Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

Квантовая теория поля

Файл:

Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

.pdf

Скачиваний:

351

Добавлен:

15.08.2013

Размер:

49.93 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 4445 / 8445 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 > Следующая >>>

7. 4. Лоренцевская инвариантность

419

Следовательно нельзя сразу же воспользоваться результатами предыдущего раздела. Однако трансляционная инвариантность позволяет сформулировать лоренцевскую инвариантность как симметрию плотности лагранжиана только относительно некоторых преобразований полей и их производных *. Поля испытывают матричное преобразование

δΨl =	i	ωμν ( Jμν )lm Ψm ,	(7.4.7)

2
ãäå Jμν − набор матриц, удовлетворяющих соотношениям алгебры
однородной группы Лоренца:
[ Jμν , Jρσ ] = iJρν ημσ − iJσν ημρ − iJμσ ηνρ + iJμρ ηνσ .			(7.4.8)

Например, для скалярного поля ϕ имеем δϕ = 0, òàê ÷òî Jμν = 0, â

то время, как для неприводимого поля типа (А,В)

Jij = εijk (Àk + Bk ), Jk0 = −i(Àk − Bk ) ,

где А и В — спиновые матрицы для спина А и В, соответственно. Специально отметим, что для ковариантного векторного поля δVκ = ωκλVλ, òàê ÷òî

( Jρσ )κ λ = −iηρκδσ λ + iησκδρλ .

Производная поля, преобразующегося по закону (7.4.7), сама преобразуется как другое такое поле, но с лишним векторным индексом:

δ(∂	κ	Ψ ) = 1 iωμν		( J	)	m ∂	Ψ + ω	λ ∂	Ψ .	(7.4.9)
	κ	l	2		μν	l	κ m	κ	λ l	(7.4.9)
			2

Предполагается, что плотность лагранжиана инвариантна относительно совместных преобразований (7.4.7) и (7.4.9), так что

0 =

∂L

ωμν ( Jμν )lm Ψm +

∂L i

ωμν ( Jμν )lm ∂κ Ψm

∂Ψ l

∂(∂κ Ψ l ) 2

∂L

ωκ λ ∂λ Ψl .

∂(∂κ Ψ l

)

* Не затрагивающих координат. — Прим. ред.

420 Глава 7. Канонический формализм

Полагая равным нулю коэффициент при ωμν, находим:

0 =

i ∂L

( Jμν )lm Ψm

∂L

( Jμν )lm ∂κ Ψm

2 ∂Ψ l

2 ∂(∂κ Ψ l

)

+ 1

∂L

(η ∂

− η ∂

)Ψl .

2 ∂(∂κ Ψ l

)

κμ

κν

Используя уравнения Эйлера−Лагранжа (7.2.9) и нашу формулу (7.3.34) для тензора энергии-импульса Tμν, можно записать послед-

нюю формулу как

L i

∂L

m O

− 1

0 = ∂κ M

( Jμν )

(Tμν − Tνμ ) .

(7.4.10)

∂(∂

Ψ l

)

Она немедленно подсказывает определение нового тензора энер- гии-импульса, известного как тензор Белинфанте 2:

Θμν = T	μν −	i	L	∂L	( J μν )lm Ψm
			∂κ M
				∂(∂κ Ψl )
	2		N

	∂	L		∂	O	(7.4.11)
−		L	( J κν )lm Ψm −	L	( J κμ )lm Ψm P .
−	∂(∂μ Ψl )		( J κν )lm Ψm −	∂(∂νΨl )	( J κμ )lm Ψm P .
	∂(∂μ Ψl )			∂(∂νΨl )	P
					Q

Величина в квадратных скобках явно антисимметрична по μ è κ, òàê ÷òî Θμν удовлетворяет тому же закону сохранения, что и Tμν:

∂μΘμν = 0 .

(7.4.12)

По той же причине, когда мы полагаем μ = 0 в (7.4.11), индекс κ

принимает значения, отвечающие только пространственным компонентам, поэтому после интегрирования по всему пространству слагаемые с производными выпадают:

z Θ0νd3x = z T0νd3x = Pν ,

(7.4.13)

ãäå P0 ≡ H. Таким образом, наряду с Tμν, тензор Θμν также можно

рассматривать как тензор энергии-импульса. Однако из (7.4.10)

7. 4. Лоренцевская инвариантность

421

следует, что тензор Белинфанте Θμν, в отличие от тензора Tμν, íå

только сохраняется, но и симметричен:

Θμν = Θνμ.

(7.4.14)

Именно Θμν, à íå Tμν, выступает как источник гравитационного поля.3 Как следствие симметрии Θμν, можно построить еще одну

сохраняющуюся тензорную плотность

Mλμν ≡ xμΘλν − xνΘλμ .	(7.4.15)
Она сохраняется в том смысле, что
∂λ Mλμν = Θμν − Θνμ = 0.	(7.4.16)

Таким образом, лоренцовская инвариантность позволяет определить еще один не зависящий от времени тензор

Jμν = z M0μνd3x = z d3x (xμΘ0ν − xνΘ0μ ) .

(7.4.17)

Генератор вращений Jk = εijkJij/2 не просто не зависит от времени,

но не имеет явной зависимости от времени, поэтому он коммутирует с гамильтонианом:

[H, J] = 0 .

(7.4.18)

Кроме того, применяя (7.3.28) к функции Θ0ν, находим

] =

εilk

] =

εilk

∂

− x

k ∂

0l I

[Pj , Jk

[Pj , J

xG x

∂xj

= −ε

ijk

d3x Θ0k

и поэтому

[Pj , Ji ] = −iεijkPk .

(7.4.19)

С другой стороны, генератор «буста» Kk ≡ Jk0 хотя и не зависит от

времени, но явно содержит временную координату:

422 Глава 7. Канонический формализм

Kk =	z	d3x (xkΘ00	− x0Θ0k ) ,
Kk =		d3x (xkΘ00	− x0Θ0k ) ,
или подробнее
K = −tP + z d3x x Θ00 (x, t) .				(7.4.20)

Так как эта величина постоянна, имеем 0 = K& = −P + i[H,K], откуда

[H, K] = −iP.

(7.4.21)

Кроме того, еще раз применяя (7.3.28), находим:

			z		∂xj				z
[P , K		] = i		d3x xk	∂	Θ00	= −iδ			d3x Θ00
[P , K	k	] = i		d3x xk		Θ00	= −iδ	jk		d3x Θ00
j	k							jk
и поэтому				[Pj , Kk ] = −iδjkH .
				[Pj , Kk ] = −iδjkH .						(7.4.22)

Для любой разумной плотности лагранжиана оператор (7.4.20) будет «гладким» в смысле раздела 3.3, т. е. члены взаимодействия в

eiH0t “d3x x Θ00 (x,0) e− iH0t обращаются в нуль * при t → ±∞. (Заметим, что члены взаимодействия в eiH0t “d3x x Θ00 (x,0) e− iH0t должны обра-

щаться в нуль при t → ±∞ для того, чтобы можно было ввести

понятия «ин» и «аут» состояний и S-матрицы.) С учетом предположения о гладкости и коммутационных соотношений (7.4.21) можно повторить аргументы раздела 3.3 и заключить, что S-матрица лоренц-инвариантна.

* * *

Те же аргументы были использованы в разделе 3.3, чтобы убедиться, что остающиеся коммутационные соотношения группы Лоренца для компонент Jμν друг с другом имеют нужный вид. Это можно

* Когда говорят, что какой-то оператор в представлении взаимодействия обращается в нуль при t → ±∞, подразумевается, что в этом пределе обращаются

в нуль матричные элементы этого оператора между состояниями, являющимися гладкими суперпозициями собственных состояний оператора энергии.

7.5. Переход к представлению взаимодействия. Примеры

423

проверить и непосредственно для коммутаторов генераторов вращений, которые имеют вид

Jij = z d3x	∂L	dxi∂jΨl − xj∂iΨl − i( J ij )lm Ψm i .	(7.4.23)
	∂Ψ& l

Так как плотность лагранжиана не зависит от производных по времени вспомогательных полей, а генераторы вращений не смешивают канонические и вспомогательные поля, можно записать это выражение как сумму только по каноническим полям:

Jij = z d3xPn dxi∂jQn − xj∂iQn − i( J ij )n n′ Ψn′ i .

(7.4.24)

Тогда из канонических коммутационных соотношений немедленно вытекает, что

[Jij , Qn (x)]−		= −i(xi∂j			− xj∂i )Qn (x) − ( J ij )n n′ Qn′ (x) ,						(7.4.25)
[Jij , P (x)]	−	= −i(x	∂	j	− x	∂	)P (x) + ( J ij )n	n	′ P	′ (x) ,	(7.4.26)
n	−	i		j	j	i	n	n	n

Эти результаты можно использовать для вывода обычных коммутационных соотношений Jij друг с другом и с остальными генераторами *. Если нет никаких вспомогательных полей, те же аргументы можно использовать и для генераторов «буста», завершив тем самым доказательство, что Pμ è Jμν удовлетворяют комму-

тационным соотношениям неоднородной группы Лоренца. Однако матрицы «буста» Ji0 в общем случае перемешивают канонические и вспомогательные поля (так же, как в случае компонент Vi è V0 векторного поля), поэтому прямое доказательство коммутационных соотношений Ji0 друг с другом приходится проводить отдельно в каждом случае. К счастью, это не требуется для приведенного в разделе 3.3 доказательства лоренц-инвариантности S-матрицы.

* Кроме того, поскольку операторы Jij коммутируют с Н и PnQ& n, îíè

коммутирует с L . Таким образом, коммутатор Jij со вспомогательными полями должен быть совместим с инвариантностью L относительно вращений.

424	Глава 7. Канонический формализм

7.5. Переход к представлению взаимодействия. Примеры

В конце раздела 7.2 мы показали, как можно использовать лагранжиан простой теории скалярного поля для вывода структуры взаимодействия и тех свободных полей, которые содержатся в нем в представлении взаимодействия. Обратимся к более сложным и поучительным примерам.

Скалярное поле. Связь с производной

Прежде всего, рассмотрим скалярное поле, но на этот раз с взаимодействием с производными. Выберем лагранжиан в виде:

L = - 1	¶μ F¶μF - 1 m2F2	- Jμ¶μF - H (F) ,	(7.5.1)
2	2

ãäå Jμ - либо с-числовой внешний ток (не имеющий отношения к введенным выше токам Jμ), либо функционал от некоторых других, отличных от F, полей (в этом случае к (7.5.1) следует добавить

слагаемые, содержащие эти поля). Канонически сопряженный к полю F импульс имеет вид

			∂L	&	0
				&	0
	P =		&	= F - J		,			(7.5.2)
			¶F
а гамильтониан имеет вид
H = z d	&
H = z d	x[PF - L]
3
	L			+ 1 (ÑF)2		- 1	(P + J0 )2
= z d3xMP(P + J0 )				+ 1 (ÑF)2		- 1	(P + J0 )2
	N			2		2
								O
+ 1 m2F2 + J × ÑF + J0 (P + J0 ) + H (F)P .
2								Q
Группируя слагаемые, можно записать его в виде
		H = H0 + V ,							(7.5.3)
	L	1 P2 + 1 (ÑF)2					O		(7.5.4)
H0 = z d3xM		1 P2 + 1 (ÑF)2				+ 1 m2F2 P		,	(7.5.4)
	N	2		2		2	Q

7.5. Переход к представлению взаимодействия. Примеры

425

L	+ J × ÑF + 1	(J0 )2	O	(7.5.5)
V = z d3xMPJ0	+ J × ÑF + 1	(J0 )2	+ H (F)P .	(7.5.5)
N	2		Q

Как объяснялось в разделе 7.2, переход к представлению взаимодействия осуществляется простой заменой P è F íà p è j (аналогич- но следует поступить и для всех полей , входящих в ток Jμ, íî ìû

не будем это явно выписывать):


H0	L	1 p2 (x, t) + 1 (Ñj(x, t))2		+ 1 m2j2	O
H0	= z d3xM	1 p2 (x, t) + 1 (Ñj(x, t))2		+ 1 m2j2	(x, t)P	,
	N2		2	2	Q

V(t) = z d3x p(x, t)J0 (x, t) + J(x, t) × Ñj(x, t)

+ 21 (J0 (x, t))2 + H (j(x, t)) .

(7.5.6)

(7.5.7)

Гамильтониан свободных частиц совпадает с (7.2.25) и приводит, как и в разделе 7.2, к уравнениям (7.2.26)-(7.2.35). Какой бы ни был

полный гамильтониан, мы должны выделить в нем слагаемое (7.5.6), называемое гамильтонианом свободных частиц, а оставшуюся часть считать взаимодействием, поскольку, как мы видели, именно эта форма гамильтониана свободных частиц приводит к правильному разложению (7.2.29) скалярного поля по операторам рождения и уничтожения. удовлетворяющим коммутационным соотношениям (7.2.34), (7.2.35). Заключительный шаг состоит в замене p в гамильтониане взаимодействия на его значение ϕ& в представлении взаимодействия (но не на его значение j& - J0 в гейзенберговском представ-

лении):

L	μ	(x, t)¶μj(x, t) + 1	(J0 (x, t))2	O	(7.5.8)
V(t) = z d3xMJ	μ	(x, t)¶μj(x, t) + 1	(J0 (x, t))2	+ H (j(x, t))P .	(7.5.8)
N		2		Q

Как мы видели в разделе 6.2, дополнительное неинвариантное слагаемое в (7.5.8) необходимо для сокращения неинвариантного слагаемого в пропагаторе поля ¶j.

Векторное поле, спин единица

Аналогичные результаты получаются при каноническом квантовании векторного поля Vμ для частицы спина единица. Не будем

426	Глава 7. Канонический формализм

вводить сначала никаких ограничений и запишем лагранжиан в достаточно общей форме

L = − 1 α∂

∂μ V

ν − 1 β∂

∂νV

μ − 1 m2V Vμ − J

Vμ

(7.5.9)

ãäå α, β è m2 — пока что произвольные константы, а Jμ — ëèáî

с-числовой внешний ток, либо оператор, зависящий от полей, отли- чных от Vμ (в этом случае в L следует добавить слагаемые, содержащие эти поля). Полевые уравнения Эйлера−Лагранжа для Vμ имеют вид

α9Vν + β∂ν (∂μ Vμ ) + m2 Vν = −Jν .

После взятия дивергенции получаем
(α + β)9∂λ Vλ + m2∂λ Vλ = −∂λ Jλ .	(7.5.10)

Это уравнение для обычного скалярного поля массой m2/(α+β) с источником ∂λJλ/(α+β). Мы хотим описать теорию, содержащую

только частицы спина единица, но не спина нуль. Поэтому, чтобы избежать появления ∂λVλ как независимо распространяющегося скалярного поля, нужно выбрать α = −β. Тогда ∂λVλ можно выразить через внешний ток или другие поля в виде −∂λJλ/m2. Константу α можно включить в нормировку поля Vμ, так что положим α = −β = 1.

В результате получим:

L = − 1 F Fμν − 1 m2V Vμ				− J	μ	V	μ ,	(7.5.11)
4	μν	2	μ		μ			(7.5.11)
		2

	Fμν ≡ ∂μ Vν − ∂νVμ .							(7.5.12)

Производная лагранжиана по производной по времени векторного поля имеет вид

∂L	= −F0μ .	(7 5.13)

& μ
∂V

Это выражение не равно нулю, если μ принимает пространствен-

ные значения i, так что Vi являются каноническими полями, а сопряженные им импульсы имеют вид

7.5. Переход к представлению взаимодействия. Примеры

427

P		= F		= V	+ ¶iV		.	(7.5.14)
	i		i0	& i		0

С другой стороны, F00 = 0, òàê ÷òî V& 0 не входит в лагранжиан.

Поэтому V0 является вспомогательным полем. Это не приводит к

особым трудностям: обращение в нуль ¶L¶V& 0 означает, что поле-

вое уравнение для V0 не содержит вторых производных, и поэтому может использоваться как связь, исключающая некоторую поле-

вую переменную *. Конкретно,				уравнение Эйлера-Лагранжа при
n = 0 имеет вид
		¶iFi0 = m2V0 + J0 ,									(7.5.15)
так что с помощью (7.5.14) находим
		V0 =		1	(Ñ × Π − J0 ) .						(7.5.16)
		V0 =			(Ñ × Π − J0 ) .						(7.5.16)
			m2
				3						&	− L) â ýòîé òåî-
Вычислим теперь гамильтониан H = “d								x(Π × V			− L) â ýòîé òåî-
								&	через Π è J0:
рии. В силу уравнения (7.5.14) можно записать V									через Π è J0:
&	0			1					0
&	0								0
V = -ÑV		+ Π = Π −				m2	Ñ(Ñ × Π - J			) ,

òàê ÷òî

H = z d3x Π2 + m−2 (Ñ × Π)(Ñ × Π - J0 ) - 21 Π2 + 21 (Ñ × V)2

+ 21 m2V2 -m−2 (Ñ × Π - J0 )2 + J × V - m−2J0 (Ñ × Π - J0 ) .

Вновь мы разбиваем это выражение на слагаемое Н0, отвечающее свободным частицам, и взаимодействие V:

H = H0 + V ,

(7.5.17)

и переходим к представлению взаимодействия, заменяя величины в гейзенберговском представлении V и P на их аналоги в представлении взаимодействия v и p (так же следует поступить для всех полей и сопряженных им импульсов, входящих в Jμ, õîòÿ ìû íå

выписываем этого явно):

* В контексте лагранжева и гамильтонова формализма английскому термину constraint соответствует русский термин связь. — Прим. пер.

428 Глава 7. Канонический формализм

π2

(Ñ × π)2 + 1

(Ñ ´ v)2

d3xM

v2 P ,

(7.5.18)

2m2


		L		−2J0Ñ × π +	1		O
V = z d3xMJ × v - m							(J0 )2 P .	(7.5.19)
V = z d3xMJ × v - m					2m	2	(J0 )2 P .	(7.5.19)
		N			2m		Q
Тогда v и π связаны соотношением
v& =		δH0 (v, π)		= π - m−2Ñ(Ñ × π)				(7.5.20)
v& =		dπ		= π - m−2Ñ(Ñ × π)				(7.5.20)
		dπ
а «полевые уравнения» имеют вид
π& = -	δH0 (v, π)		= +Ñ2v - Ñ(Ñ × v) - m2v .					(7.5.21)
π& = -			= +Ñ2v - Ñ(Ñ × v) - m2v .					(7.5.21)
		dv

Поскольку V0 не является независимой полевой переменной, она не связана преобразованием подобия ни с каким объектом v0 в представлении взаимодействия. Напротив, мы можем ввести величину

v0 º m−2Ñ × π .

(7.5.22)

Тогда с помощью формулы (7.5.20) можно записать π â âèäå

π	=	v&	+ Ñ	(7.5.23)
			v0 .

Подставляя это выражение в (7.5.22) и (7.5.21), получаем полевые уравнения:

Ñ2v0 + Ñ × v& - m2v0 = 0 ,

Ñ2v - Ñ(Ñ × v) - v&& - Ñv& 0i - m2v = 0 .

Их можно записать в ковариантной форме
9vμ - ¶μ¶νvν - m2vμ = 0 .	(7.5.24)
После взятия дивергенции получаем:
¶μvμ = 0,	(7.5.25)

<<< < Предыдущая 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 4445 / 8445 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Квантовая теория поля

#
15.08.2013228.35 Кб428Акимов, Шипов. Торсионные поля.doc
#
15.08.201349.93 Mб351Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf
#
15.08.201335.48 Mб346Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf
#
15.08.20131.97 Mб51Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 1.pdf
#
15.08.20132.4 Mб42Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 2.pdf