Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

Квантовая теория поля

Файл:

Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

.pdf

Скачиваний:

340

Добавлен:

15.08.2013

Размер:

49.93 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 8440 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

6.2. Вычисление пропагатора

369

íîé ∂λϕ(x) скалярного поля. Для спаривания этого поля со скаляром ϕ†(y) полином Р(р) на массовой оболочке равен

Pλ (p) = ipλ ,

(6.2.23)

в то время, как спаривание ∂λϕ(x) ñ ∂ηϕ†(x) приводит к полиному

Pλ, η(p) = pλpη .

(6.2.24)

Для произвольных 4-импульсов qμ вне массовой поверхности ковариантные полиномы получаются подстановкой qμ вместо pμ â

формулы (6.2.23) и (6.2.24). Полином Pl(q) уже линеен по q0, так что в этом случае не возникает никакой разницы между Pl(q) è Pl(L)(q). Однако в случае (6.2.24) разница есть:

P(L)

= q

− (q2

− q2 − m2 )δ0

δ0

= P

(q) + (q2

+ m2 )δ0

δ0

(6.2.25)

λ,η

поэтому пропагатор равен

λqηeiq×(x-y)

λ,η(x, y) =

(2π)−4 Y d4q

+ δ0λδ0ηδ4 (x − y) .

(6.2.26)

2 + m2 − iε

Как и выше, нековариантные вклады от второго слагаемого можно сократить, добавив к взаимодействию нековариантное слагаемое

Hнеков	(x) =	1	[J0 (x)]2 .	(6.2.27)

	2

ãäå Jμ(x) — в данном случае ток, на который умножается ∂μϕ(x) â

ковариантной части H(x).

Должно быть ясно, что (по крайней мере для массивных частиц) вклады нековариантных частей пропагатора всегда могут быть сокращены описанным способом путем добавления нековариантных локальных слагаемых в плотность гамильтониана. Это происходит потому, что числитель Plm(L)(q) в пропагаторе должен равняться ковариантному полиному Plm(q), когда qμ находится на

массовой оболочке, поэтому разность между Plm(L)(q) è Plm(q) должна содержать множитель q2 + m2. Этот множитель сокращает знаменатель (q2 + m2 − iε) во вкладе этой разности в (6.2.18),

370	Глава 6. Фейнмановские правила

поэтому выражение (6.2.18) всегда равно сумме ковариантного слагаемого и слагаемого, пропорционального дельта-функции d4(x - y) или ее производным. Вклад последнего слагаемого можно

компенсировать добавлением во взаимодействие слагаемого, квадратичного по токам, с которыми связаны спариваемые поля, или по их производным.

Далее мы будем молчаливо предполагать, что подобное слагаемое уже было включено во взаимодействие, и использовать ковариантный полином Plm(q) в пропагаторе (6.2.18), опуская индекс L.

Может показаться, что такая процедура достаточно произвольна. К счастью, в обсуждаемом в следующей главе канониче- ском формализме те нековариантные слагаемые в плотности гамильтониана, которые нужны для сокращения нековариантных добавок в пропагаторах, возникают автоматически. На самом деле, это является одной из причин введения канонического формализма

* * *

Прежде чем завершить этот раздел, полезно отметить некоторые другие определения пропагатора, эквивалентные (6.2.1), которые часто встречаются в литературе. Во-первых, взяв среднее по вакууму от (6.1.14), имеем:

-iDlm	(x, y) = q(x - y) [yl+ (x), ym+† (y)]m	0
		0

± q(y - x) [ym−† (y), yl− (x)]m	(6.2.28)
± q(y - x) [ym−† (y), yl− (x)]m	.
	0

(Здесь áAB...ñ0 означает среднее по вакууму (F0, AB . . . F0).) Êàê ψl+ (x) , òàê è ψm−†(y) при действии на вакуум дают нуль, поэтому

реально в пропагатор дает вклад только одно слагаемое в каждом коммутаторе или антикоммутаторе:

-iDlm	(x, y) = q(x - y) yl+ (x), ym+† (y) ± q(y - x)	ym−† (y), yl− (x)	. (6.2.29)
	0	0
Далее, y−† è y+ будут давать нуль,		действуя на	вакуум

справа, а y− è y+† будут делать то же самое слева, поэтому везде в (6.2.29) можно заменить y+ è y− на полное поле y = y+ + y−:

6.3. Правила в импульсном представлении

371

-iDlm (x, y) = q(x - y) yl (x), y†m	(y) ± q(y - x) y†m (y), yl (x)	.	(6.2.30)
	0	0
Часто эту формулу записывают в виде:
-iDlm (x, y) =	T{yl (x)y†m (y)} ,		(6.2.31)
	0

где Т — хронологическое произведение, определение которого распространено * теперь на все поля с учетом знака «минус» для любой нечетной перестановки фермионных операторов.

6.3. Правила в импульсном представлении

Изложенные в разделе 6.1. фейнмановские правила указывают, как вычислить вклад в S-матрицу данной диаграммы N-го порядка, который представляется в виде интеграла по N пространственновременным координатам от произведения зависящих от этих координат множителей. Линии конечной частицы (или античастицы) с импульсом p¢μ, выходящей из вершины с пространственно-времен- ной координатой xμ, отвечает множитель, пропорциональный exp(- ip¢×x). Линии начальной частицы с импульсом pμ, входящей в вершину с координатой xμ, отвечает множитель exp(+ip×x). В разделе 6.2

мы показали, что множитель, отвечающий внутренней линии, идущей от точки x к точке y, можно записать как интеграл Фурье по 4- импульсам qμ вне массовой поверхности, причем под интегралом стоит множитель exp(iq×(x - y)). Величину qμ можно понимать как 4-

импульс, текущий вдоль внутренней линии в направлении стрелки от y к x. Таким образом, интеграл по пространственно-временной координате в каждой вершине приводит к множителю

(2p)4 d4 (Sp + Sq - Sp¢ - Sq¢) ,

(6.3.1)

ãäå åp¢ è åp означают полный 4-импульс всех конечных или начальных частиц, выходящих или входящих в вершину, а åq¢ è åq обозна-

чает полный 4-импульс всех внутренних линий со стрелками,

* Это не противоречит предыдущему определению хронологически упорядоченных произведений плотностей гамильтониана в гл. 3, так как эти плотности могут содержать только четное число фермионных полей.

372	Глава 6. Фейнмановские правила

направленными от вершины и к вершине, соответственно. Конечно, вместо интегралов по xμ теперь необходимо брать интегралы по фурьепеременным qμ для каждой из внутренних линий.

Эти соображения приводят к новому набору фейнмановских правил для вычисления вклада в S-матрицу в виде интегралов по импульсным переменным (рис. 6.9).

1. Следует нарисовать все фейнмановские диаграммы желаемого порядка, как описано в разделе 6.1. Однако вместо того, чтобы помечать каждую вершину пространственно-временной координатой, нужно пометить каждую внутреннюю линию 4-импульсом вне массовой поверхности, текущим, по соглашению, в направлении стрелки (или в любом направлении для линий нейтральных частиц без стрелок).

2. Каждой вершине типа i следует сопоставить множитель

−i(2π)4 g	δ4 (Σp + Σq − Σp′ − Σq′) ,	(6.3.2)
i

где суммы по импульсам имеют тот же смысл, что и в (6.3.1). Дельтафункция обеспечивает сохранение 4-импульса в любой точке диаграммы.

Каждой внешней линии, выходящей вверх из диаграммы, сопоставляется множитель (2π)−3/2 ul*′ (p′σ′n′) или множитель (2π)−3/2 vl (p′σ′n′)

в зависимости от направления стрелки вверх или вниз. Каждой внешней линии, входящей снизу в диаграмму, сопоставляется либо множитель (2π)−3/2 ul (p σ n) , либо множитель (2π)−3/2 vl* (p σ n), также в

зависимости от направления стрелки вверх или вниз. Каждой внутренней линии, концы которой помечены индексами l и m, причем стрелка направлена от m к l, и которая несет 4-импульс qm, сопоставляется множитель, равный подынтегральному выражению в интеграле фурье-представления (6.2.18) для i lm(x,y):

−i(2π)−4 Plm (q)

/ (q	2	+	2	−	ε	) .	(6.3.3)
/ (q			ml		i	) .

Напомним, что для скаляров или антискаляров с 4-импульсом q величины u и v равны просто (2q0)-1/2, а полином P(q) равен единице. Для дираковских спиноров с 4-импульсом р и массой М величины u и v равны нормированным дираковским спинорам, описанным в разделе 5.5, а полином Р(р) равен матрице (−iγμpμ + M)β.

6.3. Правила в импульсном представлении

373

π	−3/2 u*	(p	′σ′n′	(2π)	−3/2 v	(p′σ′n′)
(2 )	l	(p	)		l
	a				á

(2π)−3/2 ul (pσn)	(2π)−3/2 vl* (pσn)
â	ã

		−i	Plm (q)
		(2π)4	q2 + m2	− iε
δ3	(p′ − p)δσ′σδn′n		l
δ3	(p′ − p)δσ′σδn′n

Рис. 6.9. Графическое изображение спариваний операторов при вычислении S-матрицы в импульсном представлении. Выражения справа — те множители, которые отвечают каждой линии фейнмановской диаграммы в импульсном представлении

3.Произведение всех указанных множителей интегрируется по 4-импульсам всех внутренних линий и суммируется по всем полевым индексам l, m и т. д.

4.Результаты, полученные таким образом для каждой фейнмановской диаграммы, следует сложить.

374	Глава 6. Фейнмановские правила

Могут понадобиться дополнительные комбинаторные множители и связанные с фермионами знаки; соответствующие правила перечислены в пунктах 5 и 6 раздела 6.1. Примеры использования этих правил мы приведем в конце раздела.

Каждой внутренней линии соответствует 4-импульс, по которому проводится интегрирование. Однако многие из этих интегрирований снимаются дельта-функциями, отвечающимис вершинам. Так как энергия и импульс сохраняются для каждой связной части фейн-мановской диаграммы по-отдельности, то в диаграмме с С связными частями останется С дельта-функций. Отсюда в диаграмме с I внут-ренними линиями и V вершинами число независимых 4- импульсов, не зафиксированных дельта-функциями, равно I − (V −

C). Очевидно, этому же равно число L независимых петель,

L = I − V + C,

(6.3.4)

которое определяется как максимальное число внутренних линий, которые можно разрезать, оставляя связной каждую связную часть полной фейнмановской диаграммы, поскольку любым таким и только таким внутренним линиям можно приписать независимый 4-им- пульс. Можно считать, что независимые импульсные переменные характеризуют импульсы, циркулирующие в каждой петле. В ча- стности, древесная диаграмма не содержит петель. В такой диаграмме после учета всех дельта-функций не остается интегралов по импульсам.

Например, в теории с взаимодействием (6.1.18) матричный элемент (6.1.27) фермион−бозонного рассеяния согласно правилам

Фейнмана в импульсном представлении будет иметь вид

Sp′σ′ n′ p′				σ′ n′		,p σ		n	p	σ	n	=
1	1	1	2	2	2	1	1	1	2	2		2
=	å			(−i)2 (2π)8g									g u*	(p′σ′ n′ )u		(p σ	n )
	å									l′m′k′			lmk l′	1 1 1	l	1 1	1

k'l′m′klm

× z d4qG −

i(2π)	−4			Pm′m (q)		I
		q	2	2		J

				+ mm	− iε K

× (2π)

−6 [u*

(p′ σ′ n′ )u

)δ4

− p

)δ4 (p

+ p

− q)

k′

2 2 2

1′

2′

+ u* (p′ σ′ n′ )u

k′

)δ4 (p

− p

+ q)δ4 (p

− p

− q)],

2 2 2

1′

2′

где индексы 1 и 2 относятся к фермионам и бозонам, соответственно.

6.3. Правила в импульсном представлении

375

Интеграл по импульсам в данном случае тривиален, так что

p′

σ′ n′

, p σ

n p

= i(2π)−2 δ4 (p

+ p

− p

)

p′σ′ n′

1′

2′

g u*

(p′σ′ n′ )u

(p σ

n )

l′m′k′

mlk

l′

1 1 1

1 1

k'l′m′klm

Pm′m (p1 + p2 )

× M

(p′ σ

′ n′ )u

)

+ p )2 + m2

− iε

k′

2 2

(6.3.5)

Pm′m (p1 − p2′ )

u* (p′

σ′ n′ )u

k′

)P .

− p

)2 + m2

− iε

2 2 2

2′

Аналогично, матричный элемент

(6.1.28) фермион−фермион-

ного рассеяния в той же теории равен

p′

σ′ n′

= i(2π)

−2 δ4 (p

+ p

− p

)

p′σ′ n′

1′

2′

Pk'k (p1 − p1′ )

gm′mk′gl′lk

− p

)2 + m2

− iε

(6.3.6)

k'l′m′klm

1′

× u*

(p′

σ′ n′ )u* (p′σ′ n′ )u

(p σ n )

− [1′ 2′] .

m′

2 2

l′

1 1 1

Из вида этих результатов вытекает необходимость более компактных обозначений. Можно определить фермион-бозонную матрицу констант связи

[Γk ]lm ≡ glmk .

(6.3.7)

Матричные элементы (6.3.5) и (6.3.6) для фермион-бозонного и фермион-фермионного рассеяния соответственно переписываются в матричных обозначениях следующим образом:

S				σ′ n′		,p σ		n	p	σ	n	= i(2π)	−2 δ4 (p	+ p	− p′	− p′ )
p′σ′ n′ p′				σ′ n′		,p σ		n	p	σ	n	2	1	2	1	2
1	1	1	2	2	2	1	1	1	2	2		2

P(p

+ p )

å MG

u† (p′σ′ n′ )Γ

u(p σ

n )

1 1 1

k′

(p1 + p2 )

+ M

− iε

1 1 1

k′k MH

× u*

(p′

σ′ n′ )u

)

k′

2 2

P(p

− p

)

(6.3.8)

u† (p′σ′ n′ )Γ

2′

u(p σ

n )

1 1 1

k′

(p1 − p2′ )

+ M

− iε

1 1 1

×u*

(p′ σ′ n′ )u

k′

)O,

2 2

376 Глава 6. Фейнмановские правила

p′ σ′ n′ ,p σ

= i(2π)−2 δ4

+ p − p

− p

)

p′σ′ n′

1′

2′

× å

Pk′k (p1 − p1′ )

(6.3.9)

− p

+ m2

− iε

k′k

1′

u† (p′

σ′ n′ )Γ

u(p

)

i d

u† (p′σ′ n′ )Γ

u(p σ n )

− [1′ 2′],

2 2

k′

1 1 1

ãäå M2

—

диагональные массовые

матрицы

фермионов

и бозонов в формулах (6.3.8) и (6.3.9). Общее правило состоит в том, что при использовании матричных обозначений следует выписывать коэффициентные функции, матрицы констант связи и пропагаторы в порядке, который определяется движением вдоль линий против направления, указанного стрелками. В тех же обозначениях S-матрица для бозон−бозонного рассеяния в этой теории будет

даваться суммой однопетлевых диаграмм, показанных на рис. 6.7:

σ′ n′

,p σ

= −

(2π)−6 δ4 (p

+ p − p

− p

)

p′σ′ n′ p′

1′

2′

′ (p′ , σ′

, n′ )u*

′

(p′

, σ′

, n′ )u

, σ

, n )u

, σ

, n

)

1 1 1

2 2 2

1 1

k k k′k′

(6.3.10)

P(q)

P(q + p1′ )

Y d

4q TrSΓk′

Γk′

+ M2 − iε

2 q2

1 (q + p1′ )2 + M2 − iε

P(q

+ p

− p )

P(q − p

)

× Γ

1′

2′

+ L,

+ p

− p )2

+ M2 − iε

)2 + M2

k1 (q

k2 (q − p

− iε |

1′

2′

где многоточие в конце означает слагаемые, получающиеся перестановкой бозонов 1′, 2′ и 2. Знак минус перед всем выражением

справа связан с числом фермионных петель.

Отметим, что после снятия интегрирований с помощью дель- та-функций остается только один интеграл по импульсам, как и должно быть для диаграммы с одной петлей. В гл. 11 мы увидим, как вычисляются подобные интегралы по импульсам.

Приведем еще один конкретный пример. Рассмотрим теорию, в которой дираковское спинорное поле ψ(x) массой М взаимодействует с псевдоскалярным полем ϕ(x) массой m, причем гамильтониан

6.3. Правила в импульсном представлении

377

взаимодействия имеет вид − ig ψγ 5ψ ϕ. (Множитель −i включен для

того, чтобы гамильтониан взаимодействия был эрмитовым при действительных константах связи g.)

Напомним, что для скаляра полином Р(q) равен единице, а для спинора он равен [−iγ μqμ + M] β. Кроме того, множитель u для скаляра с энергией Е равен (2Е)−1/2, а для спинора u есть обычным

образом нормированный дираковский спинор, рассмотренный в разделе 5.5.

Из формул (6.3.8)–(6.3.10) в низшем порядке получаем:

p′σ′ p′ ,p σ

= −i(2π)−2 g2 (4E′ E

)−1/2 δ4 (p

+ p

− p

)

1′

2′

−iγ μ (p1 + p2 )μ + M

u(p σ

u(p′

′ )

)

5 (p

+ p )2

+ m2 − iε

1 1

−iγ

− p

)μ

+ M

I O

σ′ )γ

2′

u(p σ

u(p′

)

(p − p

+ m2

− iε

1 1

J P

2′

K Q

(фермион-бозонное рассеяние);

p′σ′ p′

′ ,p σ

i(2π)−2 g2δ4 (p

+ p

− p′

− p′ )

(p′

σ′ )γ

u(p

)

g b

(p′

σ′ )γ

u(p

)

2 2

1 1

− p

)2 + m2 − iε

− [1′ 2′],

1′

(фермион-фермионное рассеяние);

,p p

= −(2π)−6 g2 (16E E E′E′ )−1/2 δ4 (p

+ p

− p

)

p′p′

1 2 1 2

1′

2′

− γ

μq

− γ

p1′ )

μ (q

× z d4q TrSγ

γ 5

q2 + M2 − iε

(q + p

)2 + M2 − iε

1′

− γ

μ (q

p1′

−

p1)

− γ

μ (q

−

p2′ )

× γ

+ L,

5 (q

+ p

− p )2 + M2 − iε

5 (q − p

+ M2 − iε

1′

2′

378	Глава 6. Фейнмановские правила

(бозон-бозонное рассеяние), где в последней формуле многоточие означает сумму по перестановкам частиц 2, 1′ è 2′. Множители β â

числителях фермионных пропагаторов были использованы для того, чтобы заменить u† íà`u.

* * *

Еще один полезный топологический результат выражает не- что вроде закона сохранения линий. Представим, что все внутренние и внешние линии рождаются в вершинах и затем уничтожаются парами в центрах каждой внутренней линии и поодиночке на концах каждой внешней линии. (Это не имеет отношения к направлению стрелок на линиях.) Приравнивая число рождающихся и уничтожающихся линий, получаем

2I + E = å ni Vi ,	(6.3.11)
i

ãäå I è Å − числа внутренних и внешних линий, Vi − число вершин разных типов i, а ni − число линий, подсоединенных к каждой

вершине. (Это выполняется и по-отдельности для полей каждого типа.) В частности, если все взаимодействия содержат одинаковое число ni = n полей, то

2I + E = nV ,

(6.3.12)

ãäå V − полное число вершин. В этом случае можно исключить I из

(6.3.4) и (6.3.11) и получить, что для связной (С = 1) диаграммы число вершин дается формулой

V =	2L + E − 2	.	(6.3.13)

	n − 2

Например, для трилинейного взаимодействия диаграммы процесса рассеяния (Е = 4) с L = 0, 1, 2, ... имеют V = 2, 4, 6, ... вершин. В общем случае разложение по степеням констант связи есть разложение по увеличивающемуся числу петель.

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 8440 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Квантовая теория поля

#
15.08.2013228.35 Кб420Акимов, Шипов. Торсионные поля.doc
#
15.08.201349.93 Mб340Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf
#
15.08.201335.48 Mб344Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf
#
15.08.20131.97 Mб49Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 1.pdf
#
15.08.20132.4 Mб41Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 2.pdf