Тема 5. Введение в анализ

Основные теоретические сведения

1. Пусть даны два непустых множества X и Y. Если каждому элементу x из множества Х по определенному правилу ставится в соответствие один и только один элемент у из Y, то говорят, то говорят, что на множестве Х задана функция (или отображение) со множеством значений Y. Это можно записать так: или, где множествоХ называется областью определения функции, а множество Y, состоящее из всех чисел вида ,множеством значений функции.

2. К основным элементарным функциям относятся:

1) степенная функция y=, где ;

2) показательная функция y=a^x, где ;

3) логарифмическая функция y=, где ;

4) тригонометрические функции: ,;

5) обратные тригонометрические функции: y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx.

3. Число А называется пределом функции f (x) при , если для любого найдетсятакое, чтопри

Это записывают так: .

Практическое вычисление пределов основывается на следующих свойствах.

Если существуют и, то

1) ;

2) ;

3) (при)

4. Функция f(x) (F(x)) называется бесконечно малой (бесконечно большой) при , если.

5. Нарушение ограничений, накладываемых на функции при вычислении их пределов, приводят к неопределенностям вида . Элементарными приемами раскрытия неопределенностей являются: 1) сокращение на множитель, создающий неопределенность; 2) деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента (для отношения многочленов при); 3) использование двух замечательных пределов:

Отметим также, что

Пример 1. Найти

Решение. Подставляя вместо x его предельное значение, равное 3, получаем в числителе бесконечно большую, а в знаменателе – бесконечно малую функцию:

Поэтому

Пример 2. Найти .

Решение. Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида . Так как под знаком предела стоит отношение двух многочленов, то разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. наx⁴. В результате получим

поскольку при функции 5/x³ и 7/x⁴ являются бесконечно малыми.

Пример3. Найти

Решение. Подстановка x=приводит к неопределенности. Произведем замену переменных:Тогда

Здесь использован второй замечательный предел.

Тема 6. Дифференциальное исчисления функций одной переменной.

Основные теоретические сведения.

1. Производной функции по аргументуx называется предел отношения приращения функции к приращению независимого аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Производная функции обозначается через.

По определению: .

Операция отыскания производной заданной функции называется дифференцированием этой функции. По определению можно получить следующую таблицу формул дифференцирования элементарных функций:

1. , где; 8);

2. ; 9);

3. ; 10);

4. ; 11);

5. 12);

6. ; 13);

7. 14);

15) .

Кроме того существуют следующие правила дифференцирования. Пусть Спостоянная,u=u(x), v=v(x)функции, имеющие производные. Тогда:

Рассмотренных формул и правил определения производных недостаточно для нахождения производных функций более сложного вида, например, таких как и т.д.

Пусть y–есть функция от u: , гдеu–в свою очередь функция от аргумента x: ; в таком случае говорят, чтоy есть функция от функции, т.е. .

Если для соответствующих друг другу значений x и u существуют производные ито существует и производная отy по x, причем имеет место равенство

. (1)

2. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

Пусть функция аргументаx задана при помощи параметрических соотношений причемидифференцируемые функции отt и ,. Тогда

. (2)

3. Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций (неопределенность 0/0 или ) равен пределу отношения их производных:

(3)

если предел справа существует.