Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

нечности.) Кроме того для произвольного оператора O можно ожидать плавного поведения γ(g) в окрестности g*:

(Мы опустили здесь метку О у g и c.) Отсюда в матричных элементах этого (и возможно других) оператора мы сталкиваемся с появлением множителя (см. (18.2.27))

Произведение множителей E− γ (g* ) можно объединить с множителем

ED в (18.2.23), так что в результате весь матричный элемент ведет себя как

где размерность D* вычисляется путем добавления к реальной размерности каждого оператора, возникающего в матричном элементе, еще и «аномальной размерности» –γ(g*).

ã.Асимптотическая свобода

Âобсуждавшихся до сих пор примерах β(g) была положитель-

ной при малых g, так что c ростом μ константа gμ уводилась от точки g = 0. Предположим, что в какой-то теории β(g) отрицательна

при малых положительных g. Тогда

ïðè β > 0. Здесь n — порядок тех диаграмм низшего порядка, которые вносят вклад в β(g), так что это всегда целое число, большее

единицы. (В рассматривемых здесь в качестве примера теориях n = 2. ) Решение уравнения (18.2.9) имеет вид

184 Глава 18. Методы ренормгруппы

Òàê êàê ïðè Å → ∞ это приводит к нулевому значению gE, можно

в этом пределе доверять теории возмущений, если только gE при некотором конечном Е находится внутри области в окрестности g = 0, где g и β(g) имеют противоположные знаки. Аномальные размерности γ(O) различных операторов О ведут себя в пределе сла-

бой связи как

где m — порядок диаграмм низшего порядка, дающих вклад в перенормировку оператора, а с — положительная или отрицательная действительная константа. Отсюда асимптотическое поведение при высоких энергиях того множителя, который вводится в матричные элементы перенормировкой этого оператора, имеет вид

Мы видим, что в случае асимптотической свободы не возникает поправок к тем эффективным размерностям, которые определяют степени энергии, возникающие в асимптотическом поведении матричного элемента, а вместо этого асимптотика модифицируется степенями lnE.

В качестве игрушечной модели, в которой имеется асимптотическая свобода, можно рассмотреть скалярную теорию поля с гамильтонианом –gϕ2/24 и положительным g.

Кроме того, оператор ϕ2 в этой теории имеет аномальную размер-

ность, определяемую выражением (18.2.29) в виде

Поэтому каждый оператор ϕ2 в матричном элементе вносит множи-

тель, определяемый выражением (18.3.21):

Само скалярное поле в этой теории имеет γ(g) g2, и т. к. m = 2, то каждый ϕ-оператор в матричном элементе вносит множитель, ко-

торый согласно (18.3.20) равен

Мы встретимся с другим, более физичным, примером асимптотической свободы при рассмотрении квантовой хромодинамики в разделе 18.7.

Во всех случаях, когда gE можно рассматривать при бесконечно большой энергии Е, поведение константы в этом пределе оказывается не зависящим от перенормированной константы gR. Однако это не обязательно означает, что теория не содержит

произвольных безразмерных параметров. Чтобы описать то, как gE достигает своего предела при Е → ∞, всегда нужно задать свободный параметр λ с размерностью энергии. В случае б фор-

мула (18.3.10) может быть записана в виде

gE → (1 − k)b ln(Eλ)1/(1− k) .

В случае в формулу (18.3.12) можно записать как

Наконец, в случае г формула (18.3.18) принимает вид

В общем случае такие теории содержат свободный безразмерный параметр — отношение λ к массе m. Константы связи типа eR, перенормированные в масштабе, который связан с μ, можно записать как функции отношения m/λ. Только в том случае, когда все массы

в теории обращаются в нуль, можно говорить о том, что в теории нет свободных безразмерных параметров.

Из четырех описанных здесь типов асимптотического поведения типы а и б приводят к явно нефизическому поведению бегущей константы связи gE, которая становится бесконечной либо при конечной энергии (случай а), либо при Е → ∞ (случай б). Само по

себе это еще не главная катастрофа, так как нужно посмотреть, как определена константа связи. Например, если gμ плавно спадает от конечного значения gμ ïðè μ = m äî íóëÿ ïðè μ → ∞,

и мы определяем новую константу связи ~ ≡ [1 − ], òîã- gμ gμ gμ g2m

äà ~ ïðè μ = 2m становится бесконечной. Но это просто артефакт gμ

такого конкретного выбора константы связи. Однако обычным образом перенормированные константы gμ как в теории скалярного поля ϕ4, так и в квантовой электродинамике, были определены

здесь через значения матричных элементов при энергиях порядка μ. В частности, в скалярной теории ϕ4 константа gμ определена как

инвариантная фейнмановская амплитуда А скаляр-скалярного рассеяния в точке s = t = u = μ2, причем А предполагается ана-

литической функцией. Кроме того, gμ = eμ2 в спинорной электро-

динамике дается выражением

Поэтому бесконечное значение eμ2 в точке μ∞ будет порождать

полюс или другую особенность в перенормированном фотонном пропагаторе при положительном значении р2 = μ∞2, где пропагатор предполагается аналитичным. Таким образом, если gμ îïðå-

делено так, как выше, то тип асимптотического поведения, описываемый случам а, физически исключается.

Как же тогда ведут себя различные квантовые теории поля? Много лет тому назад Ландау 4à показал, что в квантовой электродинамике возрастающие степени ln(E/M), возникающие в каждом порядке теории возмущений, должны складываться и порождать особенности (так называемые «духи Ландау») при конечных значениях Е. На современном языке можно сказать, что Ландау открыл возможность а, но не привел ни одного аргумента против случаев б или в.

Тем не менее сейчас широко распространена точка зрения, что те квантовые теории взаимодействующих полей, которые не являются асимптотически свободными, например, квантовая электродинамика или скалярная теория поля с взаимодействием ϕ4, являются математически непоследовательны-

ми. В квантовой электродинамике есть некоторые аргументы, отвергающие случай в, т. е. существование конечной фиксированной точки е*. Такая точка могла бы существовать4ñ, если бы непертурбативные эффекты изменяли качественные свойства разложения операторного произведения (предмет рассмотрения в гл. 20) или если бы существовала непертурбативная перенормировка треугольной аномалии (гл. 22). Но даже если случай в действительно исключается в квантовой электродинамике, все еще остается возможность б существования фиксированной точки при бесконечном1 значении константы связи.

Большая часть свидетельств о непоследовательности асимптотически несвободных взаимодействующих квантовых теорий поля возникает при изучении скалярной теории поля в четырех пространственно-временных измерениях с взаимодействием ϕ4,

квантованной на конечной пространственно-временной решетке. Cуществуют строгие теоремы4d, доказывающие, что эта теория (с произвольной зависимостью ее параметров от постоянной решетки) не переходит в пределе нулевой постоянной решетки в непрерывную теорию с взаимодействием, если только теория не асимптотически свободна, что, конечно, противоречит тому, что обнаруживается в теории возмущений для такой теории.

Этот аргумент также кажется неубедительным. Верно, что если бы существовала последовательная асимптотически несвободная непрерывная скалярная теория поля, то можно было бы построить решеточную теорию, проинтегрировав по значениям скалярного поля во всех точках, кроме тех, которые принадлежат узлам пространственно-временной решетки. Но это была бы не та решеточная теория, которая рассматривается в упомянутых теоремах. Это была бы решеточная теория с любым возможным взаимодействием, допускаемым принципами симметрии, т. е. содержащая не только слагаемое с ϕ4, но и слагаемые, пропорциональные ϕ6, ϕ39ϕ и т. д., с коэффициентами, зависимость которых

от обрезания (обратной величины постоянной решетки) управлялась бы уравнениями ренормгруппы Вильсона, обсуждавшимися в разделе 12.4. Никто не доказал никаких утверждений о существовании непрерывного предела такой теории.

Если действительно верно, что не существует теории взаимодействующего непрерывного скалярного поля в пределе нулевой постоянной решетки, тогда мы должны столкнуться с затруднениями при попытке решить уравнения ренормгруппы Вильсона, которые в случае слабых перенормированных взаимодействий должны быть заданы при очень малых постоянных решетки. Если не рассматривать очень малые расстояния, такая теория должна выглядеть как взаимодействующая непрерывная теория поля. Перенормированная константа связи в этой приближенно непрерывной теории предположительно имеет особенность при конечной энергии, как в случае а выше, так что и такая теория терпит крах на малых расстояниях. (Однако при больших константах нет прямой связи между видом уравнений ренормгруппы Вильсона и Гелл- Манна–Лоу, так что существование особенности у голых констант при конечной постоянной решетки необязательно влечет за собой наличие особенностей у перенормированных констант связи при конечном масштабе перенормировки.)

Теории такого рода часто называют тривиальными, либо потому, что при разных предположениях о голых константах в теории, квантованной на решетке, оказывается, что непрерывный предел является свободной теорией поля, либо потому, что единственный способ сделать непрерывную теорию типа а физи- чески приемлемой при всех энергиях заключается в том, чтобы принять решение gμ = 0 уравнений ренормгруппы (18.2.9).

Даже если теория поля тривиальна в любом из указанных смыслов, нет никаких оснований не включать ее как часть реалистической теории физических явлений. Существование возражений по поводу решения вильсоновских уравнений ренормгруппы для теории поля при очень малых значениях постоянной решетки несущественно, если в реальном мире существуют другие поля, которые необходимо учитывать на столь малых расстояниях. Аналогично, тот факт, что данная квантовая теория поля имеет нефизические особенности при какой-то большой энергии Е∞, íå

является физической проблемой, если обсуждаемая теория есть всего лишь низкоэнергетическое приближение более широкой теории, верное только при энергиях, много меньших Е∞. В частно-

сти, задолго до того, как мы достигнем энергий порядка (18.3.8), где можно ожидать, что квантовая электродинамика становится сингулярной, уже необходимо учитывать даже гравитацию, и никто не знает, как вычислить при таких энергиях эффекты, связанные с сильными гравитационными взаимодействиями.

Несмотря на эти разочаровывающие замечания, возможно, что для того, чтобы избежать нефизических особенностей, все наши отдельные квантовые теории поля вроде спинорной квантовой электродинамики в конце концов будут включены в асимптотически свободную теорию. К счастью, вопрос о том, является ли теория асимптотически свободной для некоторого конечного интервала значений констант связи, может быть установлен путем вычислений в рамках теории возмущений: если β(g) отрицательна при g → 0+, то теория

асимптотически свободна для всех перенормированных констант связи gμ в интервале от нуля до первого корня функции β(g).

** *

Âсвязи с этим полезно заметить, что хотя детальный вид β(g) зависит от калибровки и от точного способа определения

Видно, что первые два слагаемых в степенном разложении β~ ïî ~g имеют те же коэффициенты, что и в разложении β ïî g. Îäíà-

ко это заведомо не так для слагаемых более высокого порядка. На самом деле всегда можно так выбрать функцию ~g(g), чтобы все слагаемые в более высокого порядка по ~g , чем третий, обращались в нуль, так что асимптотическое поведение ~gE ïðè Å → ∞ описывается двумя первыми слагаемыми в ряде теории возмущений для β(g). Однако в этом мало пользы, так как для определения того, как g зависит от ~g , необходимо провести вычисления

во всех порядках, а без этого мы не можем воспользоваться нашим знанием асимптотического поведения ~g , чтобы узнать что-то об асим-

птотическом поведении g или физических величин.

Те же рассуждения, которые привели к (18.3.30), показывают, что при слабой связи вильсоновское уравнение ренормализационной группы для голой константы как функции постоянной решетки при обратной постоянной решетки, большей чем массы частиц, совпадает с уравнением ренормгруппы Гелл-Манна–Лоу для перенормированной константы связи как функции масштаба перенормировки в случае, когда масштаб больше масс частиц. Следовательно, если непрерывная теория асимптотически свободна, не возникает препятствий при переходе к непрерывному пределу для теории, квантованной на решетке.

18.4. Эффекты нескольких констант связи и массы

До сих пор мы рассматривали теории, содержащие только одну безразмерную константу связи g. Нетрудно обобщить формализм на случай нескольких таких констант gl. Для каждой gl имеется уравнение ренормгруппы, которое при μ . m принимает вид