мируемость методом подсчета степеней. В этом разделе мы опишем более широкий класс перенормируемых калибровок, парамет- ризованных произвольной константой ξ, введенный несколь-
ко позднее Фуджикавой, Ли и Санда. 5 В произвольных калибровках кинематический член (21.1.3) в
лагранжиане скалярных полей теории содержит перекрестное слагаемое
i
å
∂
ϕ′ tα
A μv
m
,
μ
n nm
α
nmα
ãäå vm — вакуумное среднее поля ϕm, à ϕ′n — сдвинутое поле,
определенное формулой (21.1.4). В унитарной калибровке это слагаемое исчезает из-за калибровочного условия (21.1.2). Мы предпочтем здесь другой подход, близкий к тому, который использовался в разделах 15.5 и 15.6. Введем в функциональный интеграл функционал B[f], где
F −i
B[f] = expG
H 2ξ
X
4
I
xå fα fα J .
(21.2.1)
Y d
Z
α
K
Это эквивалентно добавлению в лагранжиан фиксирующего калибровку слагаемого
Lgf = −
1
2ξ fα fα .
(21.2.2)
Вместо того, чтобы принять fα = ∂μ Aαμ , , как в разделе 15.5, выбе-
рем функцию, которая фиксирует калибровку, в виде
f
= ∂
μ
Aμ − iξ(t
α
)
nm
ϕ′ v
m
,
(21.2.3)
α
α
n
Эта функция построена так, что упомянутое выше перекрестное слагаемое в (21.1.3) сокращается с перекрестным слагаемым в (21.2.2). Унитарная калибровка становится теперь частным случаем; при ξ → ∞ фиксирующий калибровку функционал (21.2.1) имеет стремящийся к бесконечности острый максимум при ϕ′, удовлетворяющем
калибровочному условию (21.1.2). Другой частный случай соответствует пределу ξ → 0; в этом случае фиксирующий калибровку
404 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии
функционал имеет максимум при значении калибровочного поля, удовлетворяющего калибровочному условию Ландау ∂μAμα = 0.
Включим также в лагранжиан полином четвертой степени – P(ϕ), подчиняющийся условию калибровочной инвариантности
∂P(ϕ)
(t
)
ϕ
= 0 .
(21.2.4)
nm
m
α
∂ϕn
Конечно, мы должны включить в лагранжиан и слагаемое, описывающее калибровочное поле,
LA
= −
1
å FαμνFαμν .
(21.2.5)
4
α
Тогда полный лагранжиан калибровочных и скалярных полей имеет вид
LA,ϕ ≡ LA + L ϕ + L gf
= −
1
å FαμνFαμν
+
1
å (tαϕ)n (tβϕ)n Aαμ Aβμ
−
1
å (∂μ Aαμ )(∂νAαν )
2ξ
4
α
2 nαβ
α
−
1
å
∂
ϕ′ ∂
μϕ′ +
ξ
å
(t v)
(t v)
ϕ′ ϕ′
n
2
μ
n
n
2
α
α
m n m
n
å
αnm
ϕ′ Aμ
− P(ϕ) + i
∂
ϕ′
(t
)
nm
+ полные производные.
μ
n
α
m
α
αnm
(21.2.6)
Как мы видели в разделе 15.6, введение фиксирующего калибровку функционала B[f] требует также введения поля гостов ωα(x), лагранжиан которого зависит от свойств fα относительно
калибровочных преобразований. Под действием произвольного калибровочного преобразования (с произвольной функцией εα(x))
ствен, только если tα(ψ) включает слагаемые, пропорциональные γ5.) Доказанная в разделах 15.5 и 15.6 общая теорема гарантирует,
что вычисленная по лагранжиану, представленному суммой выражений (21.2.6), (21.2.10) и (21.2.11), S-матрица не зависит от выбора параметра ξ, входящего в фиксирующую калибровку функцию (21.2.3), так что при любом ξ будут получаться те же резуль-таты, что и при выборе ξ = ∞, отвечающем унитарной
калиб-ровке.
Для вывода выражений для пропагаторов всех этих полей нам нужна квадратичная по полям часть лагранжиана
406 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии
LQUAD
= −
1
å (∂μ Aαν − ∂νAαμ )(∂μ Aαν − ∂νAαμ )
4
α
−
1
å μ2αβ Aαμ Aβμ −
1
å (∂μ Aαμ )(∂νAαν )
2 αβ
2ξ
α
−
1
å (∂μϕ′n)(∂μϕ′n) −
1
å Mnm2 ϕ′nϕ′m
2 n
2 nm
* μ
2 *
− ψ(∂/ + m)ψ − ∂μωα ∂ ωα − ξå μαβωαωβ
αβ
+ полные производные,
где — массовая матрица векторных бозонов (21.1.7):
μ2αβ = −å (tαv)n (tβv)n ,
n
(21.2.14)
(21.2.15)
à M2nm и m — новые скалярная и фермионная массовые матрицы:
Mnm2 =
∂2P(ϕ)
−
ξ
å(tαv)n (tαv)m,
∂ϕn∂ϕm
ϕ =v
2 α
(21.2.16)
m = m0 + å Γnvn .
n
Как видно из (21.2.14), госты имеют зависящие от калибровки массы, равные ξ , умноженному на соответствующие массы вектор-
ных бозонов.
Эти выражения определяют массы частиц в нулевом порядке теории возмущений. В этом порядке среднее по вакууму vn есть просто положение минимума полиномиального «потенциала» P(ϕ):
∂P(ϕ)
= 0.
(21.2.17)
∂ϕn
ϕ =v
Кроме того, как мы уже видели в разделе 19.2, из выражений (21.2.4) и (21.2.17) следует, что
21.2. Перенормируемые ξ-калибровки
407
å
∂2P(ϕ)
(tαv)m = 0
(21.2.18)
∂ϕn∂ϕm
ϕ =v
m
äëÿ âñåõ α. Отсюда вытекает, что вместо голдстоуновских мод с
нулевыми массами матрица квадратов масс скалярных бîзонов в формуле (21.2.16) имеет собственные значения, равные ξ , óìíî-
женному на ненулевые массы векторных бозонов. Это означает,
÷òî åñëè μ2αβ имеет собственный вектор cβ с собственным значени-
åì μ2, òî åβ cβtβv есть собственный вектор М2 с собственным зна- чением ξμ2:
å Mnm2
F
I
F
I
G
å cβtβvJ
= ξå μ2αβcβ (tαv)n = ξμ2 G
å cαtαvJ . (21.2.19)
m
H
β
K m
αβ
H
α
K n
Следовательно другие собственные векторы
ортогональны ко всем
упомянутым, отсюда, ортогональны ко всем tαv, òàê ÷òî ýòè ñîá-
ственные векторы и соответствующие собственные значения —
такие же, как и для матрицы d∂2P(ϕ) / ∂ϕn∂ϕm i . Видим, что
при значении , отвечающему унитарной калибровке, голд-
ξ → ∞ ϕ =v
стоуновские бозоны столь тяжелые, что они выпадают из теории, а массы всех других бозонов — такие же, как обычно.
Пропагаторы вычисляются по обычным правилам: если (после интегрирования по частям) часть лагранжиана, отвечающая свободным1частицам, принимает вид –ζ†D(∂)ζдля комплексного поля ζ èëè – ζTD(∂)ζ для действительного скалярного поля ζ, то пропа-
гатор этого поля равен D–1(ik). Отсюда получаем пропагаторы:
408 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии
ω: αβ (k) = (k2 + ξμ2 )αβ−1 .
(21.2.23)
Полюсы в (21.2.20) при нефизических значениях квадратов масс, пропорциональных ξ, сокращаются с полюсами при тех же значениях масс в (21.2.21). Заметим, что теперь при конечных ξ âñå
пропагаторы имеют одинаковое асимптотическое поведение, как и в случае ненарушенной симметрии, что и требуется для перенормируемости. В частности, член с kμkν в пропагаторе векторного
бозона не создает более никаких проблем для перенормируемости, поскольку он сопровождается дополнительным множителем (k2 + μ2ξ)–1. Мы можем даже отбросить этот член, выбрав фейнмановскую калибровку с ξ = 1. Только в унитарной калибровке, где ξ → ∞, этот множитель не может обеспечить необходимое для пере-
нормируемости асимптотическое поведение пропагатора.
Даже при хорошо ведущих себя пропагаторах все еще необходимо показать, что ультрафиолетовые расходимости в этих теориях так ограничены нарушенными калибровочными симметриями, что каждая расходимость может быть сокращена перенормировкой поля или параметра в лагранжиане. Это можно показать с помощью тех же методов, которые использовались в разделах 17.2 и 17.3, но рассматривая средние по вакууму бесспиновых полей не как фиксированные нарушающие симметрии величины, а как внешние поля 5à.
21.3. Электрослабая теория
Спонтанно нарушенные калибровочные теории нашли наиболее важное применение в теории слабых и электромагнитных взаимодействий 3. При низких энергиях слабые взаимодействия хорошо описываются эффективным лагранжианом, являющимся суммой произведений векторных (включая сюда и аксиально-век- торные) токов (см. формулу (19.4.22)). Отсюда вытекает, что эти взаимодействия могут быть по аналогии с электромагнетизмом описаны определенного типа калибровочной теорией. Для того, чтобы обеспечить раздельное сохранение лептонов электронного и мюонного типов и барионов (или кварков), можно предположить, что известные лептоны электронного и мюонного типов и кварки образуют отдельные представления калибровочной груп-
21.3. Электрослабая теория
409
пы. С учетом этого предположения для структуры калибровочной группы существует всего несколько возможностей.
Рассмотрим сначала лептонные поля электронного типа. Насколько мы знаем, набор этих полей состоит из левых и правых компонент электронного поля e:
eL
=
1
(1 + γ 5 )e,
eR
=
1
(1 − γ 5 )e,
(21.3.1)
2
2
и чисто левого поля электронного нейтрино neL:
γ 5 νeL = νeL .
(21.3.2)
В любом представлении калибровочной группы поля должны иметь одинаковые свойства по отношению к лоренцовским преобразованиям, поэтому в данном случае представления калибровочной группы разделяются * на левый дублет (neL, eL) и правый синглет eR. Следо-
вательно, наибольшая возможная группа — это
SU(2)L ´ U(1)L ´ U(1)R ,
и по отношению к ней поля преобразуются как
F
νe I
= i
r
+ eLtL + eRtR
F
νe I
dG J
e × t
G J ,
r
H
e K
H
e K
где генераторы имеют вид
r
g
RF0 1I F0 -iI F1 0 I U
t
=
(1
+ g 5 )SG
J
, G
J
, G
J V,
4
TH
1
K
H
i
0
K
H
0
K W
0
-1
F
1
I
tL µ (1 + g
5 ) G
0
J ,
H
0
K
1
tR (1 − γ 5 ),
(21.3.3)
(21.3.4)
(21.3.5)
(21.3.6)
* Если допустить калибровочные взаимодействия, меняющие электронное лептонное число, тогда в представление калибровочной группы можно наряду с νeL è eL включить левое поле“eR. На этом был основан
ранний SO(3) вариант 6 электрослабой теории, который позднее был исключен экспериментом.
ñконстантой g, которая будет выбрана ниже. Удобно вместо tL è tR рассматривать генераторы
y º g¢LF
1
+ g 5
I F 1
0I
+
J G
J
G
M
4
K H
K
NH
0
1
F 1
- g 5 I O
G
J P ,
(21.3.7)
H
2 K Q
è
LF 1
+ g 5 I F1
0I
ne
º g¢¢MG
J G
J
+
2
NH
K H
0
K
1
F 1
- g 5 I O
G
J P ,
(21.3.8)
H
2 K Q
ãäå g¢ è g² — константы, которые, как и g, будут определены ниже.
Генератор y возникает вместе с t3 в линейной комбинации, играющей особую роль в физике. Это электрический заряд
F0
0 I
e
e
q = eG
J
=
t3
-
y.
(21.3.9)
g¢
H
0
-1K
g
Кроме того, ne — электронное лептонное число. Мы хотим вклю- чить в теорию как меняющие заряд слабые взаимодействия (вроде бета-распада), так и электромагнитные взаимодействия, поэтому мы предположим, что существуют калибровочные поля и Bμ, ñâÿ-
занные с и y. Кроме того, мы можем по желанию включить калибровочное поле, связанное с одной оставшейся независимой линейной комбинацией tL è tR, которую можно выбрать, например, как электронное лептонное число (21.3.8). Существуют очень жесткие ограничения 7 на дальнодействующие силы, которые могли бы порождаться связанным с ne безмассовым калибровочным полем, поэтому для того, чтобы включить в теорию такое калибровочное поле с константой взаимодействия g², сравнимой с константами
слабых и электромагнитных взаимодействий, необходимо предположить, что эта калибровочная симметрия спонтанно нарушена.**
** Заметим, что это возможно без нарушения глобального закона сохранения электронного лептонного числа. Нужно лишь предположить, что лагранжиан инвариантен относительно как глобального фазового преобразования, действующего только на поля лептонов электронного типа, так и локального фазового преобразования, действующего на поля лептонов электронного типа и на некоторое не взаимодействующее с лептонами скалярное поле. Среднее по вакууму этого скалярного поля, не нарушая
21.3. Электрослабая теория
411
Однако нет никаких экспериментальных свидетельств слабого взаимодействия, которое порождалось бы такой калибровочной связью (и, наоборот, уже есть множество свидетельств против этого), поэтому мы просто исключим ne из генераторов калибровочной группы. Тогда калибровочная группа — это 8
G = SU(2)L ´ U(1)
(21.3.10)
r
с генераторами t , y, которые определяются формулами (21.3.4) и (21.3.7) соответственно. Константы связи g и g¢ должны быть подо-
браны так, чтобы связанные с этими генераторами калибровочные поля Ar μ è Bμ были каноническим образом нормированы. Наиболее
общий калибровочно инвариантный и перенормируемый лагранжиан, включающий только эти калибровочные поля и лептоны электронного типа, имеет поэтому вид
LYM + Le = -
r
r
r
d¶μ Aν - ¶νAμ + gAμ
r
r
- l(¶/
- iA/
× tL
- iBy/ )l .
´ Aν i2
- (¶μ Bν - ¶νBμ )2
r
(21.3.11)
(Здесь было использовано то, что структурные константы групп SU(2)L и U(1) равны соответственно Cijk = –igeijkè íóëü.)
Конечно, из четырех калибровочных полей, связанных с tr и y, только одна линейная комбинация — электромагнитное поле Αμ — действительно безмассовая. Поэтому необходимо предположить, что SU(2)L ´ U(1) спонтанно нарушается до подгруппы U(1)em
с генератором, равным заряду (21.3.9). Детали механизма нарушения симметрии будут рассмотрены чуть позже. Однако, каков бы ни бы этот механизм, мы знаем, что канонически нормированные векторные поля, соответствующие частицам спина единица и определенной массы, состоят из одного поля зарядом +е и массой mW
Wμ =
1
(Aμ + iAμ ),
(21.3.12)
2
1 2
другого поля зарядом –е и той же массой
глобальной симметрии, будет нарушать локальную симметрию, придавая массу связанному с νe калибровочному бозону.
412 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии
Wμ* =
1
(Aμ − iAμ ),
(21.3.13)
2
1
2
и двух электрически нейтральных полей массами mZ и нуль соответственно, которые даются ортонормированными линейными комбинациями полей A3μ è Bμ:
Zμ = cos θ Aμ + sin θ Bμ ,
(21.3.14)
3
Aμ = − sin θ Aμ + cos θ Bμ
,
(21.3.15)
3
или, эквивалентно,
Aμ
= cos θ Zμ − sin θ Aμ ,
(21.3.16)
3
Bμ
= sin θ Zμ + cos θ Aμ .
(21.3.17)
Согласно общему результату (21.1.11)–(21.1.12), генератор ненарушенной симметрии, которой в данном случае является электромагнитная калибровочная инвариантность, дается линейной комбинацией генераторов, коэффициенты в которой — те же, что и коэффициенты при соответствующем безмассовом поле в разложении канонически нормированных калибровочных полей, связанных с этими генераторами. Взглянув на формулы (21.3.16) и (21.3.17), видим, что
q = -
q × t3 +
q × y
(21.3.18)
sin
cos
.
Сравнивая это выражение с выражением (21.3.9), получаем поэтому
g = −
e
, g′ = −
e
.
(21.3.19)
sin θ
cos θ
Введя константы связи g и g′, можно записать теперь полное взаи-
модействие лептонов с калибровочными бозонами в виде
ξ , óìíî-
