Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)
.pdf
7.3. Глобальные симметрии |
411 |
от x функционалы от самих этих полей в тот же момент времени. При таких преобразованиях
F n (x, t) = F n [Q(t); x] . |
(7.3.16) |
Как мы увидим, бесконечно малые пространственные трансляции и вращения, а также все бесконечно малые преобразования внутренних симметрий имеют вид (7.3.1), (7.3.16), где F n − линейный
функционал от Qm. Однако в данный момент не потребуется предположение, что симметрия линейна. Для всех подобных симметрий оператор F не только сохраняется. В рамках квантовой механики он также действует как генератор такой симметрии.
Чтобы увидеть это, прежде всего заметим, что в случае, когда Ψl есть каноническое поле Qn, функциональная производная δL/δΨl равна канонически сопряженному импульсу Pn, тогда как если Ψl есть вспомогательное поле Cr, эта функциональная произ-
водная равна нулю. Поэтому можно переписать (7.3.11) в виде:
F = −iz d3xPn (x, t)F n (x, t) = −iz d3xz d3 yPn (x, t)F n [Q(t); x] . (7.3.17)
Чтобы вычислить коммутатор (но не антикоммутатор) F с каноническим полем Qm(x,t) в произвольный момент времени t, достаточно сослаться на закон сохранения (7.3.6), согласно которому в (7.3.17) можно подставлять Q и Р в произвольный момент времени t, а затем использовать канонические коммутационные соотношения при равных временах (7.1.30)−(7.1.32). В результате получаем *:
|
n |
x |
= −F n |
x |
(7.3.18) |
[F, Q |
|
( , t)]− |
|
( , t) . |
|
Именно в этом смысле F является генератором преобразования (7.3.16). Из формулы (7.3.17) и канонических коммутационных соотношений следует также, что
* Мы предполагаем, что для бозонных или фермионных Qn вариация F n также является, соответственно, бозонной или фермионной, так что F — бозонный оператор. Единственным исключением являются так называемые суперсимметрии, для которых F — фермионный оператор. Тогда, если Qn — фермионный оператор, то в левой части (7.3.18) стоит антикоммутатор.
412 Глава 7. Канонический формализм
[F, Pn (x, t)]− |
= |
z |
d3 yPm (y, t) |
dFm (Q(t); y) |
. |
(7.3.19) |
||
dQn (x, t) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
Åñëè Fm линеен, то из |
(7.3.19) |
вытекает, что P |
|
преобразуется |
||||
контраградиентно по отношению к Qn. |
n |
|
|
|||||
|
|
|
||||||
В качестве первого примера преобразования симметрии рас- |
||||||||
смотрим пространственно-временные трансляции |
|
|
||||||
Yl (x) ® Yl (x + e) = Yl (x) + eμ ¶μ Yl (x) . |
|
(7.3.20) |
||||||
Оно имеет вид (7.3.1) с четырьмя независимыми параметрами eμ è
соответствующими четырьмя функциями преобразования
Fμl = -i¶μ Yl . |
(7.3.21) |
Как следствие имеем четыре независимых сохраняющихся тока, которые принято объединять в тензор энергии-импульса Tμν:
¶μTμ ν = 0. |
(7.3.22) |
Отсюда можно вывести выражения для не зависящих от времени величин, равных интегралам по пространству от временных компонент отвечающих трансляциям «токов» (не путать с канонически сопряженными полевыми переменными Pn(x,t)):
Pν = z d3xT0ν , |
(7.3.23) |
||
|
d |
Pν = 0 . |
(7.3.24) |
|
|
||
|
dt |
|
|
Лагранжиан инвариантен относительно пространственных трансляций, так что в соответствии с изложенными выше общими результатами можно сделать вывод, что пространственные компоненты Pν имеют вид
P º -z d3xPn (x, t)ÑQn (x, t) . |
(7.3.25) |
7.3. Глобальные симметрии |
415 |
входить в правую часть полевых уравнений общей теории относительности. Правильный симметричный тензор энергии-импульса Θμν, который можно использовать как источник гравитационного
поля, вводится в следующем разделе.)
Во многих теориях имеется один или несколько дополнительных принципов симметрии, утверждающих инвариантность действия относительно некоторых линейных не зависящих от координат преобразований как канонических полей
Qn (x) → Qn (x) + iεa (t )n Qm (x) , |
(7.3.36) |
a m |
|
так и любых вспомогательных полей Cr:
Cr (x) → Cr (x) + iεa (τa )rs Cs (x) . |
(7.3.37) |
Здесь ta è τa − наборы эрмитовых матриц, реализующих некоторые
представления алгебры Ли группы симметрии, и подразумевается суммирование по повторяющимся групповым индексам a, b, и т. д. (Например, подобная симметрия существует в электродинамике, когда единственная матрица tnm диагональна, причем на главной диагонали стоят заряды соответствующего поля.) Каждая такая симметрия порождает свой набор сохраняющихся токов Jaμ :
∂μ Jaμ = 0 , |
(7.3.38) |
временные компоненты которых являются плотностями не зависящих от времени операторов
Ta = z d3x Jμa . |
(7.3.39) |
Если не только действие, но и лагранжиан инвариантны относительно преобразований (7.3.36), то из (7.3.11) вытекает явная формула для Ta:
Ta = −iz d3 x Pn (x, t) (ta ) nm Qm (x, t) . |
(7.3.40) |
Тогда из одновременных коммутационных соотношений следует, что
416 Глава 7. Канонический формализм
[T , Qn (x)] = −(t |
a |
) n |
Qm (x) , |
(7.3.41) |
a |
m |
|
|
|
[T , P (x)] = −(t |
a |
) m |
P (x) . |
(7.3.42) |
a n |
n |
m |
|
(В случае, когда оператор ta диагонален, отсюда следует, что операторы Qn è Pn, соответственно, понижают и повышают значение Ta на величину, равную n-ому диагональному элементу ta.) Эти формулы позволяют вычислить коммутаторы генераторов друг с другом:
[Ta , Tb ]− = iz d3x
−Pm (ta )mn(tb )nk Qk + Pn (tb )nk (ta )kmQm 
. (7.3.43)
Соответственно, если матрицы ta образуют алгебру Ли со структурными константами fabc,
[ta , tb ]− = ifab c tc , |
(7.3.44) |
это же верно и для квантовых операторов Ta: |
|
[Ta , Tb ]− = ifab c Tc . |
(7.3.45) |
Этот результат подтверждает правильную нормировку операторов (7.3.40) как генераторов группы симметрии.
Если лагранжиан есть интеграл от плотности лагранжиана, которая инвариантна относительно преобразований (7.3.36) и (7.3.37), можно продвинуться дальше и получить с помощью (7.3.15) явные формулы для токов, соответствующихс этим глобальным симметриям:
J |
μ ≡ −i |
∂L |
|
(t )n |
|
Qm − i |
∂L |
(τ )r Cs . |
|
|
|
|
|
|
|
(7.3.46) |
|||||
∂(∂Qn |
∂xμ ) |
|
∂(∂Cr |
∂xμ ) |
||||||
|
a |
a |
m |
|
a s |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
В качестве иллюстрации предположим, что у нас имеется два действительных скалярных поля равной массы с плотностью лагранжиана
L = − 21 ∂μ Φ1∂μ Φ1 − 21 m2Φ12 − 21 ∂μ Φ2∂μ Φ2 − 21 m2Φ22 − H(Φ12 + Φ22 ) .
(7.3.47)
7.3. Глобальные симметрии |
417 |
Она инвариантна относительно линейного преобразования вида
(7.3.36):
δΦ1 = −εΦ2 , δΦ2 = +εΦ1 ,
так что существует сохраняющийся ток (7.3.46)
Jμ = Φ2∂μΦ1 − Φ1∂μΦ2 .
Явную формулу (7.3.46) для тока можно использовать для вывода других полезных коммутационных соотношений. В частности, поскольку плотность лагранжиана не содержит производных по времени от вспомогательных полей, имеем:
J0 |
= −iP |
(t |
)n |
m |
Qm . |
(7.3.48) |
a |
n |
a |
|
|
|
Поэтому можно получить одновременные коммутаторы канонических полей и сопряженных им импульсов не только с генераторами симметрии Ta, но и с плотностями Ja0:
[J0 |
(x, t), Qn (y, t)] = −δ3 (x − y)(t )n |
Qm (x, t) , |
(7.3.49) |
|||
a |
|
|
a |
m |
|
|
[J0 |
(x, t), P |
(y, t)] = δ3 (x − y)(t )n |
m |
P (x, t) . |
(7.3.50) |
|
|
a |
m |
a |
n |
|
|
Если вспомогательные поля построены как локальные функции от P и Q таким образом, что они преобразуются по представлению алгебры симметрии с генераторами τa, òî äëÿ íèõ
[Ja0 (x, t), Cr (y, t)] = −δ3 (x − y)(τa )r s Cs (x, t) . |
(7.3.51) |
Мы часто будем объединять (7.3.49) и (7.3.51) в одно коммутационное соотношение
[J0 |
(x, t), Ψl (y, t)] = −δ3 (x − y)(t |
a |
)l |
l′ |
Ψl′ |
(x, t) . |
(7.3.52) |
a |
|
|
|
|
|
В гл. 10 коммутационные соотношения вида (7.3.49)−(7.3.51) будут
использованы для вывода соотношений, известных как тожде-
ства Уорда, для матричных элементов операторов, включающих ток Jμ.
418 |
Глава 7. Канонический формализм |
7.4. Лоренцевская инвариантность
Мы собираемся теперь показать, что лоренц-инвариантность плотности лагранжиана влечет за собой лоренц-инвариантность S-матрицы. Рассмотрим бесконечно малое преобразование Лоренца
Λμ ν = δμ ν + ωμ ν , |
(7.4.1) |
ωμν = −ω νμ . |
(7.4.2) |
Согласно проведенному в предыдущем разделе анализу, инвариантность действия относительно таких преобразований немедленно влечет существование набора сохраняющихся «токов» Mρμν:
∂ρMρμν = 0, |
(7.4.3) |
Mρμν = −Mρνμ , |
(7.4.4) |
по одному току на каждую независимую компоненту ωμν. Интегра-
лы от временных компонент этих «токов» дают набор не зависящих от времени тензоров:
Jμν ≡ z d3x M0μν , |
(7.4.5) |
d |
J |
μν = 0 . |
(7.4.6) |
|
dt
Окажется, что величины Jμν являются генераторами однородной
группы Лоренца.
Хотелось бы получить явные формулы для тензора Mρμν,
однако преобразования Лоренца действуют на координаты и поэтому не могут оставить инвариантной плотность лагранжиана*.
*Для сравнения укажем, что формулировка теоремы Нетер, приведенная
âприм. ред. на с. 409, немедленно приводит к результату. Достаточно заметить, что вариация L, отвечающая бесконечно малым преобразованиям Лоренца
δxμ = ωμ xν имеет вид полной дивергенции:
ν ,
δL = δxμ ∂ L = ωμ xν∂ L = ∂ eωμ xν L j — Ïðèì. ðåä.
μ ν μ μ ν .