) |
|
|
|
|
œЩЮЙУМЙН УХННХ Œ (10.98) РТЙ T → 0. уПЗМБУОП ЖПТНХМЕ УХННЙТПŒБОЙС рХБУУПОБ, |
|
|||||||||
V |
− 0 k= |
|
|
|
√!2 + ´2 − | | |
2ı |
|
|||
˙s − ˙n = |
|
∞ |
∞ |
!n2 |
|
|
v eik!=T d! : |
|
||
ı |
−∞ |
!2 + ´2 + |
|
2 ! |
(10.110) |
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
ъБНЕФЙН, ЮФП РЕТŒЩЕ ДŒБ ЮМЕОБ | РМБŒОЩЕ ЖХОЛГЙЙ !, РПЬФПНХ ЙОФЕЗТБМЩ ПФ ОЙИ ЬЛУРПОЕОГЙБМШОП НБМЩ. рПЬФПНХ ОБН ДПУФБФПЮОП ХДЕТЦБФШ ЙИ МЙЫШ РТЙ k = 0; ±1. юФП ЦЕ ЛБУБЕФУС РПУМЕДОЕЗП ЮМЕОБ, ФП ЙОФЕЗТБМ ПФ ОЕЗП МЕЗЛП ŒЩЮЙУМСЕФУС Й ТБŒЕО −4T 2=k2. œ ТЕЪХМШФБФЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛПЗП РПФЕОГЙБМБ РТЙŒПДЙФУС Л ŒЙДХ
V |
|
|
− |
0 |
|
|
|
|
|
√!2 + ´2 |
− |
|
|
|
|
|
||||
˙s − ˙n |
= |
|
|
|
|
∞ |
!2 + ´2 + |
|
!2 |
|
2! |
d! + |
|
(10.111) |
||||||
|
|
|
|
∞ |
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
!2 |
|
! |
|
|
∞ |
T 2 |
|||||
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
+ |
|
|
!2 + ´2 + √!2 + ´2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
cos T d! − 2 k=1 k2 |
|||||||||||||||
рЕТŒЩК ЙОФЕЗТБМ ЕУФШ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
2 |
|
|
|
|
|
!2 |
|
|
|
|
|
|
´2 |
; |
|
(10.112) |
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
!2 + ´2 + √!2 + ´2 − 2! d! = |
|
|||||||||||||||||
Б УХННБ ТБŒОБ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
ı2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k2 = |
6 |
: |
|
|
|
|
|
|
(10.113) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√
пУФБŒЫЙКУС ЙОФЕЗТБМ ŒЩЮЙУМСЕФУС ФБЛ. жХОЛГЙС !2 + ´2 ЙНЕЕФ УЛБЮПЛ ОБ ТБЪТЕЪЕ, ЙДХЭЕН ПФ ФПЮЛЙ i´ ДП ВЕУЛПОЕЮОПУФЙ. œ ПУФБМШОПК ЦЕ ЮБУФЙ ŒЕТИОЕК РПМХРМПУЛПУФЙ ЖХОЛГЙС БОБМЙФЙЮОБ, РПЬФПНХ ЛПОФХТ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС НПЦОП ДЕЖПТНЙТПŒБФШ ФБЛ, ЮФПВЩ ПО ПЗЙВБМ ЬФПФ ТБЪТЕЪ (ТЙУ.
10.5. теыеойс |
303 |
10.12).
ω
C
i∆0
0
òÉÓ. 10.12 |
|
|
|
|
|
œŒПДС РЕТЕНЕООХА ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС u РП ЖПТНХМЕ ! = i´ + iu, РТЙŒЕДЕН ЙОФЕЗТБМ Л ŒЙДХ |
|
||||
|
∞ |
|
2 + 2u2 + 4u´ |
|
|
2 |
0 |
´ |
√2´u + u2 |
e−(´+u)=T du : |
(10.114) |
œ ЬФПФ ЙОФЕЗТБМ ДБАФ ŒЛМБД u ≈ T , РПЬФПНХ РПДЙОФЕЗТБМШОПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ НПЦОП ТБЪМПЦЙФШ РП u:
|
∞ |
1 + |
15 u |
|
|
du |
|
|
|
|
1 + |
15 T |
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2´2e−´=T |
4 ´ |
e−u=T √2´ u |
= √2ıT |
´3 e−´=T |
8 ´ |
|
(10.115) |
|||||||||||
œ ТЕЪХМШФБФЕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
˙s − ˙n = |
− |
0 ´2 |
1 + 2 |
2ıT e−´=T |
1 + |
15 T |
+ ı2 0T 2 |
: |
(10.116) |
|||||||||
|
V |
|
2 |
|
|
3 ´ |
|
|
8 ´ |
|
3 |
|
|
|
||||
ъБНЕФЙН, ЮФП РПУМЕДОЙК ЮМЕО Œ ЬФПК ЖПТНХМЕ ЕУФШ ОЕ ЮФП ЙОПЕ, ЛБЛ ŒЪСФЩК У ПВТБФОЩН ЪОБЛПН ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛЙК РПФЕОГЙБМ ОПТНБМШОПЗП НЕФБММБ.
тЕЫЕОЙЕ 61. тБУУНПФТЙН ХТБŒОЕОЙЕ (10.58) ДМС ЛХРЕТПŒУЛПК БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС, РПМХЮЕООПЕ Œ ТЕЫЕОЙЙ ЪБДБЮЙ 58. еУМЙ ЛХРЕТПŒУЛБС БНРМЙФХДБ `C (i"; i" ) ЙНЕЕФ РПМАУ РТЙ T → Tc, ФП Œ ХТБŒОЕОЙЙ (10.58) НПЦОП РТЕОЕВТЕЮШ УŒПВПДОЩН ЮМЕОПН:
`C (i"; i" ) = ı 0T |
|
|
`0(i"; i" )`C (i" ; i" )=|" | : |
(10.117) |
"
ъБŒЙУЙНПУФШ ПФ " Œ ЬФПН ХТБŒОЕОЙЙ ĂУПЛТБЭБЕФУСĄ. рПЬФПНХ НПЦОП УЮЙФБФШ, ЮФП ТЕЫЕОЙЕ ЖБЛФПТЙЪХЕФУС:
`C (i"; i" ) = ˘(i")˘(i" ) : |
(10.118) |
(ъБŒЙУЙНПУФШ `C ПФ " Й " ДПМЦОБ ВЩФШ ПДЙОБЛПŒПК ŒŒЙДХ УЙННЕФТЙЙ ЛХРЕТПŒУЛПК МЕУФОЙГЩ.) фПЗДБ ЖХОЛГЙС ˘(") ХДПŒМЕФŒПТСЕФ ХТБŒОЕОЙА
˘(i") = ı 0T |
|
`0(i"; i" )=|" | ˘(i" ) : |
(10.119) |
" |
304 |
змбœб 10. уœетиртпœпдйнпуфш |
äÌÑ `0 ЙЪ ХУМПŒЙС ЪБДБЮЙ ЬФП ЙОФЕЗТБМШОПЕ ХТБŒОЕОЙЕ ПЛБЪЩŒБЕФУС ŒЩТПЦДЕООЩН Й МЕЗЛП ТЕЫБЕФУС. œЙДОП, ЮФП ЖХОЛГЙС ˘(") УПДЕТЦЙФ ДŒБ ЮМЕОБ: РТПРПТГЙПОБМШОЩК v(i") Й ОЕ ЪБŒЙУСЭЙК ПФ ". йЭЕН ТЕЫЕОЙЕ Œ ŒЙДЕ
˘(") = av(i") + b : |
(10.120) |
рПДУФБŒМСС ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ Œ (10.119) Й РТЙТБŒОЙŒБС ЛПЬЖЖЙГЙЕОФЩ РЕТЕД v(i") Й РЕТЕД ЛПОУФБОФПК, РПМХЮБЕН
a = ı– 0T |
|
av2(i" ) + bv(i" ) =|" | ; |
(10.121) |
" |
|||
|
|
(10.122) |
|
b = −ı— 0T |
[av(i") + b] =|" | : |
||
"
оБ ЬФПФ ТБЪ НЩ ОЕ ВХДЕН ЪБОЙНБФШУС ФПЮОЩН ŒЩЮЙУМЕОЙЕН УХНН Œ ЬФПН ŒЩТБЦЕОЙЙ, Б ОБКДЕН ЙИ У МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛПК ФПЮОПУФША, РПУЛПМШЛХ ПУОПŒОПК ЙОФЕТЕУ ВХДХФ РТЕДУФБŒМСФШ ŒЕМЙЮЙОЩ, УФПСЭЙЕ РЕТЕД МПЗБТЙЖНБНЙ. уХННЩ, УПДЕТЦБЭЙЕ v(i") Й v2(i") УМЕДХЕФ ПВТЕЪБФШ УŒЕТИХ РТЙ " ≈ !D . уХННХ, ОЕ УПДЕТЦБЭХА ЖБЛФПТПŒ ЪБРБЪДЩŒБОЙС, НЩ ПВТЕЦЕН УŒЕТИХ РТЙ " ≈ !p (≈ "F ) | ОБ РМБЪНЕООПК ЮБУФПФЕ, ЛПФПТБС ЙЗТБЕФ Œ ЖЙЪЙЛЕ ЬМЕЛФТПО-ЬМЕЛФТПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ТПМШ, БОБМПЗЙЮОХА !D ДМС ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. фБЛЙН ПВТБЪПН, РПМХЮБЕН
a = 0– ln |
!D |
(a + b) ; |
|
|
|
(10.123) |
|
T |
|
ln |
T |
+ ln !D |
: |
b = −— 0 a ln T + b |
||||||
|
|
!D |
|
!D |
!p |
|
рЕТЕОПУС ŒП ŒФПТПН ХТБŒОЕОЙЙ ЮМЕО У ln(!p=!D) Œ МЕŒХА ЮБУФШ, НПЦОП РЕТЕРЙУБФШ ЕЗП Œ ФБЛПН ŒЙДЕ, ЮФП ПОП УФБОПŒЙФУС РПИПЦЕ ОБ РЕТŒПЕ:
b = − 0— ln |
!D |
(a + b) ; |
— = |
— |
: |
(10.124) |
T |
1 + 0— ln(!p=!D ) |
нЩ ŒŒЕМЙ ЪДЕУШ ЬЖЖЕЛФЙŒОХА ЛХРЕТПŒУЛХА БНРМЙФХДХ — , ЛПФПТБС ПФМЙЮБЕФУС ПФ
— ЙЪ-ЪБ ЪБРБЪДЩŒБОЙС ЖПОПОПŒ. фЕРЕТШ, УЛМБДЩŒБС РЕТŒПЕ ЙЪ ХТБŒОЕОЙК (10.123) У ХТБŒОЕОЙЕН (10.124), РТЙИПДЙН Л ХУМПŒЙА УПŒНЕУФОПУФЙ УЙУФЕНЩ (10.123):
1 = (– − — ) ln |
!D |
; |
(10.125) |
T |
|||
ЙЪ ЛПФПТПЗП ОБИПДЙН ФЕНРЕТБФХТХ РЕТЕИПДБ: |
|
|
|
Tc ≈ !D e−1=– 0 ; – = – − — : |
(10.126) |
||
фБЛЙН ПВТБЪПН, ЛХМПОПŒУЛПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ДЕКУФŒЙФЕМШОП РПОЙЦБЕФ ФЕНРЕТБФХТХ УŒЕТИРТПŒПДСЭЕЗП РЕТЕИПДБ, ОП ОЕ ПЮЕОШ УЙМШОП. рТЙ 0— ln "F =!D 1 ПФОПУЙФЕМШОБС РПРТБŒЛБ Л – НБМБ ЛБЛ 1= ln("F =!D).
306 |
|
|
|
|
|
|
змбœб 10. уœетиртпœпдйнпуфш |
||||
РПУМЕ ЮЕЗП РТПЙОФЕЗТЙТХЕН РП ЮБУФСН: |
|
|
|
|
|
|
|||||
Q(1) |
e2 |
lim T |
|
ei!nfi |
|
v |
|
1 |
2d3p |
Q(2) |
|
¸˛ (0) = + c fi →+0 |
|
˛ |
|
¸(p) i!n |
− |
‰(p) (2ı)3 = − ¸˛ |
(10.135) |
||||
!n |
|
|
|||||||||
(УХННЙТПŒБОЙЕ РП НБГХВБТПŒУЛЙН ЮБУФПФБН РТПЙЪŒПДЙФУС ФБЛ ЦЕ, ЛБЛ Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (7.59) Œ ТЕЫЕОЙЙ ЪБДБЮЙ 35). йФБЛ, Q¸˛ (0) = 0.
тЕЫЕОЙЕ 62 В. юФПВЩ ОБКФЙ ДЙБНБЗОЙФОХА ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ ЖЕТНЙ-ЗБЪБ 0, УŒСЦЕН ЕЕ У ЛПОУФБОФПК a Œ ТБЪМПЦЕОЙЙ Q(k) = ak2 + : : : рП ПРТЕДЕМЕОЙА Q(k),
j = QA = −a 2A : |
(10.136) |
у ДТХЗПК УФПТПОЩ, ФПЛ УŒСЪБО У ОБНБЗОЙЮЕООПУФША:
j = c rot M = c rot 0B = 0c rot rot A : |
(10.137) |
рПУЛПМШЛХ div A = 0, ФПЛ НПЦОП ЪБРЙУБФШ ФБЛ:
j = − 0c 2A : |
(10.138) |
пФУАДБ ОБИПДЙН 0 = a=c.
фЕРЕТШ ŒЩЮЙУМЙН a. рТЕДРПМПЦЙН, ЮФП ŒПМОПŒПК ŒЕЛФПТ k ОБРТБŒМЕО ŒДПМШ ПУЙ z,
Й ОБКДЕН Qxx: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
lim e2 T |
ei!nfi |
|
vx(p + k) vx(p) |
2d3p : |
|
|||
xx = − fi →+0 c |
|
(i!n |
− |
‰p+k) (i!n |
− |
‰p) (2ı)3 |
(10.139) |
||
!n |
|
|
|||||||
œ ПФМЙЮЙЕ ПФ УРЙОПŒПК ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФЙ, ПТВЙФБМШОБС ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ ПРТЕДЕМСЕФУС ОЕ ФПМШЛП ПЛТЕУФОПУФША РПŒЕТИОПУФЙ жЕТНЙ, ОП Й ŒУЕНЙ УПУФПСОЙСНЙ РПД ОЕК, РПФПНХ ЮФП ЛŒБОФПŒБОЙЕ мБОДБХ ЪБФТБЗЙŒБЕФ ŒУЕ УПУФПСОЙС У E < EF , Й ЛПОЕЮОБС ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ 0 ŒПЪОЙЛБЕФ ЙЪ-ЪБ ПФМЙЮЙС УХННЩ ЛŒБОФПŒБООЩИ ЬОЕТЗЙК ПФ ЙОФЕЗТБМБ РП ОЕРТЕТЩŒОПНХ УРЕЛФТХ. рПЬФПНХ НЩ ПЗТБОЙЮЙНУС УМХЮБЕН ‰(p) = p2=2m − EF . тБЪМБЗБС Q(k) РП kz = k, Й ЙНЕС Œ ŒЙДХ, ЮФП ДМС ЛŒБДТБФЙЮОПЗП УРЕЛФТБ vx(p + k) = vx(p) = px=m, ЪБРЙЫЕН
|
− |
c |
!n |
|
i!n |
|
‰p |
@pz i!n |
‰p |
(2ı) |
|
|
||||
|
|
e2k2 |
|
|
|
v2 |
|
|
@2 |
|
1 |
2 d3p |
|
|||
Qxx = |
|
T |
|
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
3 : |
(10.140) |
||
|
|
ei!nfi |
|
|
x |
|
|
2 |
|
|
|
|||||
рТПЙОФЕЗТЙТПŒБŒ РП ЮБУФСН, РПМХЮЙН |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
e2 |
|
|
|
|
|
v2 v2 |
2d3p |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
z |
|
|
|
|
|
|||
|
0 = c2 T |
!n ei!nfi |
(i!n x |
|
‰p)4 (2ı)3 : |
|
|
(10.141) |
||||||||
фЕРЕТШ ХУТЕДОЙН РП ХЗМБН ( vx2vz2 = v4=15): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
e2 |
|
|
|
|
|
|
|
p4 |
|
2d3p |
|
|
|
|
0 = 15c2m4 T |
|
(i!n |
− |
‰p)4 |
(2ı)3 : |
|
|
|||||||||
!n ei!nfi |
|
|
(10.142) |
|||||||||||||
10.5. теыеойс |
307 |
йОФЕЗТБМ РП НПДХМА ЙНРХМШУБ ФТЕИЛТБФОЩН ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕН РП ЮБУФСН РТЙŒПДЙФУС Л ŒЙДХ
∞ |
|
|
|
p6 dp |
|
|
4 = −5 |
m3 |
∞ |
dp |
|
|
|||
|
|
i! |
n + |
E |
− |
p2 |
= m |
|
2 |
|
i!n + EF |
− |
p2=2m ; |
(10.143) |
|
0 |
|
F |
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|||||
РПУМЕ ЮЕЗП УХННЙТПŒБОЙЕ РП !n ДБЕФ, ЛБЛ ПВЩЮОП, ТБУРТЕДЕМЕОЙЕ жЕТНЙ (УН. ЖПТНХМХ (7.59) Œ ТЕЫЕОЙЙ ЪБДБЮЙ 35):
e2 |
|
∞ |
|
|
|
e2p0 |
|
|
0 = −12ı2mc2 |
|
nF (‰p) dp |
= −12ı2mc2 |
: |
(10.144) |
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
йУРПМШЪХС ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС УРЙОПŒПК ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФЙ, ОБКДЕООПЕ Œ ЪБДБЮЕ 24 |
||||||||
ÐÁÒÁ |
= 2—B2 0 |
= |
e2 |
mp0 ; |
|
(10.145) |
||
|
|
|
|
|
4m2c2 ı2 |
|
|
|
ОБИПДЙН УППФОПЫЕОЙЕ НЕЦДХ ПТВЙФБМШОПК Й УРЙОПŒПК ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФША: |
|
|||||||
|
0 = − |
1 |
|
|
|
|
||
|
3 ÐÁÒÁ |
: |
|
(10.146) |
||||
пФНЕФЙН, ЮФП ЬФП УППФОПЫЕОЙЕ ОЕ ХОЙŒЕТУБМШОП. лБЛ ŒЙДОП ЙЪ ОБЫЕЗП ŒЩЮЙУМЕОЙС, ŒЛМБД Œ 0 ДБЕФ ŒЕУШ УРЕЛФТ, Б ОЕ ФПМШЛП РПŒЕТИОПУФШ жЕТНЙ. рПЬФПНХ РПМХЮЕООПЕ УППФОПЫЕОЙЕ НЕЦДХ 0 É ÐÁÒÁ ŒЕТОП МЙЫШ ДМС ЛŒБДТБФЙЮОПЗП УРЕЛФТБ. рТЙ ВПМЕЕ ПВЭЕН ЪБЛПОЕ ДЙУРЕТУЙЙ ‰(p) ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ 0 РП ŒЕМЙЮЙОЕ НПЦЕФ ПЛБЪБФШУС ДБЦЕ ВПМШЫЕ, ЮЕН ÐÁÒÁ. œ ЬФПН УМХЮБЕ ОПТНБМШОЩК НЕФБММ ПЛБЪЩŒБЕФУС ДЙБНБЗОЕФЙЛПН.
тЕЫЕОЙЕ 63. œ ЬФПК ЪБДБЮЕ НЩ ŒЩЮЙУМЙН Q(0) ДМС УŒЕТИРТПŒПДОЙЛБ. рТЙ ЬФПН ПУОПŒОПЕ ПФМЙЮЙЕ ПФ ŒЩЮЙУМЕОЙС ДМС ОПТНБМШОПЗП НЕФБММБ, РТПДЕМБООПЗП Œ ЪБДБЮЕ 62, ŒПЪОЙЛБЕФ ЙЪ-ЪБ ОЕПВИПДЙНПУФЙ ХЮЕУФШ ЛБЛ ОПТНБМШОЩЕ, ФБЛ Й БОПНБМШОЩЕ УТЕДОЙЕ.
уТЕДОЕЕ ПФ ДЙБНБЗОЙФОПЗП ŒЛМБДБ Œ ФПЛ ЕУФШ РТПУФП
Q(2)(0) = −ne2=mc : |
(10.147) |
юФП ЦЕ ЛБУБЕФУС ЗТБДЙЕОФОПЗП ŒЛМБДБ Q(1)¸˛ (i˙; k), ФП ПО РПМХЮБЕФУС ХУТЕДОЕОЙЕН РТПЙЪŒЕДЕОЙС ФПЛПŒ Й ДБЕФУС УМЕДХАЭЙН ŒЩТБЦЕОЙЕН:
|
1 |
|
˛ |
|
|
|
|
|
|
˛ |
|
|
|
|
|||
Q¸˛(1)(i˙s; k) = |
2c ; |
ei˙fi dfi |
eikr |
× |
(10.148) |
|||
|
|
− |
|
|
+ (0; |
|
d3r |
|
|
|
|
|
|
||||
× Tfi +(r; fi ) j¸ (r; fi ) |
0) j˛ (0; 0) |
|||||||
|
|
e |
r). |
|
|
|
|
|
( , | УРЙОПŒЩЕ ЙОДЕЛУЩ, Б j = −i m |
|
|
|
|
||||
фЕРЕТШ ОЕПВИПДЙНП УРБТЙФШ |
|
-ПРЕТБФПТЩ, ХЮЙФЩŒБС ЛБЛ ОПТНБМШОЩЕ, ФБЛ Й БОП- |
||||||
НБМШОЩЕ УТЕДОЙЕ. рТЙ ЬФПН ФЕПТЕНБ œЙЛБ РП-РТЕЦОЕНХ УРТБŒЕДМЙŒБ, РПУЛПМШЛХ ПРЕТБФПТЩ Й + НПЦОП ŒЩТБЪЙФШ МЙОЕКОЩН ПВТБЪПН ЮЕТЕЪ ПРЕТБФПТЩ ТПЦДЕОЙС Й
308 |
змбœб 10. уœетиртпœпдйнпуфш |
ХОЙЮФПЦЕОЙС ЛŒБЪЙЮБУФЙГ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛБ, ДМС ЛПФПТЩИ БОПНБМШОЩЕ УТЕДОЙЕ ТБŒОЩ ОХМА. фБЛЙН ПВТБЪПН,
|
= |
|
j¸ G (r; fi ) j˛ G |
( r; fi ) |
j¸ F + (r; fi ) j˛ F ( r; fi ) : |
||||
|
Tfi |
+(r; fi ) j¸ |
(r; fi ) |
+ (0; 0) j˛ |
(0; 0) |
= |
(10.149) |
||
(1) |
|
− |
|
− − |
− |
|
− − |
||
фПЗДБ Q¸˛ |
(i˙; k) РТЙОЙНБЕФ ŒЙД |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
˛ |
|
d3r eikr × |
|
(10.150) |
|
|
|
Q¸˛ (i˙; k) = −2c |
ei˙fi dfi |
|
|||||
|
|
|
(1) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−˛ |
|
|
|
|
|
|
|
× 2j¸ G(r; fi ) j˛ G(−r; −fi ) + 2j¸ F (r; fi ) j˛ F (−r; −fi ) : |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ъБНЕФЙН, ЮФП ЪОБЛЙ РЕФЕМШ, УПДЕТЦБЭЙИ ЖХОЛГЙЙ G Й F , ПЛБЪЩŒБАФУС ПДЙОБЛПŒЩНЙ. рЕТЕРЙУЩŒБС ŒЩТБЦЕОЙЕ (10.150) Œ ЙНРХМШУОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ, РПМХЮБЕН
|
Q¸˛ (i˙; k) = − c |
!n |
|
v¸ p − |
2 v˛ p + |
2 × |
|
|
||||||||||||
|
(1) |
|
|
|
T e2 |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G i!n + i˙; p + 2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
× %G i!n; p − 2 |
+ |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
+ F i!n; p − |
|
k |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
F i!n + i˙; p + 2 |
& (2ı)3 : |
|
(10.151) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
k |
|
2d3p |
|
|
|||
фПЗДБ РТЙ k = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
e2T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2d3p |
|
|
||||
Q(1)(0) = |
3 Q¸¸(1)(0) = |
−3m2c !n |
p2 |
G2(i!n; p) + |F (i!n; p)|2 |
|
(2ı)3 |
: |
(10.152) |
||||||||||||
уПВЙТБС ŒНЕУФЕ Q(1) É Q(2) Й ХЮЙФЩŒБС ПРТЕДЕМЕОЙЕ ns , РПМХЮЙН |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
− |
|
− |
3m |
|
!n |
|
(!n + ‰ + ´ ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
|
ns = |
|
2 T 0p02 |
|
∞ |
´2 |
+ ‰2 |
− !n2 |
2 d‰ : |
|
|
|
(10.153) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ФП, ЮФП РТЙ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЙ РП ! ŒЩТБЦЕОЙЕ (10.153) ПВТБЭБЕФУС Œ ОХМШ, Œ ФП ŒТЕНС ЛБЛ РТЙ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЙ РП ‰ ЬФПЗП ОЕ РТПЙУИПДЙФ. уМЕДПŒБФЕМШОП, ПОП ОЕ ŒРПМОЕ ЛПТТЕЛФОП ПРТЕДЕМЕОП. дЕМП Œ ФПН, ЮФП ЬФБ ŒЕМЙЮЙОБ ОЕ ĂУЙДЙФĄ ОБ РПŒЕТИОПУФЙ жЕТНЙ, Й ДМС РТБŒЙМШОПЗП ХЮЕФБ УПУФПСОЙК ŒДБМЙ ПФ ХТПŒОС жЕТНЙ УМЕДПŒБМП ВЩ ВТБФШ РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК, ЪБŒЙУСЭХА ПФ ЬОЕТЗЙЙ. пДОБЛП УŒЕТИФЕЛХЮБС РМПФОПУФШ, ОЕУПНОЕООП, ПРТЕДЕМСЕФУС РПŒЕТИОПУФША жЕТНЙ, РПФПНХ ЮФП ФПМШЛП ФБН Й РТПЙУИПДЙФ РЕТЕУФТПКЛБ ЬМЕЛФТПООЩИ УПУФПСОЙК. œ ЗМХВЙОЕ ЦЕ ЖЕТНЙЕŒУЛПЗП НПТС (Ф. Е. РТЙ ‰ EF ) ОЙЮЕЗП ОЕ РТПЙУИПДЙФ. рПЬФПНХ НПЦОП РПУФХРЙФШ ФБЛ: ŒЩЮЕУФШ ЙЪ ЬФПЗП ŒЩТБЦЕОЙС БОБМПЗЙЮОПЕ У ´ = 0, Ф. Е. ДМС ОПТНБМШОПЗП НЕФБММБ.
10.5. теыеойс |
309 |
фПЗДБ ŒЛМБД ЗМХВПЛЙИ УПУФПСОЙК ŒЩРБДЕФ. рТЙ ЬФПН, ЛБЛ НЩ ЪОБЕН, ДМС ОПТНБМШОПЗП НЕФБММБ ns = 0. œ ТЕЪХМШФБФЕ
2 0p2 |
!n |
∞ |
|
‰2 |
|
!2 |
|
‰2 |
|
!2 + ´2 |
d‰ : |
|
||
|
|
|
(‰ + !n) |
|
(‰ + !n + ´ ) |
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
− |
2n |
|
|
− |
2n |
|
|
||
ns = 3m |
T |
|
2 |
2 − |
2 |
2 2 |
(10.154) |
|||||||
−∞
рПМХЮЙŒЫЕЕУС ŒЩТБЦЕОЙЕ НПЦОП ЙОФЕЗТЙТПŒБФШ Œ МАВПН РПТСДЛЕ. мХЮЫЕ ŒУЕЗП УОБЮБМБ РТПЙОФЕЗТЙТПŒБФШ РП ‰. рТЙ ЬФПН ПЛБЪЩŒБАФУС РПМЕЪОЩНЙ УМЕДХАЭЙЕ УППФОП-
ЫЕОЙС: |
∞ |
dx |
|
ı |
|
∞ |
|
x2 dx |
|
|
ı |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
(x2 |
+ a2)2 = |
2a3 |
; |
|
|
|
(x2 + a2)2 |
= |
2a |
: |
(10.155) |
|||
−∞ |
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
рПУМЕ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РПМХЮБЕН ПФŒЕФ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 0p02 |
|
|
n |
|
ı´2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ns = |
T |
|
|
|
3=2 |
: |
|
|
|
(10.156) |
|||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
3m |
|
!n |
(! |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
+ ´ ) |
|
|
|
|
|
|
|||
тБУУНПФТЙН ТБЪМЙЮОЩЕ РТЕДЕМШОЩЕ УМХЮБЙ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Á) T → 0. ъБНЕОЙН УХННХ ЙОФЕЗТБМПН: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 0p02 ı´2 |
∞ |
|
d! |
|
|
|
2 0p02 |
|
p03 |
|
|
|||
ns = |
3m |
2ı |
(!2 + ´2)3=2 |
= 3m |
= 3ı2 |
= n : |
(10.157) |
||||||||
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
œЙДЙН, ЮФП РТЙ T = 0 УŒЕТИФЕЛХЮБС РМПФОПУФШ ТБŒОБ РПМОПК, ЛБЛ Й ДПМЦОП ВЩФШ Œ ФТБОУМСГЙПООП{ЙОŒБТЙБОФОПК УЙУФЕНЕ.
Â) T → Tc. œ ЬФПН УМХЮБЕ ДПУФБФПЮОП РТЕОЕВТЕЮШ ´ Œ ЪОБНЕОБФЕМЕ. фПЗДБ УХННБ ŒЩТБЦБЕФУС ЮЕТЕЪ “ -ЖХОЛГЙА (УН. ЪБДБЮХ 59), ЮФП ДБЕФ
ns |
|
7´2 |
|
T |
: |
|
n |
= |
4ı2Tc2 |
= 2 |
1 − Tc |
(10.158) |
фБЛЙН ПВТБЪПН, РТЙ T → Tc УŒЕТИФЕЛХЮБС РМПФОПУФШ ХНЕОШЫБЕФУС ДП ОХМС. фЕРЕТШ УŒСЦЕН ns У ЗМХВЙОПК РТПОЙЛОПŒЕОЙС. ъБРЙЫЕН ЪБЛПО бНРЕТБ:
rot H = |
4ı |
j = − |
4ınse2 |
|
||
c |
mc2 |
A : |
(10.159) |
|||
рПУЛПМШЛХ H = rot A, ЙНЕЕН |
|
|
4ınse2 |
|
|
|
2A = |
|
|
||||
mc2 A : |
|
(10.160) |
||||
рХУФШ ЗТБОЙГБ ПВТБЪГБ РЕТРЕОДЙЛХМСТОБ ПУЙ x, Б НБЗОЙФОПЕ РПМЕ РБТБММЕМШОП ПУЙ z. фПЗДБ
Ay (x) = Ay (0) e−x=‹˜ ; |
(10.161) |
||||
ÇÄÅ |
|
mc2 |
|
|
|
‹2 |
= |
: |
(10.162) |
||
|
|||||
˜ |
|
4ınse2 |
|
|
|
|
|
|
|
||