Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002)
.pdf12.5. ъбдбюй 75 { 82 |
371 |
УППФŒЕФУФŒХЕФ ЙНРХМШУ РПМС. пРТЕДЕМЙФЕ УППФŒЕФУФŒЙЕ НЕЦДХ ЖБЪПК ТБУУЕСОЙС ‹ Й БНРМЙФХДПК РПМС a(x; t).
вПЪПОЙЪПŒБООЩК ЗБНЙМШФПОЙБО ЛŒБДТБФЙЮЕО, Б ЮМЕО, ПРЙУЩŒБАЭЙК ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ У РПМЕН a, МЙОЕЕО РП ПРЕТБФПТБН j(k). тБУУНПФТЙФЕ ЬŒПМАГЙА ПУОПŒОПЗП УППРТЕДЕМЙФЕ РЕТЕЛТЩФЙЕ ОБЮБМШОПЗП Й ЛПОЕЮОПЗП УП-
УФПСОЙС РТЙ ŒЛМАЮЕОЙЙ РПМС Й УФПСОЙК. рПМХЮЙФЕ ЖПТНХМХ (12.55).
ъБДБЮБ 79. (лТБК УРЕЛФТБ ТЕОФЗЕОПŒУЛПЗП РПЗМПЭЕОЙС Œ НЕФБММЕ.) рТЙ РПЗМПЭЕОЙЙ НСЗЛЙИ ТЕОФЗЕОПŒУЛЙИ МХЮЕК Œ НЕФБММЕ 11, ЬМЕЛФТПО, РПЗМПФЙŒ ЖПФПО, НПЦЕФ РЕТЕКФЙ У ПДОПК ЙЪ ŒОХФТЕООЙИ ПВПМПЮЕЛ БФПНБ ТЕЫЕФЛЙ Œ УŒПВПДОЩЕ УПУФПСОЙС Œ ЪПОЕ РТПŒПДЙНПУФЙ. рТЙ ЬФПН ОБ ПФДБŒЫЕН ЬМЕЛФТПО БФПНЕ ПУФБЕФУС ДЩТЛБ, ПВМБДБАЭБС РПМПЦЙФЕМШОЩН ЪБТСДПН. ьМЕЛФТПОЩ Œ ЪПОЕ РТПŒПДЙНПУФЙ, Б ФБЛЦЕ ŒЩМЕФЕŒЫЙК ЬМЕЛФТПО, НПЗХФ ТБУУЕЙŒБФШУС ОБ ŒПЪОЙЛЫЕН РТЙ РПЗМПЭЕОЙЙ ЖПФПОБ УФБФЙЮЕУЛПН РПФЕОГЙБМЕ ДЩТЛЙ. рПУЛПМШЛХ ЬФП ТБУУЕСОЙЕ ŒЛМАЮБЕФУС НЗОПŒЕООП, ЬМЕЛФТПОЩ РТПŒПДЙНПУФЙ ЙУРЩФЩŒБАФ ŒУФТСУЛХ, РТЙŒПДСЭХА Л ТПЦДЕОЙА ЬМЕЛФТПО-ДЩТПЮОЩИ РБТ. пЛБЪЩŒБЕФУС, ЮФП ЙНЕООП ЬФБ ДЙОБНЙЛБ ЖЕТНЙ-УЙУФЕНЩ ПРТЕДЕМСЕФ ИБТБЛФЕТ УРЕЛФТБ РПЗМПЭЕОЙС, ЛПЗДБ ЬОЕТЗЙС ŒЩВЙФПЗП ЬМЕЛФТПОБ ВМЙЪЛБ Л EF .
вХДЕН УЮЙФБФШ, ЮФП РПФЕОГЙБМ ТБУУЕСОЙС ОБ ОЕРПДŒЙЦОПК ДЩТЛЕ УЖЕТЙЮЕУЛЙ УЙННЕФТЙЮЕО Й ИБТБЛФЕТЙЪХЕФУС ЖБЪБНЙ ТБУУЕСОЙС ‹l, ЗДЕ l = 1; 2; 3; ::: ОХНЕТХЕФ ЛБОБМЩ У ТБЪМЙЮОЩН ХЗМПŒЩН НПНЕОФПН. рТЕДРПМПЦЙН ФБЛЦЕ, ЮФП ЬМЕЛФТПО, РПЗМПЭБАЭЙК ЖПФПО, РЕТЕИПДЙФ Œ УПУФПСОЙЕ У ХЗМПŒЩН НПНЕОФПН l = j. (еУМЙ ЬМЕЛФТПО ŒЩТЩŒБЕФУС ЙЪ s-УПУФПСОЙС, ФП j = 1 РП РТБŒЙМХ ПФВПТБ ДМС ДЙРПМШОЩИ РЕТЕИПДПŒ.) рПЛБЦЙФЕ, ЮФП УРЕЛФТ РПЗМПЭЕОЙС ЖПФПОПŒ ŒВМЙЪЙ ОЙЦОЕК ЗТБОЙГЩ ЙНЕЕФ УФЕРЕООПЕ РПŒЕДЕОЙЕ:
W (!) (! − !0)˛ ; ˛ = ¸ − 2‹j =ı ; |
(12.56) |
ЗДЕ ŒЕМЙЮЙОБ ¸ ПРТЕДЕМЕОБ ŒЩТБЦЕОЙЕН (12.55), Б РПТПЗ РПЗМПЭЕОЙС !0 = EF + E0 ЕУФШ УХННБ ЬОЕТЗЙЙ ПВТБЪПŒБОЙС ДЩТЛЙ Й ЬОЕТЗЙЙ жЕТНЙ, ПФУЮЙФБООПК ПФ ЬОЕТЗЙЙ УŒСЪЙ ŒЩВЙФПЗП ЬМЕЛФТПОБ.
дŒБ УМБЗБЕНЩИ Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ ДМС ˛ ЙЪŒЕУФОЩ ЛБЛ БОДЕТУПОПŒУЛЙК Й НБИБОПŒУЛЙК ŒЛМБДЩ. рТЙ ЬФПН ¸, УПЗМБУОП ЪБДБЮЕ 78, ПРЙУЩŒБЕФ ŒУФТСИЙŒБОЙЕ ЖЕТНЙ-УЙУФЕНЩ РТЙ ŒЛМАЮЕОЙЙ ТБУУЕСОЙС, РТЙŒПДСЭЕЕ Л УМПЦОЩН ОЕХРТХЗЙН РТПГЕУУБН, УŒСЪБООЩН У НОПЦЕУФŒЕООЩН ТПЦДЕОЙЕН ЬМЕЛФТПО-ДЩТПЮОЩИ РБТ. œЛМБД ЦЕ −2‹j =ı ПРЙУЩŒБЕФ ЬЖЖЕЛФ РТЙФСЦЕОЙС ŒЩВЙФПЗП ЬМЕЛФТПОБ ОЕРПДŒЙЦОПК ДЩТЛПК 12. йОФЕТЕУОП, ЮФП, ВМБЗПДБТС ŒФПТПНХ УМБЗБЕНПНХ, ЪОБЛ ˛ НПЦЕФ ПЛБЪБФШУС РТПЙЪŒПМШОЩН. рТЙ ˛ > 0 ОЙЪЛПЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛПЕ РПЗМПЭЕОЙЕ РПДБŒМСЕФУС РП УТБŒОЕОЙА У ЙДЕБМШОЩН ЖЕТНЙ-
ЗБЪПН, Б РТЙ ˛ < 0 | ОБПВПТПФ, ХУЙМЙŒБЕФУС.
ъБДБЮБ 80. (жХОЛГЙС зТЙОБ.) тБУУНПФТЙФЕ МБФФЙОЦЕТПŒУЛХА ЦЙДЛПУФШ У ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕН (12.23), Œ ЛПФПТПН ŒЕМЙЮЙОЩ g1;2(q) ÎÅ ÚÁŒÉÓÑÔ ÏÔ q.
Б) рПМХЮЙФЕ ŒЩТБЦЕОЙС (12.51) ДМС ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ (12.50) РТЙ T = 0. В) оБКДЙФЕ ЖХОЛГЙА зТЙОБ РТЙ ЛПОЕЮОПК ФЕНРЕТБФХТЕ T .
11йНЕООП РТЙ ТЕЫЕОЙЙ ЬФПК Й ТПДУФŒЕООПК ЕК ЪБДБЮЙ П ЛБФБУФТПЖЕ ПТФПЗПОБМШОПУФЙ (УН. ЪБДБЮЙ 27 Й 78), ВЩМЙ ŒРЕТŒЩЕ ŒŒЕДЕОЩ УППФОПЫЕОЙС (12.33) НЕЦДХ ВПЪПООЩНЙ Й ЖЕТНЙПООЩНЙ ПРЕТБФПТБНЙ (K. D. Schotte, U. Schotte, Phys. Rev., v. 182, p. 479 (1969)).
12G. D. Mahan, Phys. Rev., v. 163, p. 612 (1967)
372 змбœб 12. впъпойъбгйс й мбффйоцетпœулбс цйдлпуфш
ъБДБЮБ 81. (фХООЕМШОБС РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК.) тБУУНПФТЙН ДŒЕ РБТБММЕМШОЩЕ ПДОПНЕТОЩЕ УЙУФЕНЩ A Й B У ФПЮЕЮОЩН ФХООЕМШОЩН ЛПОФБЛФПН НЕЦДХ ОЙНЙ. пВЕ УЙУФЕНЩ СŒМСАФУС МБФФЙОЦЕТПŒУЛЙНЙ ЦЙДЛПУФСНЙ Й ПРЙУЩŒБАФУС ЗБНЙМШФПОЙБОПН (12.23) У ЛПОУФБОФБНЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС g1A;B;2 . зБНЙМШФПОЙБО УЙУФЕНЩ ЙНЕЕФ ŒЙД Htot =
|
Htun = w |
B+(x) A(x)$x=x0 |
+ h:c: ; |
(12.57) |
HA + HB + Htun, РТЙЮЕН |
|
$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
$ |
|
|
ЗДЕ w | БНРМЙФХДБ ФХООЕМЙТПŒБОЙС. рТЙ ЪБРЙУЙ (12.57) РТЕДРПМБЗБЕФУС, ЮФП ФХООЕМЙТПŒБОЙЕ РТПЙУИПДЙФ Œ НБМПК ПЛТЕУФОПУФЙ ФПЮЛЙ x0.
рПЛБЦЙФЕ, ЮФП РТЙ T = 0 ФХООЕМШОЩК ФПЛ СŒМСЕФУС УФЕРЕООПК ЖХОЛГЙЕК ОБРТСЦЕОЙС ОБ ЛПОФБЛФЕ:
I V ¸AB −1 ; ¸AB = 2(1 + sh2 „A + sh2 „B ) ; |
(12.58) |
ÇÄÅ „A;B УŒСЪБОЩ У ЛПОУФБОФБНЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС g1A;B;2 УППФОПЫЕОЙЕН (12.30). лБЛ НЕОСЕФУС ŒПМШФ-БНРЕТОБС ИБТБЛФЕТЙУФЙЛБ (12.58) РТЙ ЛПОЕЮОПК ФЕНРЕТБФХТЕ T ?
ъБДБЮБ 82. тБУУНПФТЙН ПДОПНЕТОЩЕ ЖЕТНЙПОЩ У ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕН (12.23). оБКДЙФЕ ЖХОЛГЙА зТЙОБ, РПМШЪХСУШ ФЕПТЙЕК ŒПЪНХЭЕОЙК Й ХТБŒОЕОЙЕН дБКУПОБ. тБУУНПФТЙФЕ ŒЛМБДЩ Œ УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛХА ЮБУФШ ˚("; p) РЕТŒПЗП Й ŒФПТПЗП РПТСДЛБ 13 РП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА g1;2(q). рПЛБЦЙФЕ, ЮФП РПМХЮЕООПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ˚("; p) УПДЕТЦЙФ ТБУИПДЙНПУФШ РТЙ НБМЩИ ", ХЛБЪЩŒБАЭХА ОБ ОЕЖЕТНЙЦЙДЛПУФОПЕ РПŒЕДЕОЙЕ.
12.6. тЕЫЕОЙС
тЕЫЕОЙЕ 75. фЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛЙК РПФЕОГЙБМ ПДОПНЕТОПК ВПЪЕ-УЙУФЕНЩ ЙНЕЕФ ŒЙД
˙B = T |
ln 1 − e−"(k)=T |
dk |
; |
(12.59) |
|||
2ıh— |
|||||||
ÇÄÅ "(k) = vF |k|. рЕТЕИПДЙН Л ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙА РП x = "(k)=T : |
|
||||||
T |
0 |
|
|
|
dx |
|
|
2 ∞ |
|
1 − e−x |
|
|
|
||
˙B = 2vF |
|
ln |
2ıh— : |
|
(12.60) |
||
тБЪМБЗБС МПЗБТЙЖН Œ ТСД Й НЕОСС РПТСДПЛ УХННЙТПŒБОЙС Й ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС, РПМХ-
ÞÁÅÍ |
∞ |
1 |
T 2 |
|
T 2 |
|
|||
|
|
|
|
|
˙B = −ıvF n=1 n2 = −“ (2) ıvF h— : |
(12.61) |
|||
13œЩЮЙУМЕОЙЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ПДОПНЕТОПК УЙУФЕНЩ, Œ ЛПФПТПН ХЮФЕОЩ ŒЛМБДЩ ŒУЕИ РПТСДЛПŒ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК, УПДЕТЦЙФУС Œ ТБВПФЕ: й. е. дЪСМПЫЙОУЛЙК, б. й. мБТЛЙО, цьфж Ф. 65, У. 411 (1973). œ ЬФПК ТБВПФЕ РТПДЕНПОУФТЙТПŒБОП УПŒРБДЕОЙЕ ТЕЪХМШФБФПŒ ŒЩЮЙУМЕОЙК, РТПŒЕДЕООЩИ РП ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК Й У РПНПЭША НЕФПДБ ВПЪПОЙЪБГЙЙ.
12.6. теыеойс |
373 |
пФУАДБ ОБИПДЙН ФЕРМПЕНЛПУФШ C = (ı2=6) T =(ıvF h—).
оБКДЕН ФЕРЕТШ ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛЙК РПФЕОГЙБМ, РПМШЪХСУШ ЛБОПОЙЮЕУЛЙН ЖЕТНЙ-
ПООЩН РТЕДУФБŒМЕОЙЕН: |
|
|
|
|
|
˙F = −T |
2 |
=2m−—)=T |
dk |
|
|
ln 1 + e−(k |
2ıh— |
: |
(12.62) |
оБУ ЙОФЕТЕУХЕФ ЪБŒЙУСЭБС ПФ ФЕНРЕТБФХТЩ ЮБУФШ ˙F , ЛПФПТБС ПРТЕДЕМСЕФУС УПУФПСОЙСНЙ У ЬОЕТЗЙЕК |"| ≈ T ŒВМЙЪЙ ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ. œ ЬФПК ПВМБУФЙ ЬОЕТЗЙК ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ НПЦОП МЙОЕБТЙЪПŒБФШ: ‰(k) = ±vF (|k| − p0). фЕРЕТШ ŒЩЮФЕН ЙЪ ŒЩТБЦЕОЙС (12.62) ЕЗП ЪОБЮЕОЙЕ РТЙ T → 0. тЕЪХМШФБФ НПЦОП ЪБРЙУБФШ Œ ŒЙДЕ
4T |
∞ |
|
|
|
d‰ |
|
˙F = − vF |
0 |
ln |
2ıh— : |
(12.63) |
||
|
1 + e−‰=T |
|
лБЛ Й ŒЩЫЕ, ТБЪМБЗБЕН МПЗБТЙЖН Œ ТСД Й НЕОСЕН РПТСДПЛ УХННЙТПŒБОЙС Й ЙОФЕЗТЙ-
ÒÏŒÁÎÉÑ: |
∞ |
( 1)n−1 |
1 |
2T 2 |
|
2T 2 |
|
||||
˙F = −ıvF |
|
−n2 |
= −2 |
“ (2) ıvF h— : |
(12.64) |
|
n=1 |
|
|
|
|
œÉÄÉÍ, ÞÔÏ ˙F = ˙B . ъОБЮЙФ, ФЕРМПЕНЛПУФЙ, ОБКДЕООЩЕ ПВПЙНЙ УРПУПВБНЙ, УПŒРБДБАФ.
тЕЫЕОЙЕ 76. уПУФПСОЙС ЖЕТНЙ-ЗБЪБ У НБМЩНЙ ЬОЕТЗЙСНЙ, ДМС ЛПФПТЩИ УРТБŒЕДМЙŒП РТЕДУФБŒМЕОЙЕ ВПЪПОЙЪБГЙЙ, НПЦОП ТБЪДЕМЙФШ ОБ РТБŒЩЕ Й МЕŒЩЕ, РПУФТПЕООЩЕ, УППФŒЕФУФŒЕООП, ЙЪ РМПУЛЙИ ŒПМО У p ≈ p0 É p ≈ −p0. оЕ ФЕТСС ПВЭОПУФЙ, ПЗТБОЙЮЙНУС ТБУУНПФТЕОЙЕН РТБŒЩИ УПУФПСОЙК. рПУМЕ ФПЗП ЛБЛ УППФŒЕФУФŒЙЕ НЕЦДХ ЛБОПОЙЮЕУЛЙН Й ВПЪПООЩН РТЕДУФБŒМЕОЙСНЙ ВХДЕФ ХУФБОПŒМЕОП ДМС РТБŒЩИ УПУФПСОЙК, ПВПВЭЕОЙЕ ОБ ДТХЗЙЕ УПУФПСОЙС ВХДЕФ ПЮЕŒЙДОП. дМС РТПУФПФЩ ВХДЕН ТБУУНБФТЙŒБФШ ВЕУУРЙОПŒЩЕ ЮБУФЙГЩ.
пДОПЮБУФЙЮОЩЕ УПУФПСОЙС ЖЕТНЙПОПŒ ОБ ЛПМШГЕ ДМЙОЩ L ИБТБЛФЕТЙЪХАФУС ДЙУЛТЕФОЩНЙ ЙНРХМШУБНЙ pj = 2ıj=L, j Z. пУОПŒОПЕ УПУФПСОЙЕ 2jmax + 1 ЮБУФЙГ ЕУФШ УМЬФЕТПŒУЛЙК ДЕФЕТНЙОБОФ |vacf , РПУФТПЕООЩК ЙЪ РМПУЛЙИ ŒПМО У pj , ФБЛЙНЙ ЮФП
|j| jmax.
мЙОЕБТЙЪХС УРЕЛФТ ŒВМЙЪЙ p = pjmax , ОБИПДЙН ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ РТБŒЩИ ЮБУФЙГ:
"(j) = ´(j − jmax), ÇÄÅ ´ = 2ıpjmax=mL = 2ıvF =L | ТБУУФПСОЙЕ НЕЦДХ ХТПŒОСНЙ ŒВМЙЪЙ EF . оЙЦЕ ВХДЕФ ХДПВОП ОХНЕТПŒБФШ ПДОПЮБУФЙЮОЩЕ ХТПŒОЙ У РПНПЭША m =
j − jmax. ðÒÉ ÜÔÏÍ "m = m´, РТЙЮЕН Œ ПУОПŒОПН УПУФПСОЙЙ ЪБРПМОЕОЩ ХТПŒОЙ У m 0, Б ХТПŒОЙ У m > 0 РХУФЩ.
рЕТЕКДЕН ФЕРЕТШ Л ТБУУНПФТЕОЙА НОПЗПЮБУФЙЮОЩИ ŒПЪВХЦДЕООЩИ УПУФПСОЙК. лБЦДПЕ ŒПЪВХЦДЕООПЕ УПУФПСОЙЕ ИБТБЛФЕТЙЪХЕФУС ЪБРПМОЕОЙЕН ОЕЛПФПТПЗП ЛПМЙЮЕУФŒБ ПДОПЮБУФЙЮОЩИ УПУФПСОЙК У m > 0 ПДОПŒТЕНЕООП У ПВТБЪПŒБОЙЕН ФПЮОП ФБЛПЗП ЦЕ ЛПМЙЮЕУФŒБ ДЩТПЛ У m 0. œ РТПУФЕКЫЕН УМХЮБЕ, ЛПЗДБ ЙНЕЕФУС ŒУЕЗП ПДОБ РБТБ ЮБУФЙГБ{ДЩТЛБ, УПУФПСОЙС ŒЩЗМСДСФ ФБЛ: m|n = a+man|vacf , ЗДЕ m > 0, n 0, Б ЬОЕТЗЙС Em|n = (m − n)´. рТЙ ЛБЦДПН ЪОБЮЕОЙЙ ЬОЕТЗЙЙ Ek = k´, k = 1; 2; 3; 4; :::, ЙНЕЕФУС ТПŒОП k ФБЛЙИ УПУФПСОЙК.
376 змбœб 12. впъпойъбгйс й мбффйоцетпœулбс цйдлпуфш
дМС ДПЛБЪБФЕМШУФŒБ УППФОПЫЕОЙС (12.54) ХНОПЦЙН МЕŒХА Й РТБŒХА ЮБУФЙ (12.52) ОБ |Aj |2ei—’j (x). рПМБЗБС — = 1, РТЙИПДЙН Л (12.54).
тЕЫЕОЙЕ 78. тБУУНПФТЙН ТБУУЕСОЙЕ ОБ ЪБŒЙУСЭЕН ПФ ŒТЕНЕОЙ ФПЮЕЮОПН РПФЕОГЙБМЕ, ŒПУРПМШЪПŒБŒЫЙУШ РТЕДУФБŒМЕОЙЕН ЛЙТБМШОЩИ ЖЕТНЙПОПŒ, ПФДЕМШОП ДМС ЛБЦДПЗП ЛБОБМБ ТБУУЕСОЙС. зБНЙМШФПОЙБО, ЪБРЙУБООЩК ЮЕТЕЪ ПРЕТБФПТЩ j1(k) ЗБТНПОЙЛ РМПФОПУФЙ РТБŒЩИ ЮБУФЙГ, ЙНЕЕФ ŒЙД
|
0 |
|
|
|
|
|
|
H = 2ıvF |
|
j1 |
(k)j1 |
(−k) + we‚tj1 |
(x = 0) |
: |
(12.77) |
k>
рЕТŒЩК ЮМЕО (12.77) РТЕДУФБŒМСЕФ УПВПК ЛЙОЕФЙЮЕУЛХА ЬОЕТЗЙА (12.27), Б ŒФПТПК | РПФЕОГЙБМ ТБУУЕСОЙС, ŒЛМАЮБЕНЩК УП УЛПТПУФША ‚.
уŒСЦЕН БНРМЙФХДХ ŒПЪНХЭЕОЙС w Œ (12.77) У ЖБЪПК ТБУУЕСОЙС ‹l. тБУУНПФТЙН ДМС ЬФПЗП ПДОПНЕТОЩК ЙДЕБМШОЩК ЖЕТНЙ-ЗБЪ Œ РМБŒОП НЕОСАЭЕНУС ЬМЕЛФТПНБЗОЙФОПН
ÐÏÌÅ: |
1 |
|
|
|
|
j1(x)a(x; t)dx |
(12.78) |
||
Hint = −c |
||||
|
|
|
|
a(x; t)dx |
рПМЕ РТЙМПЦЕОП Œ ОЕВПМШЫПК ПЛТЕУФОПУФЙ x = 0, РТЙЮЕН ЕЗП РПФПЛ ˘(t) = |
||||
РМБŒОП НЕОСЕФУС ЛБЛ ЖХОЛГЙС ŒТЕНЕОЙ РП ЪБЛПОХ e‚t. лŒБЪЙЛМБУУЙЮЕУЛЙК ОБВЕЗ ЖБЪЩ, ŒПЪОЙЛБАЭЙК ВМБЗПДБТС a(x; t), ДБЕФУС НОПЦЙФЕМЕН exp(2ıi˘(t)=˘0), ÇÄÅ ˘0 = hc=e.
лŒБОФПŒПНЕИБОЙЮЕУЛБС ЖБЪБ ТБУУЕСОЙС ‹l Œ ЛБОБМЕ У ХЗМПŒЩН НПНЕОФПН l ПРТЕДЕМСЕФУС У РПНПЭША БУЙНРФПФЙЛЙ ŒПМОПŒПК ЖХОЛГЙЙ: (r) sin(kr + ‹l + ıl). йЪ ЬФПЗП ŒЩТБЦЕОЙС ŒЙДОП, ЮФП ЙЪНЕОЕОЙЕ ПФОПУЙФЕМШОПК ЖБЪЩ ТБУУЕСООПК Й РБДБАЭЕК ŒПМО РТЙ ŒЛМАЮЕОЙЙ ТБУУЕСОЙС ЕУФШ 2‹l. уТБŒОЙŒБС У ЖБЪПК, ŒПЪОЙЛБАЭЕК Œ РПМЕ a(x; t), ОБИПДЙН
2ı ˘(t) = ˘0 2‹le‚t : |
(12.79) |
рПДУФБŒМСС ЬФП УППФОПЫЕОЙЕ Œ (12.78) Й ŒЩТБЦБС ФПЛ ЮЕТЕЪ РМПФОПУФШ РП ЖПТНХМЕ
|
|
, РПМХЮБЕН ŒФПТПК ЮМЕО ЗБНЙМШФПОЙБОБ (12.77). рТЙ ЬФПН w = −2‹lhv— F . |
j1 = evF j1 |
||
|
оБКДЕН ЙОФЕЗТБМ РЕТЕЛТЩФЙС УПУФПСОЙС Œ НПНЕОФ t = 0 У ЙУИПДОЩН УПУФПСОЙЕН |
|
|0 , ЙНЕŒЫЙНУС РТЙ t = −∞. рЕТЕЛТЩФЙЕ УПУФПСОЙК, ЪБРЙУБООПЕ Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС, ЕУФШ
K‚ |
= 0|T exp −i |
0 |
H~int(t) dt |0 ; |
|
|
(12.80) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
ÇÄÅ |
|
j~1(x; t)x=0 ; |
j~1(x; t) = e |
|
j~1(x)e |
|
: |
(12.81) |
|
Hint(t) = we |
|
||||||||
~ |
‚t |
|
|
|
iH0t |
|
−iH0t |
|
|
рПМШЪХСУШ УППФОПЫЕОЙСНЙ (12.16), ŒЩТБЪЙН РМПФОПУФШ j1(x) ЮЕТЕЪ ВПЪЕ-ПРЕТБФПТЩ bk |
||
É bk+, Й РЕТЕКДЕН Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС: |
|
|
|
|
|
j~1(x; t) = k>0(–k L)−1 eikx−iv|k|tbk + e−ikx+iv|k|tbk+ |
(12.82) |
|
12.6. теыеойс |
377 |
рТЙ ЬФПН ЗБНЙМШФПОЙБО ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС (12.81) ПЛБЪЩŒБЕФУС МЙОЕКОЩН РП ВПЪЕПРЕТБФПТБН, ЮФП ДЕМБЕФ ЪБДБЮХ ХУТЕДОЕОЙС ЬЛУРПОЕОФЩ (12.80) ŒЕУШНБ РТПУФПК. пФНЕФЙН, ЮФП ЙНЕООП ОБ ЬФПН ЫБЗЕ УФБОПŒЙФУС ПЮЕŒЙДОЩН РТЕЙНХЭЕУФŒП ВПЪПОЙЪБГЙЙ РП УТБŒОЕОЙА У РТСНЩН ŒЩЮЙУМЕОЙЕН.
оБКДЕН УТЕДОЕЕ ПФ ЬЛУРПОЕОФЩ (12.80), РПМШЪХСУШ РТБŒЙМПН ЗБХУУПŒБ ХУТЕДОЕОЙС Й ФЕПТЕНПК œЙЛБ:
−∞ |
|
−∞ |
j~1(x; t)j~1(x; t ) x=0e‚(t+t )dt : |
|
||||
K‚ = exp −w2 |
0 |
dt |
t |
(12.83) |
||||
уПЗМБУОП (12.16) ЙОФЕТЕУХАЭЙК ОБУ ЛПТТЕМСФПТ ŒЕМЙЮЙО j~1(x; t)x=0 ÅÓÔØ |
|
|||||||
j~1(0; t)j~1(0; t ) = |
0 |
|
|
|
||||
k> |
e−i|k|v(t−t )−a|k|=–k2L : |
(12.84) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рПДУФБŒМСС (12.84) Œ (12.83) Й ŒЩЮЙУМСС ЙОФЕЗТБМЩ РП t Й t, ОБИПДЙН |
|
|||||||
K‚ = exp |
w2 |
|
k |
e−ak |
: |
(12.85) |
||
|
|
0 |
2ı (‚ + ikvF )2‚ |
|
|
|||
|
|
− |
k> |
|
|
|||
рТЙ ŒЩЮЙУМЕОЙЙ ЙОФЕЗТБМБ (12.85) ПУФБŒМСЕН ФПМШЛП ŒЕЭЕУФŒЕООХА ЮБУФШ, РПУЛПМШЛХ ПФОПУЙФЕМШОБС ЖБЪБ ОБЮБМШОПЗП Й ЛПОЕЮОПЗП УПУФПСОЙК ОБУ ОЕ ЙОФЕТЕУХЕФ. тЕЪХМШФБФ
ÅÓÔØ |
−4ı k> |
k vF |
+ ‚ |
|
|
−2ı |
|
‚a |
|
||
|
w2 |
0 |
ke |
ak |
|
|
‹2 |
v |
|
||
|
|
− |
|
|
|
2 ln |
F : |
(12.86) |
|||
K‚ = exp |
|
|
2 2 |
|
2 |
= exp |
|
||||
пУФБЕФУС ФПМШЛП ЪБНЕФЙФШ, ЮФП a ≈ vF =EF , Й ЮФП ŒЛМБДЩ Œ K‚ ПФ ЛБОБМПŒ ТБУУЕСОЙС У ТБЪМЙЮОЩНЙ ЪОБЮЕОЙСНЙ УРЙОБ Й ХЗМПŒПЗП НПНЕОФБ ЖБЛФПТЙЪХАФУС. рТПЙЪŒЕДЕОЙЕ ОЕЪБŒЙУЙНЩИ ŒЛМБДПŒ ТБЪМЙЮОЩИ ЛБОБМПŒ ДБЕФ ЖПТНХМХ (12.55).
тЕЫЕОЙЕ 79. œЕТПСФОПУФШ РПЗМПЭЕОЙС ЖПФПОБ, УПЗМБУОП ĂЪПМПФПНХ РТБŒЙМХĄ,
ЪБРЙУЩŒБЕФУС Œ ŒЙДЕ |
$ |
up(!) f |ap+b|i $ |
|
‹(! − !0 − Ef ) ; |
(12.87) |
W (!) = 2ı |
2 |
||||
|
$ |
$ |
|
|
|
|
$ |
$ |
|
|
|
f |
p |
|
|
|
|
ÇÄÅ a+p | ПРЕТБФПТ ТПЦДЕОЙС ЬМЕЛФТПОБ У ЙНРХМШУПН p Œ ЪПОЕ РТПŒПДЙНПУФЙ, b | ПРЕТБФПТ ТПЦДЕОЙС ДЩТЛЙ (ХОЙЮФПЦЕОЙС ЬМЕЛФТПОБ) ОБ ŒОХФТЕООЕК ПВПМПЮЛЕ БФПНБ, up(!) | ДЙРПМШОЩК НБФТЙЮОЩК ЬМЕНЕОФ, !0 | РПТПЗ РПЗМПЭЕОЙС, ТБŒОЩК УХННЕ НЙОЙНБМШОПК ЬОЕТЗЙЙ ŒЩВЙФПЗП ЬМЕЛФТПОБ EF Й ЬОЕТЗЙЙ ПВТБЪПŒБОЙС ДЩТЛЙ E0. уХННЙТПŒБОЙЕ Œ (12.87) РТПЙУИПДЙФ РП ЙНРХМШУБН p ЬМЕЛФТПОБ, РПРБДБАЭЕЗП Œ ЪПОХ РТПŒПДЙНПУФЙ, Б ФБЛЦЕ РП ŒУЕН ЛПОЕЮОЩН УПУФПСОЙСН |f УЙУФЕНЩ У ДПВБŒМЕООЩНЙ ЬМЕЛФТПОПН Й ДЩТЛПК. оБЮБМШОПЕ УПУФПСОЙЕ |i РТЕДУФБŒМСЕФ УПВПК ПУОПŒОПЕ УПУФПСОЙЕ ЙДЕБМШОПЗП ЖЕТНЙ-ЗБЪБ.
рТЕПВТБЪХЕН ŒЩТБЦЕОЙЕ (12.87), ŒПУРПМШЪПŒБŒЫЙУШ УППФОПЫЕОЙЕН
2ı |
f |
‹(! − !0 − Ef ) |f f | = |
∞ e−iHsct+i(!−!0)tdt ; |
(12.88) |
|
|
|
|
−∞ |
|
|
12.6. теыеойс |
379 |
рТБŒБС ЮБУФШ ЬФПЗП ŒЩТБЦЕОЙС, У ФПЮОПУФША ДП ОЕУХЭЕУФŒЕООПК ЛПОУФБОФЩ 15, ÅÓÔØ
. уДЕМБООПЕ ОБВМАДЕОЙЕ РПЪŒПМСЕФ РЕТЕРЙУБФШ ŒЛМБД -ЗП ЛБОБМБ Œ ŒЩТБЦЕОЙЕ
Hl l
(12.90) УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН:
Tr e |
|
e |
|
= e |
−i´lt |
e |
|
e |
e |
|
e |
|
= e |
−i´lt |
e |
|
(t) |
e |
|
(0) |
; |
(12.95) |
|
iH0t |
|
−iHlt |
|
|
iH0t |
|
i—’1 |
−iH0t |
|
−i—’1 |
|
|
i—’1 |
|
−i—’1 |
|
|
ÇÄÅ — = −‹l =ı, ’1(t) = ’1(x; t)x=0. юФПВЩ ŒЩЮЙУМЙФШ УТЕДОЕЕ Œ (12.95), РТЙŒЕДЕН РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ ПРЕТБФПТПŒ Л ОПТНБМШОП-ХРПТСДПЮЕООПК ЖПТНЕ. ьФП ОЕФТХДОП УДЕМБФШ, ŒПУРПМШЪПŒБŒЫЙУШ ФПЦДЕУФŒПН вЕКЛЕТБ{иБХУДПТЖБ:
ei—’1(t)e−i—’1(0) |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
= ei—(’1(t)−’1(0))+ —2 [’1(t);’1(0)] |
= |
|
|
|||||||||
B = |
–k bk (e−ikvF t − 1) e−a|k|=2 |
: |
|
|
||||||||
|
|
|
|
= e—B |
+ |
|
—B —2 |
B+;B |
]+[ |
’ t ;’ |
||
|
|
e− e 2 ([ |
|
|
( ) |
(0)]); |
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
œЩЮЙУМСС УТЕДОЕЕ, РПМХЮБЕН |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‹2 |
a |
|
|
|
|
|
|
|
(0) = exp ıl2 |
ln a + ivF t |
: |
|
|
|||||||
|
ei—’1(t)e−i—’1 |
|
(12.96) |
|||||||||
рТЙ ВПМШЫЙИ t ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ ŒЕДЕФ УЕВС ЛБЛ t−‹l2=ı2 .
фЕРЕТШ ТБУУНПФТЙН ДЙОБНЙЛХ Œ ЛБОБМЕ У l = j. рПМШЪХСУШ ФЕН ЦЕ НЕФПДПН, ЮФП Й ŒЩЫЕ, ОБИПДЙН ŒЛМБД ЬФПЗП ЛБОБМБ:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12.97) |
Tr eiH0tei’1 e−iHlte−i’1 |
= eiH0tei(1+—)’1 e−iH0te−i(1+—)’1 ; |
||||||||
ÇÄÅ — = −‹j =ı. œ ТЕЪХМШФБФЕ ŒЩРПМОЕООПЗП РТЕПВТБЪПŒБОЙС ПРЕТБФПТЩ e±i’1 ХДПВОП ЛПНВЙОЙТХАФУС У e±i—’1 . дБМШОЕКЫЙЕ ŒЩЮЙУМЕОЙС ОЙЮЕН ОЕ ПФМЙЮБАФУС ПФ УМХЮБС l = j, У ФПЮОПУФША ДП ЪБНЕОЩ — → 1 + — = 1 − ‹j =ı. œ ТЕЪХМШФБФЕ РПМХЮБЕН
|
|
− ı |
2 ln |
a + iv |
t |
|
|
1 |
‹j |
F |
|
(12.98) |
|
exp |
a |
: |
œЩЮЙУМСС РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ ŒЛМБДПŒ ŒУЕИ l У ХЮЕФПН ЛТБФОПУФЙ 2l + 1 ПТВЙФБМШОПЗП ŒЩТПЦДЕОЙС Й ДŒХЛТБФОПЗП УРЙОПŒПЗП ŒЩТПЦДЕОЙС, РПМХЮБЕН УМЕДХАЭЕЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ:
|
|
a + ivF t |
|
l |
|
|
|
W (!) = A2 |
∞ |
a |
1−2‹j =ı+2 |
(2l+1)‹l2=ı2 |
ei(!−!0)tdt : |
(12.99) |
−∞
рПЛБЪБФЕМШ УФЕРЕОЙ ЕУФШ ОЕ ЮФП ЙОПЕ ЛБЛ 1 + ˛. рТЙ ŒЩЮЙУМЕОЙЙ ЙОФЕЗТБМБ РП t ЪБНЩЛБЕН ЛПОФХТ Œ ŒЕТИОЕК ЙМЙ ОЙЦОЕК РПМХРМПУЛПУФЙ ЛПНРМЕЛУОПЗП t, Œ ЪБŒЙУЙНПУФЙ
15тПМШ ЬФПК ЛПОУФБОФЩ, ŒЕМЙЮЙОБ ЛПФПТПК ЕУФШ ´l = 2ıvF ‹l2=ı2, УŒПДЙФУС Л ОЕВПМШЫПНХ
k>0
УДŒЙЗХ РПТПЗБ РПЗМПЭЕОЙС !0.
380 змбœб 12. впъпойъбгйс й мбффйоцетпœулбс цйдлпуфш
ПФ ЪОБЛБ ! − !0. œ ТЕЪХМШФБФЕ РПМХЮБЕН ЙУЛПНПЕ УППФОПЫЕОЙЕ W (!) (! − !0)˛ ÐÒÉ ! > !0 É W (!) = 0 ÐÒÉ ! < !0.
тЕЫЕОЙЕ 80 Б. уОБЮБМБ ОБКДЕН ЗТЙОПŒУЛХА ЖХОЛГЙА G0j (x; t) Œ ПФУХФУФŒЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ДМС РТБŒЩИ ЮБУФЙГ: j = 1. иПД ŒЩЮЙУМЕОЙС ОБРПНЙОБЕФ РТЕПВТБЪПŒБОЙС, РТПДЕМБООЩЕ ŒЩЫЕ РТЙ РТПŒЕТЛЕ ЛПННХФБГЙПООЩИ УППФОПЫЕОЙК. уОБЮБМБ РТЕПВТБЪХЕН РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ ПРЕТБФПТПŒ Œ (12.50) У РПНПЭША ФПЦДЕУФŒБ вЕКЛЕТБ{иБХУДПТЖБ (12.35):
ei’j (x;t)e−i’j (0;0) = ei’j (x;t)−i’j (0;0)e 21 [’j (x;t);’j (0;0)] : |
(12.100) |
||||||||||||
фЕРЕТШ ОПТНБМШОП |
ХРПТСДПЮЙŒБЕН ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ, ЕЭЕ ТБЪ РТЙНЕОСС ФПЦДЕУФŒП |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(12.35), Й ŒЩЮЙУМСЕН ЛПННХФБФПТЩ, РПМШЪХСУШ (12.36): |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
([B+ |
|
|
|
|
|
|
ei’j (x;t)e−i’j (0;0) = e−B+ eB e 21 |
;B]+[’j (x;t);’j (0;0)]) = |
|
|||||||||||
|
|
|
B+ |
|
B |
|
e−ak |
ik(x vt) |
|
|
|||
|
|
= e− |
|
e |
|
|
0 |
k (e |
|
− |
(12.101) |
||
|
|
|
|
exp 2ı |
|
|
− 1) ; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
k> |
|
|
|
|
|
|
–k bk eikx−kvF t − 1 : |
|
|
|
|
|
|
|||||||
B = k>0 |
|
|
0 |
|
|
(12.102) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
уХННБ Œ ЬЛУРПОЕОФЕ, ЛБЛ ВЩМП ОБКДЕОП Œ (12.44), ЕУФШ ln a=[a − i(x − vt)] . рПДУФБŒМСЕН ТЕЪХМШФБФ Œ (12.50), ХУТЕДОСЕН РП ПУОПŒОПНХ УПУФПСОЙА, Й РПМХЮБЕН
G10 |
(x; t) = (2ı)−1 a |
|
1 |
|
vt) |
; |
a → 0 : |
(12.103) |
− |
i(x |
− |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
дЕКУФŒХС БОБМПЗЙЮОП, ОБИПДЙН |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
a → 0 : |
|
G20 |
(x; t) = (2ı)−1 a + i(x + vt) |
; |
(12.104) |
|||||
тБЪХНЕЕФУС, ФПЮОП ФБЛЙЕ ЦЕ ŒЩТБЦЕОЙС НПЦОП РПМХЮЙФШ РТСНЩН ŒЩЮЙУМЕОЙЕН У РПНПЭША ŒФПТЙЮОП-ЛŒБОФПŒБООЩИ ЖЕТНЙЕŒУЛЙИ ПРЕТБФПТПŒ.
рЕТЕКДЕН Л ŒЩЮЙУМЕОЙА ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ЖЕТНЙПОПŒ. œТЕНЕООБС ЪБŒЙУЙНПУФШ ПРЕТБФПТБ ’j (x; t) НПЦЕФ ВЩФШ РПМХЮЕОБ ЙЪ (12.29), (12.30), (12.31). хРТПУФЙН ЪБДБЮХ, УЮЙФБС ЛПОУФБОФЩ УŒСЪЙ g1 É g2 ОЕЪБŒЙУСЭЙНЙ ПФ k ŒЕМЙЮЙОБНЙ. рТЙ ЬФПН ХЗПМ „ Œ РТЕПВТБЪПŒБОЙЙ вПЗПМАВПŒБ (12.29) ЕУФШ ЛПОУФБОФБ.
рТЕПВТБЪХЕН ПРЕТБФПТЩ bk , b+k Œ (12.36) У РПНПЭША УППФОПЫЕОЙК (12.29). рТЙ ЬФПН ПРЕТБФПТ ЖБЪЩ РТБŒЩИ ЮБУФЙГ ’1(x; t) РТЙПВТЕФБЕФ ŒЙД:
i k>0 |
–k e−ak 0e−ikx[ch „ ~bk+(t) − sh „ ~b−k (t)] − eikx[ch „ ~bk (t) − sh „ ~b−+k (t)]1 |
; |
(12.105) |
|
|
|
|
~k ( ) = −i!k t~k , ~+ ( ) = i!kt~+ , Á k ДБЕФУС (12.31). рПУМЕ РЕТЕЗТХРРЙТПŒЛЙ ЗДЕ b t e b b−k t e b−k !
УМБЗБЕНЩИ ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ НПЦОП ЛПНРБЛФОП ЪБРЙУБФШ ФБЛ:
’1(x; t) = ch „ ’~1(x; t) − sh „ ’~2(x; t) : |
(12.106) |